曲面的面積 重心 轉(zhuǎn)動慣量 引力

曲面的面積重心轉(zhuǎn)動慣量引力§1重積分的應(yīng)用2/6/20231求由方程所確定的曲面S的面積對區(qū)域D作分割T,一、曲面和面積2/6/20232曲面面積的計算公式先計算Ai的面積.2/6/20233所以若曲面方程為則該曲面的面積S為2/6/20234說明:

則曲面面積S：如果曲面方程為如果曲面方程為則有公式：2/6/20235例1求圓錐在圓柱體內(nèi)那一部分的面積.解所求面積的曲面的方程為所以2/6/20236例.計算雙曲拋物面

被柱面所截

解:曲面在xoy面上投影為則出的面積A.2/6/20237設(shè)空間有n個質(zhì)點(diǎn),由力學(xué)知,分別位于其質(zhì)量分別為該質(zhì)點(diǎn)組的重心坐標(biāo)為二、重心2/6/20238設(shè)空間物體V,有連續(xù)密度函數(shù)采用“分割,近似代替,求和,取極限”可導(dǎo)出其重心坐標(biāo)公式.求V的重心坐標(biāo).將V

分成n小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)的重心坐標(biāo).例如,此質(zhì)點(diǎn)組的重心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量為在第i塊上任取一點(diǎn)2/6/20239令各小區(qū)域的最大直徑即得其中m為物體V的質(zhì)量，同理可得

2/6/202310則其中V表示區(qū)域V的體積2/6/202311若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,(SD為D的面積)則則它的重心坐標(biāo)為其面密度為

2/6/202312例.求位于兩圓

和之間均勻薄片的重心.解:

利用對稱性可知而2/6/202313質(zhì)點(diǎn)A對于軸l的轉(zhuǎn)動慣量J

慣量可用積分計算.質(zhì)點(diǎn)組的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點(diǎn)和A與轉(zhuǎn)動軸l的距離r的平方的乘積,即

三、轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動等于A的質(zhì)量m

2/6/202314設(shè)在該物體位于(x,y,z)處取一微元，因此該物體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量:對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為其體積記為dV，質(zhì)量為

到z軸的距離為從而為空間物體V的密度函數(shù)，求V對

z軸的轉(zhuǎn)動慣量.2/6/202315類似可得:對x軸的轉(zhuǎn)動慣量對y軸的轉(zhuǎn)動慣量對原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量一般說來，若V中的點(diǎn)(x,y,z)到轉(zhuǎn)動軸l的距離為則轉(zhuǎn)動慣量為2/6/202316對坐標(biāo)平面的轉(zhuǎn)動慣量分別為對xy平面的轉(zhuǎn)動慣量對yz平面的轉(zhuǎn)動慣量對xz平面的轉(zhuǎn)動慣量2/6/202317如果物體D是平面薄片,

面密度為

則轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式是二重積分.一般說來，若D中的點(diǎn)(x,y)到轉(zhuǎn)動軸l的距離為則轉(zhuǎn)動慣量為2/6/202318例4求密度均勻的圓環(huán)D對于垂直于圓環(huán)面中心軸的轉(zhuǎn)動慣量解設(shè)圓環(huán)D為密度為ρ，則D中任一點(diǎn)(x,y)與轉(zhuǎn)軸的距離為于是轉(zhuǎn)動慣量2/6/202319例.求半徑為a的均勻半圓薄片對其直徑解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量.設(shè)薄片的密度為ρ，則2/6/202320例6.設(shè)某球體的密度與球心的距離成正比，

求它對于切平面的轉(zhuǎn)動慣量解建立坐標(biāo)系如圖,設(shè)球體為密度為

k為比例常數(shù).切平面方程為z=R,則球體對于該切平面的轉(zhuǎn)動慣量為2/6/202321求密度為的物體V對物體外質(zhì)量為1的的單位質(zhì)點(diǎn)A的引力在該物體位于(x,y,z)處取一微元，其體積記為dV，質(zhì)量為

對質(zhì)點(diǎn)A的引力為設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為四、引力2/6/202322該引力在坐標(biāo)軸上的投影為其中k為引力常數(shù)，于是所求力在坐標(biāo)軸上的投影分別為2/6/202323所以