高校工程數(shù)學(xué)孤立奇點(diǎn)教學(xué)課件

§5.1孤立奇點(diǎn)一、孤立奇點(diǎn)的概念二、函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系三、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)四、小結(jié)與思考要求一、孤立奇點(diǎn)的概念定義：若函數(shù)f(z)在z0不解析，但在z0的某一個(gè)鄰域0<|z–z0|<δ內(nèi)處處解析，則稱z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)。例如：是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).孤立奇點(diǎn)的概念注意：孤立奇點(diǎn)一定是奇點(diǎn)，但奇點(diǎn)不一定是孤立奇點(diǎn)。例如是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).孤立奇點(diǎn)真的孤立？xyo這說明奇點(diǎn)未必是孤立的。若函數(shù)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，則每一奇點(diǎn)都是孤立奇點(diǎn).孤立奇點(diǎn)[例1]

指出函數(shù)在點(diǎn)的奇點(diǎn)特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi),的奇點(diǎn)存在,函數(shù)的奇點(diǎn)為總有不是孤立奇點(diǎn).所以孤立奇點(diǎn)結(jié)論：若函數(shù)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，則每一奇點(diǎn)都是孤立奇點(diǎn)。否則就不是孤立奇點(diǎn)，而是奇點(diǎn)。？孤立奇點(diǎn)的類型孤立奇點(diǎn)的類型依據(jù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的情況分為三類:（1）可去奇點(diǎn)；（2）極點(diǎn)；（3）本性奇點(diǎn)1、

可去奇點(diǎn)如果羅倫級(jí)數(shù)中不含z–z0的負(fù)冪項(xiàng)，那末孤立奇點(diǎn)z0叫做f(z)的可去奇點(diǎn)。即：f(z)在z0的鄰域內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù)實(shí)際上是一個(gè)普通的冪級(jí)數(shù)：c0+c1(z–z0)+c2(z–z0)2+…+cn(z–z0)n+…因此，這個(gè)冪級(jí)數(shù)的和F(z)是在z0解析的函數(shù)，且當(dāng)z≠z0時(shí)，F(xiàn)(z)=f(z)；當(dāng)z=z0時(shí)，F(xiàn)(z0)=c0。可去奇點(diǎn)

由于所以不論f(z)原來在z0是否有定義，如果令f(z0)=c0，那末在|z–z0|<δ內(nèi)就有f(z)=c0+c1(z–z0)+c2(z–z0)2+…+cn(z–z0)n+…從而函數(shù)f(z)在z0就成為解析的了，由這個(gè)原因，所以z0叫做可去奇點(diǎn)。可去奇點(diǎn)其和函數(shù)為在解析的函數(shù).說明:(1)(2)無論在是否有定義,補(bǔ)充定義則函數(shù)在解析.可去奇點(diǎn)的判定(1)由定義判斷:的洛朗級(jí)數(shù)無負(fù)在如果冪項(xiàng)則為的可去奇點(diǎn).(2)判斷極限：若極限存在且為有限值,則為的可去奇點(diǎn).可去奇點(diǎn)例如，z=0是sinz/z的可去奇點(diǎn)，因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)的羅倫級(jí)數(shù)中不含負(fù)冪的項(xiàng)。如果我們約定sinz/z在z=0的值為1（即c0），sinz/z在z=0就成為解析的了?？扇テ纥c(diǎn)例2

說明為的可去奇點(diǎn).解

所以為的可去奇點(diǎn).無負(fù)冪項(xiàng)另解

的可去奇點(diǎn).為2、極點(diǎn)1、定義如果羅倫級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè)z–z0的負(fù)冪項(xiàng)，且其中關(guān)于(z–z0)-1的最高冪為(z–z0)-m，即或?qū)懗桑耗敲垂铝⑵纥c(diǎn)z0叫做函數(shù)f(z)的m級(jí)極點(diǎn)。極點(diǎn)說明a.b.特點(diǎn):(1)(2)的極點(diǎn),則為函數(shù)如果極點(diǎn)例如：對(duì)有理分式函數(shù)是二級(jí)極點(diǎn),是一級(jí)極點(diǎn).極點(diǎn)函數(shù)f(z)有m級(jí)極點(diǎn)時(shí)，函(z)也可寫成：f(z)=g(z)/(z–z0)m

（5.1.1）其中，g(z)=c-m+c-m+1(z–z0)+c-m+2(z–z0)2+…其中，g(z)在|z–z0|<δ內(nèi)是解析的函數(shù)，且g(z0)≠0。反過來，當(dāng)任何一個(gè)函數(shù)f(z)能表示為(5.1.1)的形式時(shí)，那末z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)。極點(diǎn)的判定方法的負(fù)冪項(xiàng)為有的洛朗展開式中含有限項(xiàng).在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)其中在的鄰域內(nèi)解析,且(1)由定義判別(2)由定義的等價(jià)形式判別(3)利用極限判斷

.極點(diǎn)判定如果z0為f(z)的極點(diǎn)，由(5.1.1)式，就有或?qū)懽骼纾瑢?duì)有理分式函數(shù)f(z)=(z–2)/[(z2+1)(z–1)3]來說，z=1是它的一個(gè)三級(jí)極點(diǎn)，z=±i都是它的一級(jí)極點(diǎn)。

課堂練習(xí)求的奇點(diǎn),如果是極點(diǎn),指出它的級(jí)數(shù).答案3、

本性奇點(diǎn)定義：如果羅倫級(jí)數(shù)中含有無窮多個(gè)z–z0的負(fù)冪項(xiàng)，那未孤立奇點(diǎn)z0叫做f(z)的本性極點(diǎn)。例如，函數(shù)f(z)=e1/z以z=0為它的本性奇點(diǎn)，因?yàn)橹泻袩o窮多個(gè)z的負(fù)冪項(xiàng)。本性奇點(diǎn)例如：含有無窮多個(gè)z的負(fù)冪項(xiàng)特點(diǎn):

在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)不存在且不為同時(shí)不存在.本性奇點(diǎn)在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)，函數(shù)f(z)有以下的性質(zhì)（證明略）：如果z0為函數(shù)f(z)的本性奇點(diǎn)，那末對(duì)于任意給定的復(fù)數(shù)A，總可以找到一個(gè)趨向于z0的數(shù)列，當(dāng)z沿這個(gè)數(shù)列趨向于z0時(shí)，f(z)的值趨向于A。例如，給定復(fù)數(shù)A=i，我們把它寫成i=e(π/2+2nπ)i。那么由e1/z=i，可得zn=1/[(π/2+2nπ)i]。顯然，當(dāng)n→∞時(shí)，zn→0。而e1/Zn=i，所以，當(dāng)z沿{zn}趨向于零時(shí)，f(z)的值趨向于i。孤立奇點(diǎn)的性質(zhì)（1）z0為f(z)的可去奇點(diǎn)性質(zhì)1

若z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則下列條件等價(jià)：孤立奇點(diǎn)的性質(zhì)（2）z0為f(z)的m（m≥1）級(jí)極點(diǎn)，則性質(zhì)2若z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則下列條件等價(jià)（都是m級(jí)極點(diǎn)的特征）：孤立奇點(diǎn)的性質(zhì)例如：z=1為f(z)的一個(gè)4級(jí)極點(diǎn)，z=i為f(z)的單極點(diǎn)。注意在判斷孤立奇點(diǎn)類型時(shí)，不要一看到函數(shù)的表面形式就急于作出結(jié)論.例如利用洛朗/羅倫展式容易知道，z=0分別是它們的單極點(diǎn)，可去奇點(diǎn)，二級(jí)極點(diǎn)。孤立奇點(diǎn)的性質(zhì)性質(zhì)3：若z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則z0為f(z)的極點(diǎn)的充要條件是：

在判斷函數(shù)的極點(diǎn)時(shí)，可比較性質(zhì)2和性質(zhì)3。性質(zhì)4：z0為f(z)的本性奇點(diǎn)總結(jié)綜上所述，如果z0為f(z)的可去奇點(diǎn)，那末

存在且有限；如果z0為f(z)的極點(diǎn)，那末

；如果z0為f(z)的本性奇點(diǎn)，那末

不存在且不為∞。因已討論了孤立奇點(diǎn)的一切可能情形，所以反過來的結(jié)論也戍立。即可以利用上述極限的不同情形來判別奇點(diǎn)類型。

總結(jié)綜上所述:孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)m級(jí)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)洛朗級(jí)數(shù)特點(diǎn)存在且為有限值不存在且不為無負(fù)冪項(xiàng)含無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)關(guān)于的最高冪為二、函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系m=1，z0也稱為f(z)的單零點(diǎn)。例如z=0與z=1分別是函數(shù)f(z)=z(z–1)3的一級(jí)與三級(jí)零點(diǎn)。如果函數(shù)f(z)能表示成f(z)=(z–z0)mφ(z)（5.1.2）其中，φ(z)在z0解析并且φ(z0)≠0，m為某一正整數(shù)，那末，z0就稱做f(z)的m級(jí)零點(diǎn)。1、零點(diǎn)的定義2、零點(diǎn)判定結(jié)論：如果f(z)在z0解析，那么z0為f(z)的m級(jí)零點(diǎn)的充要條件是f(n)(z0)=0,(n=1,2,3,…,m–1),f(m)(z0)≠0（5.1.3）事實(shí)上，如果z0是f(z)的m級(jí)零點(diǎn)，那么f(z)可表示成（5.1.2）的形式。[證明]

必要性：由定義，在式f(z)=(z–z0)mφ(z)中，設(shè)φ(z)在z0的泰勒展開式為：φ(z)=c0+c1(z–z0)+c2(z–z0)2+…其中c0=φ(z0)≠0。如果為的級(jí)零點(diǎn)零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系因而f(z)在z0的泰勒展開式為f(z)=c0(z–z0)m+c1(z–z0)m+1+c2(z–z0)m+2+…上式說明，f(z)在z0的泰勒展開式的前m項(xiàng)系數(shù)都為零。由泰勒級(jí)數(shù)的系數(shù)公式可知，這時(shí)f(n)(z0)=0,(n=1,2,3,…,m–1)，而f(m)(z0)/m!=c0≠0。這就證明了(5.1.3)是z0為f(z)的m級(jí)零點(diǎn)的必要條件。充分性：（省略）零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系[解]（1）z=1是f(z)=z3–1的零點(diǎn)，由于f'(z)=3z2|z=1=3≠0，從而知z=1是f(z)的一級(jí)零點(diǎn)。[例1]

求以下函數(shù)的零點(diǎn)及級(jí)數(shù):(1)(2)課堂練習(xí)：是五級(jí)零點(diǎn),是二級(jí)零點(diǎn).知是的一級(jí)零點(diǎn).(2)由于答案的零點(diǎn)及級(jí)數(shù).求零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系結(jié)論：一個(gè)不恒等于零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的。3、零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系函數(shù)的零點(diǎn)與奇點(diǎn)，有下面的關(guān)系（性質(zhì)）：[定理5-1-1]

如果z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)，那末z0就是1/f(z)的m級(jí)零點(diǎn)。反過來也成立。[證]如果z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)，根據(jù)(5.1.1)式，便有f(z)=g(z)/(z–z0)m函數(shù)g(z)在z0解析，且g(z0)≠0。所以當(dāng)z≠z0時(shí)，有1/f(z)=(z–z0)m/g(z)=(z–z0)mh(z)（5.1.4）函數(shù)h(z)也在z0解析，且h(z0)≠0。[定理5-1-1]因此z0是1/f(z)的m級(jí)零點(diǎn)，只要我們令1/f(z0)=0。反過來，如果z0是1/f(z)的m級(jí)零點(diǎn)，那么1/f(z)=(z–z0)mφ(z)這φ(z)里在z0解析，并且φ(z0)≠0。由此，當(dāng)z≠z0時(shí)，得f(z)=ψ(z)/(z–z0)m而ψ(z)=1/φ(z)在z0解析，并且ψ(z0)≠0。所以z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)。[證畢][定理5-1-2][定理5-1-2]如果z0是f(z)的m(m>1)級(jí)零點(diǎn)，那末z0也是f'(z)的m-1級(jí)零點(diǎn)。奇點(diǎn)舉例[例5-1-1]試求1/sinz的奇點(diǎn)。[解]函數(shù)1/sinz的奇點(diǎn)顯然是使sinz=0的點(diǎn)。這些奇點(diǎn)是z=kπ(k=0,±1,±2,…)，因?yàn)閺膕inz=0得eiz=e-iz或e2iz=1。從而有2iz=2kπi，所以z=kπ。很明顯它們是孤立奇點(diǎn)。由于(sinz)'|z=kπ=cosz|z=kπ=(–1)k≠0所以z=kπ都是sinz的一級(jí)零點(diǎn)，也就是1/sinz的一級(jí)極點(diǎn)。零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系注意：求函數(shù)奇點(diǎn)時(shí)，不能一看函數(shù)的表面形式就急于作出結(jié)論。象函數(shù)(ez–1)/z2，初看似乎z=0是它的2級(jí)極點(diǎn)，其實(shí)是一級(jí)極點(diǎn)。因?yàn)槠渲笑?z)在z=0解析，并且φ(0)≠0。類似地，z=0是shz/z3的2級(jí)極點(diǎn)而不是3級(jí)極點(diǎn)。

零點(diǎn)/極點(diǎn)的判定在判斷函數(shù)的極點(diǎn)級(jí)數(shù)時(shí)，下列結(jié)論有時(shí)是非常有用的。（2）當(dāng)m≧n時(shí)，z0是f(z)/g(z)的可去極點(diǎn)；（3）當(dāng)m<n時(shí)，z0是f(z)/g(z)的n–m級(jí)極點(diǎn)。證定理：零點(diǎn)/極點(diǎn)的判定說明此定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為簡便的方法零點(diǎn)/極點(diǎn)的判定例如：零點(diǎn)/極點(diǎn)的判定例3

函數(shù)有些什么奇點(diǎn),如果是極點(diǎn),指出它的級(jí).解

函數(shù)的奇點(diǎn)是使的點(diǎn),這些奇點(diǎn)是是孤立奇點(diǎn).的一級(jí)極點(diǎn).即零點(diǎn)/極點(diǎn)的判定解

解析且所以不是二級(jí)極點(diǎn),而是一級(jí)極點(diǎn).是的幾級(jí)極點(diǎn)?思考[例4]問是的二級(jí)極點(diǎn)嗎?注意:不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論.零點(diǎn)/極點(diǎn)的判定三、

函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)在討論函數(shù)f(z)的解析性和它的奇點(diǎn)時(shí)，都假定z為有限遠(yuǎn)點(diǎn)。至于函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)，則未提及。有時(shí)在考慮解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)時(shí)，將無窮遠(yuǎn)點(diǎn)考慮在內(nèi)會(huì)給我們處理問題帶來極大方便.函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)定義：Rxyo函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)函數(shù)f(z)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)z=∞的（去心）鄰域R<|z|<∞內(nèi)解析（稱∞為f(z)的孤立奇點(diǎn)）。作變換z=1/t，并且約定這個(gè)變換把z平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)z=∞映射成t平面上的點(diǎn)t=0，那么每一個(gè)向無窮遠(yuǎn)點(diǎn)收斂的序列{zn}與向零收斂的序列{tn=1/zn}相對(duì)應(yīng)。反過來也是這樣。函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)即：令變換規(guī)定此變換將:映射為擴(kuò)充z平面擴(kuò)充t平面映射為映射為映射為函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)同時(shí)，z=1/t把∞的鄰域R<|z|<∞變?yōu)閠平面上原點(diǎn)O的鄰域0<|t|<1/R，又f(z)=f(1/t)=φ(t)這樣，就可以把鄰域R<|z|<∞內(nèi)對(duì)函數(shù)f(z)的研究化為在鄰域0<|t|<1/R內(nèi)對(duì)函數(shù)φ(t)的研究。顯然，φ(t)在鄰域0<|t|<1/R內(nèi)是解析的，所以t=0是φ(t)的孤立奇點(diǎn)。函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)

規(guī)定/定義：如果t=0是φ(t)的可去奇點(diǎn)、m級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)，那么就說點(diǎn)z=∞是f(z)的可去奇點(diǎn)、級(jí)奇點(diǎn)或本性奇點(diǎn)。由于f(z)在R<|z|<∞內(nèi)解析，所以在此圓環(huán)域內(nèi)可以展開成羅倫級(jí)數(shù)，有

（5.1.5）其中，C為圓環(huán)域R<|z|<∞內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡單閉曲線。函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)因此，φ(t)在圓環(huán)域0<|t|<1/R內(nèi)的羅倫級(jí)數(shù)可由(5.1.5)得到，即

（5.1.6）我們知道，如果在級(jí)數(shù)（5.1.6）中

（1）不含負(fù)冪項(xiàng)；（2）含有有限多的負(fù)冪項(xiàng)，且t-m為最高負(fù)冪項(xiàng)；（3）含有無窮多的負(fù)冪項(xiàng)。

那么t=0是φ(t)的

（1）可去奇點(diǎn)；（2）m級(jí)極點(diǎn)；（3）本性奇點(diǎn)。函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)因此，根據(jù)前面的規(guī)定。如果在級(jí)數(shù)（5.1.5）中：

（1）不含正冪項(xiàng)；（2）含有有限多的正冪項(xiàng)，且zm為最高正冪；（3）含有無窮多的正冪項(xiàng)。那么z=∞是f(z)的

（1）可去奇點(diǎn)；（2）m級(jí)極點(diǎn)；（3）本性奇點(diǎn)。這樣一來，對(duì)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)來說，它的特性與其羅倫級(jí)數(shù)之間的關(guān)系就跟有限遠(yuǎn)點(diǎn)的情形一樣，不過只是把正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)的作用互相對(duì)調(diào)就是了。

2、判別方法1)不含正冪項(xiàng);2)含有有限多的正冪項(xiàng)且為最高正冪;3)含有無窮多的正冪項(xiàng);那末是的1)可去奇點(diǎn);2)m級(jí)極點(diǎn);3)本性奇點(diǎn).判別法1(利用洛朗級(jí)數(shù)的特點(diǎn))在內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中:如果函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)[例10](1)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式為:函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)不含正冪項(xiàng)所以是的可去奇點(diǎn).(2)函數(shù)含有正冪項(xiàng)且z為最高正冪項(xiàng),所以是的m級(jí)極點(diǎn).函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)(3)函數(shù)的展開式:含有無窮多的正冪項(xiàng)所以是的本性奇點(diǎn).課堂練習(xí)的奇點(diǎn)及其類型.說出函數(shù)答案函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)判別法2:(利用極限特點(diǎn))如果極限1)存在且為有限值;2)無窮大;3)不存