選修2-2第06講合情推理與演繹推理

第6講合情推理與演繹推理組一、選擇題1．為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文（加密） ，接收方由密文→明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文 a，b，c，d對應(yīng)密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d，例如，明文 1,2,3,4 對應(yīng)密文 5,7,18,16. 當(dāng)接收方收到密文 14,9,23,28 時，則解密得到的明文為A．6,4,1,7 B ．7,6,1,4C．4,6,1,7 D ．1,6,4,7【答案】A【解析】依題意，得a2b14a62bc9b42c3d解得c．2314d28d7∴明文為：6，4，1，72．如圖，將一張等邊三角形紙片沿中位線剪成4個小三角形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個三角形按同樣方式再剪成4個小三角形，共得到7個小三角形，稱為第二次操作；再將其中一個三角形按同樣方式再剪成4個小三角形，共得到10個小三角形，稱為第三次操作；?根據(jù)以上操作，若要得到100個小三角形，則需要操作的次數(shù)是）A．25B．33C．34D．50【答案】B【解析】由題意可知，第一次操作后，三角形共有4個；第二次操作后，三角形共有437個；第三次操作后，三角形共有43310個；?由此可得第n次操作后，三角形共有43(n1)3n1個；當(dāng)3n1100時，解得n33，故選B．3．設(shè)函數(shù)f(x)x(x0)，觀2x察:f1(x)f(x)x,f2(x)f(f1(x))x，x243xf3(x)x,f4(x)f(f3(x))xf(f2(x))16根據(jù)以上事實(shí)，由歸7x815x納推理可得當(dāng)nN*且n2時,fn(x)f(fn1(x))試卷第1頁，總15頁1，3，7，15?2n-1，2，4，8，16?2nA．xB．x1x2n1x2n2n2nC．xD．x1)x2n1)x2n(2n(2n【答案】C【解析】觀察：f1(x)x,f2(x)f(f1(x))x(x)f(f2(x))xf(x)，f3,x23x47x8f4(x)f(f3x(x))：15x16所給的函數(shù)式的分子不變都是 x，而分母是由兩部分的和組成，第一部分的系數(shù)分別是第二部分的數(shù)分別是∴fnxffn1xx1x2n2n4．在算式（﹣1）□（﹣2）的□中填上運(yùn)算符號，使結(jié)果最小，這個運(yùn)算符號是（）A．加號B．減號C．乘號D．除號．【答案】A【解析】（﹣1）+（﹣2）=﹣1﹣2=﹣3；﹣1﹣（﹣2）=﹣1+2=1；（﹣1）×（﹣2）=2；﹣1÷（﹣2）=0.5，3＜0.5＜1＜2，則這個運(yùn)算符號為加號．故選A二、填空題5．在平面內(nèi)，三角形的面積為S，周長為C，則它的內(nèi)切圓的半徑r2S．在空間中，C三棱錐的體積為V，表面積為S，利用類比推理的方法，可得三棱錐的內(nèi)切球（球面與三棱錐的各個面均相切）的半徑R=___________________【答案】3VS【解析】若三棱錐表面積為S，體積為V，則其內(nèi)切球半徑r3v”證明如下：s設(shè)三棱錐的四個面積分別為：S1,S2,S3,S4，由于內(nèi)切球到各面的距離等于內(nèi)切球的半徑∴V1S1r1S2r1S3r1S4r1Sr33333∴內(nèi)切球半徑 r

3VS6．對大于 1 的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的“分裂”：試卷第2頁，總15頁1373339,43153有一個是73，則m的值為2,317,仿此，若m的“分裂”數(shù)中51119_____________．【答案】9【解析】732361，23835，所以m的值為97．在一次連環(huán)交通事故中，只有一個人需要負(fù)主要責(zé)任，但在警察詢問時，甲說：“主要責(zé)任在乙”；乙說：“丙應(yīng)負(fù)主要責(zé)任”；丙說“甲說的對”；丁說：“反正我沒有責(zé)任”．四人中只有一個人說的是真話，則該事故中需要負(fù)主要責(zé)任的人是_______________．【答案】甲【解析】若負(fù)主要責(zé)任的是甲，則甲乙丙都在說假話，只有丁說真話，符合題意．若負(fù)主要責(zé)任的是乙，則甲丙丁都在說真話，不合題意．若負(fù)主要責(zé)任的是丙，則乙丁都在說真話，不合題意．若負(fù)主要責(zé)任的是丁，則甲乙丙丁都在說假話，不合題意．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā)，沿著箭頭所示方向，每次移動1個單位，依次得到點(diǎn)P1(0,1)，P2(1,1)，P3(1,0)，P4(1,1)，P5(2,1)，P6(2,0)，?，則點(diǎn)P60的坐標(biāo)是.【答案】（20,0）【解析】觀察圖形可得，點(diǎn)P60在x軸上，它的橫坐標(biāo)為60320，所以點(diǎn)P60的坐標(biāo)是（20,0）．9．6月23日15時前后，江蘇鹽城市阜寧、射陽等地突遭強(qiáng)冰雹、龍卷風(fēng)雙重災(zāi)害襲擊，風(fēng)力達(dá)12級.災(zāi)害發(fā)生后，有甲、乙、丙、丁4個輕型救援隊從A，B，C，D四個不同的方向前往災(zāi)區(qū).已知下面四種說法都是正確的.1）甲輕型救援隊所在方向不是C方向，也不是D方向；2）乙輕型救援隊所在方向不是A方向，也不是B方向；3）丙輕型救援隊所在方向不是A方向，也不是B方向；4）丁輕型救援隊所在方向不是A方向，也不是D方向；此外還可確定：如果丙所在方向不是 D方向，那么甲所在方向就不是 A方向，有下列判斷：①甲所在方向是B方向；②乙所在方向是D方向；③丙所在方向是D方向；④丁所在方向是C方向.其中判斷正確的序號是 .【答案】③.試卷第3頁，總15頁【解析】對于①，若甲所在方向是B方向，則丁輕型救援隊所在方向是C方向,于是乙、丙輕型救援隊所在方向都是D方向，矛盾；對于②，若乙所在方向是D方向，則甲所在方向是A方向，丙所在方向是C方向，丁所在方向是B方向，這與如果丙所在方向不是D方向，那么甲所在方向就不是A方向矛盾；對于③，若丙所在方向是D方向，則甲所在方向是A方向，乙所在方向是C方向，丁所在方向是B方向，符合題意；對于④，若丁所在方向是C方向，則乙、丙所在方向是C方向，不符合題意；故應(yīng)填③.10．觀察下列式子：113,1115,11117,則可以猜想222223232232424?的結(jié)論為：．【答案】111.......12n1(n2)2232n2n【解析】由已知可得，113,1115,11117觀察分析不等式兩邊222223232232424111.......12n1(n2)數(shù)的變化趨勢，歸納其中規(guī)律后，推出2232n2n11．如圖，將自然數(shù)按如下規(guī)則“放置”在平面直角坐標(biāo)系中，使其滿足條件： （1）每個自然數(shù)“放置”在一個“整點(diǎn)” （橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)） 上；（2）0在原點(diǎn)，1在0,1點(diǎn)，2在1,1點(diǎn)，3在1,0點(diǎn)，4在1,1點(diǎn)，5在0,1點(diǎn)，?，即所有自然數(shù)按順時針“纏繞”在以“0”為中心的“樁”上，則放置數(shù)字2*2n1,nN的整點(diǎn)坐標(biāo)是_________．【答案】 n,n 1【解析】按順序填入自然數(shù)，此圖在第二象限的轉(zhuǎn)彎處（角處）所填數(shù)是奇數(shù)的平方，在第四象限的轉(zhuǎn)彎處（角處）所填數(shù)是偶數(shù)的平方，(2n1)2所在坐標(biāo)為(n,n1)．12．定義一種新運(yùn)算“*”，對自然數(shù)n滿足以下等式：（1）1*1=1；（2）3(n*1)，(n1)*1則2*1；n*1．【答案】3;3n1【解析】試卷第4頁，總15頁2*1(11)*13(1*1)3，3*1(21)*13(2*1)32，4*1(31)*13(3*1)33，?，n*1((n1)1)*13((n1)*1)3n1．13．已知數(shù)列an滿足葬，仿照課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式的方法，可求得5Sn－4nan＝【答案】n【解析】由Sna1a24a342an4n1①得4Sn4a1a242a343an4n②①+②得：5Sna14a1a242a2a34n1an1anan4n2n1a1414214n114nan4441114nann4nan所以5Sn4nann14．如圖，在楊輝三角形中，從上往下數(shù)共有*1的數(shù)字之n（n∈N）行，在這些數(shù)中非和是__________．【答案】2n 2n【解析】觀察可知,第n(nN)行中有n個數(shù),從左向右依次是二次項系數(shù),C0,C1,C2,Cn1,故當(dāng)n3時,除了1外,,第n行各數(shù)的和為n1n1n1n1an12n2n12,又前n行非1的數(shù)字之和為Cn1Cn1Cn12aaa4(12n2)2(n2)2n2n．34n12試卷第5頁，總15頁15．設(shè)f(x)1，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的方法，可求得4x2f(1)f(2)f(9)．101010【答案】94【解析】f(x)f(1x)1114x4x241x24x2424x24x1424x2令Snf(1)f(2)f(9),2Sn19,Sn910101022Sf(9)f(8)f(1),n10101016．對于數(shù)25，規(guī)定第1次操作為23+53=133，第2次操作為13+33+33=55，如此反復(fù)操作，則第2016次操作后得到的數(shù)是______【答案】250【解析】第一次操作為:2353133,第二次操作為:13333355,第三次操作為:5353250,第四次操作為:235303133,操作結(jié)果以3為周期,循環(huán)出現(xiàn)．20163672,所以第2016次操作后得到的數(shù)與第三次操作后得到的數(shù)相同,第2016次操作后得到的數(shù)為250．17．若f（n）＝12＋22＋32＋?＋（2n）2，則f（k＋1）與f（k）的遞推關(guān)系式是 _______．【答案】f（k＋1）＝f（k）＋（2k＋1）2＋（2k＋2）2【解析】f(k1)122232(2k)2(2k1)2[2(k1)]2,f(k)122232(2k)2,f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)218．如圖，它滿足①第n行首尾兩數(shù)均為n，②表中的遞推關(guān)系類似楊輝三角，則第n行(n2)第2個數(shù)是_________.試卷第6頁，總15頁【答案】n2n2。2【解析】根據(jù)上表規(guī)律觀察可知，第2行第2個數(shù)為2，第3行第2個數(shù)為4，第4行第2個數(shù)為7，依次規(guī)律可求第n行第2個數(shù)，根據(jù)累加原理，可得第n行第2個數(shù)為n2n1n2n222。219．6月23日15時前后，江蘇鹽城市阜寧、射陽等地突遭強(qiáng)冰雹、龍卷風(fēng)雙重災(zāi)害襲擊，風(fēng)力達(dá)12級.災(zāi)害發(fā)生后，有甲、乙、丙、丁4個輕型救援隊從A，B，C，D四個不同的方向前往災(zāi)區(qū).已知下面四種說法都是正確的.1）甲輕型救援隊所在方向不是C方向，也不是D方向；2）乙輕型救援隊所在方向不是A方向，也不是B方向；3）丙輕型救援隊所在方向不是A方向，也不是B方向；4）丁輕型救援隊所在方向不是A方向，也不是D方向；此外還可確定：如果丙所在方向不是 D方向，那么甲所在方向就不是 A方向，有下列判斷：①甲所在方向是B方向；②乙所在方向是D方向；③丙所在方向是D方向；④丁所在方向是C方向.其中判斷正確的序號是 .【答案】③【解析】由（1）知，甲選 或 ；由（2）知，乙選C或D；由（3）知，丙選C或D；由（4）知，丁選C或 ；由于：如果丙所在方向不是 D方向，那么甲所在方向就不是 方向，故丙所在方向是 D方向．三、解答題20．某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)．（1）sin213cos217sin13cos17；（2）sin215cos215sin15cos15；（3）sin218cos212sin18cos12；（4）sin2(18)cos248sin(18)cos48（5）sin2(25)cos255sin(25)cos55

；．（Ⅰ）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．【解析】（Ⅰ）由（2）得sin215cos215sin15cos1511sin30324（2）三角恒為等式：sin2cos2(30)sincos(30)3；4試卷第7頁，總15頁證明：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2(3cos1sin)2sin(3cos1sin)22225sin23cos23sincos3sincos1sin23.442224組一、選擇題1．把3、6、10、15、21、?這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個正三角形（如下圖） ，試求第六個三角形數(shù)是A．27 B ．28 C ．29 D ．30【答案】B【解析】原來三角形數(shù)是從 3開始的連續(xù)自然數(shù)的和．是第一個三角形數(shù)，是第二個三角形數(shù)，是第三個三角形數(shù)，是第四個三角形數(shù)，是第五個三角形數(shù)，是第六個三角形數(shù)，?那么，第六個三角形數(shù)就是：l+2+3+4+5+6+7=28．下列表述正確的是①歸納推理是由部分到整體的推理②歸納推理是由一般到一般的推理③演繹推理是由一般到特殊的推理④類比推理是由特殊到一般的推理⑤類比推理是由特殊到特殊的推理A．②③④ B ．①③⑤ C ．②④⑤ D ．①⑤【答案】B【解析】歸納推理是由部分到整體的推理，演繹推理是由一般到特殊的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理．故①③⑤是正確的3．以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的 《詳解九章算術(shù)》 一書中的“楊輝三角形”.12345?20132014201520163579?402740294031試卷第8頁，總15頁81216?805680602028?16116該表由若干數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)為（）A．201722015B．201722014C．201622015D．201622014【答案】B【解析】觀察數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每一行都是一個等差數(shù)列，且第一行的公差為1第二行的公差為2，第三行的公差為4，第四行的公差為8，?，第2015行的公差為22014，第2016行（最后一行）僅有一個數(shù)為 (1 2016) 22014 2017 22014，故選B．4．在下列藝術(shù)字中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）【答案】D【解析】A中藝術(shù)字是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形； B中藝術(shù)字是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；C中藝術(shù)字不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形； D中藝術(shù)字是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故選 D．5．在平面幾何里有射影定理： 設(shè)三角形 ABC的兩邊AB AC，D是A點(diǎn)在BC上的射影，則AB2 BDBC．拓展到空間，在四面體A BCD中，AD⊥面ABC，點(diǎn)O是A在面BCD內(nèi)的射影，且O在BCD內(nèi)，類比平面三角形射影定理，得出正確的結(jié)論是（）A．S2ABCSBCOSBCDB．S2ABDSBODSBDCC．S2ADCSDOCSBDCD．S2BDCSABDSABC【答案】A【解析】再直角三角形中的射影定理為； AB2 BDBC（即直角邊的平方等于它在斜邊上的射影與斜邊的積），所以四面體中可類比得； S2ABC SBCO SBCD．（側(cè)面面積的平方等于它在地面上的射影與底面的積） ．二、填空題6．觀察下列不等式：試卷第9頁，總15頁①113；222②11152232；3③11117；2232424照此規(guī)律，第五個不等式為．【答案】1111111122222623456【解析】n22n1，故猜想11111111左邊分子是1，右邊是n22222．2345667．小明在學(xué)校組織了一次訪談，全體受訪者中，有6人是學(xué)生，4人是初中生，2人是教師；5人是乒乓球愛好者，2人是籃球愛好者.根據(jù)以上信息可推知，此次訪談中受訪者最少有_____人；最多有______人.【答案】815【解析】由題意得當(dāng)乒乓球愛好者和籃球愛好者均和老師與學(xué)生重復(fù)的好，最少有628人，當(dāng)所有人都不重復(fù)時，人數(shù)最多為 6 2 5 2 15人，故答案為 8,15.8．6月23日15時前后，江蘇鹽城阜寧、射陽等地突遭強(qiáng)冰雹、龍卷風(fēng)雙重災(zāi)害襲擊，風(fēng)力達(dá)12級.災(zāi)害發(fā)生后，有甲、乙、丙、丁4個輕型教授隊從A，B，C，D四個不同的方向前往災(zāi)區(qū).已知下面四種說法都是正確的.（1）甲輕型教授隊所在方向不是C方向，也不是D方向（2）乙輕型教授隊所在方向不是A方向，也不是B方向（3）丙輕型教授隊所在方向不是A方向，也不是B方向（4）丁輕型教授隊所在方向不是A方向，也不是D方向此外還可確定：如果丙所在方向不是 D方向，那么甲所在方向就不是 A方向.有下列判斷：①甲所在方向是 B方向；②乙所在方向是 D方向；③丙所在方向是 D方向；④丁所在方向是C方向.其中判斷正確的序號是 __________.【答案】③【解析】由（1）知，甲選 A或B；由（2）知，乙選C或D；由（3）知，丙選C或D；由（4）知，丁選C或B；由于：如果丙所在方向不是 D方向，那么甲所在方向就不是 A方向，故丙所在方向是 D方向．9．定義一種運(yùn)算“*”，它對于正整數(shù)滿足下列運(yùn)算性質(zhì)：2*2016=1，②（2n+2）*2016=2[（2n）*2016]，則2016*2016=_________【答案】21007【解析】由（2）設(shè)（2n）*2016=an，則（2n+2）*2016=an1，且a11，∴an1=2an，試卷第10頁，總15頁an=2n-1，即（2n）*2016=2n1，2016*2016=2100710．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù) .如三角形數(shù)1,3,6,10, ，第n個三角形數(shù)為n(n1)1n21n.記第n個k邊形數(shù)為Nn,k（k3），以下列222出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)五邊形數(shù)

Nn,31n21n正方形數(shù)22Nn,53n21n六邊形數(shù)22

Nn,4 n2Nn,6 2n2 n可以推測Nn,k的表達(dá)式，由此計算N10,24.【答案】1000【解析】由已知得：Nn,31n21n32n243n,Nn,4n242n244n,222222Nn,53n21n52n245n,Nn,62n2n62n246n,根據(jù)222222歸納推理可得，Nn,kk2n24kn,22N10,242421024241011001001000,故答案為1000.2211．為應(yīng)對我國人口老齡化問題，某研究院設(shè)計了延遲退休方案，第一步：2017年女干部和女工人退休年齡統(tǒng)一規(guī)定為55歲；第二步：從2018年開始，女性退休年齡每3年延遲1歲，至2045年時，退休年齡統(tǒng)一規(guī)定為65歲，小明的母親是出生于1964年女干部，據(jù)此方案，她退休的年份是年．【答案】2020【解析】∵小明的母親是出生于1964年的女干部，∴按原來的退休政策，她應(yīng)該于：1964+55=2019年退休，∵從2018年開始，女性退休年齡每3年延遲1歲，∴據(jù)此方案，她退休的年份是2020年．故答案為：2020．12．圖甲是應(yīng)用分形幾何學(xué)做出的一個分形規(guī)律圖，按照圖甲所示的分形規(guī)律可得圖乙所示的一個樹形圖．試卷第11頁，總15頁我們采用“坐標(biāo)”來表示圖乙各行中的白圈、黑圈的個數(shù)（橫坐標(biāo)表示白圈的個數(shù)，縱坐標(biāo)表示黑圈的個數(shù)）．比如第一行記為0,1，第二行記為1,2，第三行記為4,5，照此下去，第四行中白圈與黑圈的“坐標(biāo)”為______，第nnN*行中白圈與黑圈的“坐標(biāo)”為______．【答案】13,14、3n11,3n1122【解析】由圖甲所示的分形規(guī)律，1個白圈分形為2個白圈1個黑圈，1個黑圈分形為1個白圈2個黑圈，記某行白圈x個，黑圈y個為(x,y)，則第一行記為(0,1)，第二行記為(1,2)，第三行記為(4,5)，第四行記為(13,14)，第四行白圈與黑圈的“坐標(biāo)”為(13,14)，各行黑圈乘以2，分別是2，4，10，28，82，即11，31，91，271，811，1所以第n行的圈數(shù)為31，而第n行共有3n1個圈，故第n行的白圈數(shù)為23n13n113n11，故第n（nN）行中白圈與黑圈的“坐標(biāo)”為22(3n11,3n11).2213．已知結(jié)論：“在ABC中，各邊和它所對角的正弦比相等，即abcsinAsiBn”，若把該sCinABCD中，側(cè)棱AB與平面ACD，平面結(jié)論推廣到空間，則結(jié)論為：“在三棱錐BCD所成的角為,，則有________．【答案】SBCDSACDsin sin【解析】分別過B,A作平面ACD,BCD的垂線，垂足分別為E,F，則BAE,ABF,VBACD1SACDBE1SACDABsin，33VABCD1SBCDAF1SBCDABsin，33試卷第12頁，總15頁所以1SACDABsin1SACDABsin，即SBCDSACD．33sinsin14．如圖，記棱長為1的正方體為C1，以C1各個面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為C2，以C2各面的中心為頂點(diǎn)的正方體為C3，以C3各個面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為C4，，以此類推．則正方體C9的棱長為．【答案】【解析】

18設(shè)正多面體Cn（n ）的棱長為 an，則a1 1．因為正八面體 C2由兩個同底的正四棱錐組成，公共底面是正方形，其對角線長為正方體C1的棱長，則a22a12．因為正方體C3的各頂點(diǎn)是正八面體C2各個面的中心，則22a212a2a21．同理，a42a2，a2a1，．由3322332365349此猜想，數(shù)列a1，a3，a5，，a2n1是首項為1，公比為1的等比數(shù)列，所以3141．a(chǎn)938115．若a,b,c為直角三角形的三邊，其中c為斜邊，則a2b2c2，稱這個定理為勾股定理，現(xiàn)將這一定理推廣到立體幾何中：在四面體OABC中，AOBBOCCOA90，S為頂點(diǎn)O所對面的面積，S1,S2,S3分別為側(cè)面OAB,OAC,OBC的面積，則S,S1,S2,S3滿足的關(guān)系式為.2222【答案】SS1S2S3【解析】由類比推理的思維方法可得空間的結(jié)論應(yīng)該是S2S12S22S32,故應(yīng)填試卷第13頁，總15頁S2S12S22S32.16．已知{bn}為等差數(shù)列，b52，則b1b2b3b929，若{an}為等比數(shù)列，a52，則{an}的類似結(jié)論為：【答案】a1a2a3a929【解析】因為在等差數(shù)列中有a1a9a2