數學素養(yǎng)與數學教學 (簡)

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數學

三種形態(tài)數學是一座蘊藏智慧的寶庫，數學教育是一把開發(fā)智慧的鑰匙，而數學教師則是這座寶庫的開鎖人，其責任重大，影響深遠。當把所學的知識都忘記了以后，剩下的就是素質。

——愛因斯坦人們通過數學教育及自身的實踐和認識活動，所獲得的數學知識、技能、能力、觀念和品質等常稱為數學素養(yǎng)。

數學教育對人的教育作用主要體現為：培養(yǎng)科學的世界觀；培養(yǎng)正確的人生觀；培養(yǎng)高尚人格情操；培養(yǎng)深刻理性精神；培養(yǎng)圖強意志毅力。數學教育的任務是使教育適合于數學；教育數學的任務是使數學適合于教育．

義務教育階段數學教學是使學生

“能在教師指導下，從日常和現實生活中發(fā)現并提出簡單的數學問題，認識了解一些簡單的數學知識，產生數學興趣，會數學的思考問題?！?/p>

可見這階段數學教學重在突出“純數學”的相對靜態(tài)的東西，同時兼顧動態(tài)的東西。

從“數學教學”到“數學教育”，雖僅一字之差，但“數學教育”以其豐富的內涵充分反映著數學課程的根本變革，而這正是新課改的基礎，從“數學教學”到“數學教育”才是數學新課程的根本變革，因此從“數學教學”到“數學教育”的變革成為歷史必然。數學素養(yǎng)數學教育與綿陽師范學院唐再良教授一、問渠那得清如許，為有源頭活水來--數學教育現狀面面觀教育對象的變化—421綜合癥1.教育面臨的巨大變化教育內容的變化—知識爆炸知識傳播的變化—現代媒體人才需求的變化—素質能力2.教師學習與教學水平學習力就是競爭力，你可以不學習，但是別人不會不學習。要給孩子一杯水，老師要有一桶水。要給孩子一桶水，老師要有一缸水。老師只有固定量的水是不夠的，應該有涓涓不斷的細流才行。掌握一門教育藝術，比掌握一門學科知識更難。陶行知：有些人一做了教師，便專門教人而忘記自己也是一個永久都不會畢業(yè)的學生。因此很容易停止長進，甚而至于未老先衰。只有好學，才是終身進步之保險，也就是常青不老之保證。學然后知不足，教然后知困。教師是天生的職業(yè)學習者，是天生的職業(yè)讀書人。只有活到老、學到老，才能一輩子“站直了”教書。12121212二分之一的抽象與具體（1）理解數學3.數學教師的基本能力14141414四分之一的抽象與具體01020304文化屬性：人類以獨特思維方式進行的創(chuàng)造活動對象本質：數量關系和空間形式活動特征：抽象--構建關系發(fā)展動力：實用需要、科學需要、審美需要、哲學需要價值表現：人類文化的一個支點數學究竟是什么？課程標準：數學是研究數量關系和空間形式的科學你可以熱愛數學，你也可以厭惡數學，但你的生活中不能沒有數學。因為沒有數學，是你生活的錯誤！為什么把0作為自然數？A、因為0具有自然數的性質B、因為0是測量的起點C、為了使自然數能表示空集

的基數D、因為0是數軸的原點思考？

正確答案B很多人選擇了“A、因為0具有自然數的性質”。這說明，這些教師不了解由于集合論的創(chuàng)立而引起的自然數概念的發(fā)展。為什么0不能做除數？A、因一個數除以0，商是無窮大B、因為0/0是不定式C、因為0做除數，商無法確定D、因為任何數乘0都得0

正確答案C，0做除數沒有意義是一個大家都知道的結論。0做作為除數要么商不存在，要么商不唯一，即商無法確定。為什么要把角的兩邊定義為射線？A、因為角的大小與邊的長短無關B、因為要用角表示方向C、因為邊長不同的角也可以重合D、因為多邊形的邊長可以是任意長正確答案B因為表示方向是角的主要功能之一。下列說法正確的是：A、立正站立的人是一個對稱圖形B、比10多1/2的數是C、求三角形面積必須知道底和高D、數學歸納法是完全歸納法

正確答案B，

不敢選擇唯一正確答案“比10多1/2的數是”的人，就是把分數的概念理解錯了。下列說法正確的是：()A.必須是平均分才能用分數表示

B.分數產生于平分整體

C.分數是為了表示小于單位的量而引入的

D.數的乘方的運算結果叫積C

正確答案C。分數的概念雖然簡單但不易于被理解。人類歷史上最早產生的數是自然數（正整數），以后在度量和平均分時往往不能正好得到整數的結果，這樣就產生了分數。因此分數是為了表示小于單位的量而引入。數的乘方的運算結果叫冪。某學校數學期末試題

中有一道題如下：果籃里有7個蘋果，請將它分放在果盤里，每個果盤放兩個，問可以分幾個果盤？還余幾個蘋果？

學生解答如下：

教研會上，有老師提出問題，這個算式怎么讀？觀點1:7除以2商3余1.觀點2:7個蘋果每個果盤放2個，可以放3個果盤余一個。教研會上兩種觀點僵持不下。你認為問題出在哪里？教材是教師實施教學的主要資源，是實現課程目標的重要載體；是實施課程理念的重要媒介。（2）理解教材教材只是課標的一個例子。

要創(chuàng)造性地使用教材，要對教材進行“再創(chuàng)造”，要結合教材，選擇更好的、更切合所教班級學生的實際教學材料，要把以文字形式呈現的教學內容轉化為生動有趣、富有實效的教學活動。

新課改教材實行一綱多本，經審定可以使用的有人教版、蘇教版、北師大版、西師大版、冀教版、湘教版、滬教版、浙教版、魯教版、粵教版等多種版本。你對教材這部分內容的理解和教學想法是什么？1.課程簡介？2.數學要做什么？（計量、大小、多少、長短、高矮、方位、合分）3.數學是什么？（用符號描述自然界事物的聯系）4.教材包含的知識內容有哪些？教材有哪些需要商榷的地方？（邏輯結構、體例選取、認知規(guī)律等）05066）了解基數（幾）和序數（第幾）；7)為認識6-10以及今后認識更大

的數（數系）和它們的關系打

下基礎；（學數學猶如修房子）8）引入運算“加法”和“減法”以及

它們的符號表示；9）理解加法的的結果叫“和”；減法的結果叫“差”；10）代數學開始：物←數←式←體←結構←代數學11）了解加法運算特點：可交換，兩個得一個；；12）了解加法運算的特點：被減數，減數，差

的位置關系，（現在）不能交換；13）初步建立數學本質和特點感性認識；14）初步建立數學方法的感性認識；讀懂教材課程內容定位課程目標要求教學核心思想教材編寫意圖前后知識結構主體文本框架例題習題關聯讀懂教材的核心：數學本質現在式——屬于什么知識？過去式——歷史背景是什么？將來式——對后續(xù)學習有什么價值？帶有余數的除法反應的數學什么本質？與初中數學和高等數學有何聯系？有學生在做帶有余數的除法時，他是這樣做的：

他問老師做對沒有。老師回答說：“我們教的是20以內的帶有余數的除法，這不是我們學習的內容”。你怎么看？（3）理解教學

數學教學是教師與學生圍繞著數學教材這一“教學文本”進行“對話”的過程。在教學過程中，教學需要“溝通”與“合作”。

07張景中院士對于數學教學提出的三要求：

邏輯結構盡可能簡單；概念引入要平易直觀；要建立有力而通用的解題工具。一個目的：把數學變得容易些！張景中院士提出的教學目的和教學三原則：教學三原則：在學生頭腦里找概念；從概念里產生方法；方法要形成模式。教學本質上是催生新觀念的過程，而不是傳遞現成知識技能的過程。學生不是裝知識技能的“袋子”，教師也不是“裝袋人”。觀念在不斷誕生出來，教學永遠是鮮活的和生長的?！敖逃晒Φ某潭燃词撬鶎е碌膶W生不可預期的行為結果增加的程度?！?/p>

08以下引入“角”的實例中，你認為最好的是()A.三腳架

B.五角星

C.課桌的角

D.鐘面的時針和分針

D

正確答案D。

本題是針對教師的教學理念而設計的，教學理念既受教學觀和兒童數學學習心理的影響，也受到專業(yè)知識的影響，例如，由于大鐘和小手表的針長短相差很大，但是它們的轉過同樣的角度所用的時間卻相同，恰好體現了角的大小和邊的長短無關；描述圓周運動是角的重要功能之一，中學數學中，角是用一條射線繞端點旋轉來定義的，這幾點就決定用鐘面的時針和分針來引入角是最恰當的。下列引入小數實例中，你認為最好的是()A.物價B.身高C.十進分數D.不能整除的除法

A

正確答案A。

本題仍是針對教師的教學理念而設計的，教學理念受教學觀和兒童數學學習心理的影響，小數運用最廣泛的方面是表示物價，而物價也是兒童最熟悉的，因此用物價來引入小數是最恰當的。選擇“不能整除的除法”只從數學內在需要來考慮問題，沒有認識到數學的現實性；選擇“十進分數”的人則沒有考慮到兒童的數學學習心理：十進分數在生活中很少看到。

數學教學可以這樣理解：數學是爸爸，教學是媽媽，既有爸爸，又有媽媽，才是一個快樂的家庭。切不可用教學來代替數學。數學教學要體現教育數學，是要突出數學本質的教學。理解數學是教好數學的前提。理解教材，理解教學，理解學生是課程改革的三大基石。教學經驗、藝術、智慧是教師的看家本領。問題：這個學生缺的究竟是什么？任課教師要求學生求解這樣一個問題：“52型拖拉機，一天耕地150畝，問12天耕地多少畝？”一位學生是這樣解題的：

52×150×12=……（4）理解學生接下來師生的對話如下：“告訴我，你為什么這么列式？”“老師，我錯了?！薄昂玫?，告訴我，你認為正確的該怎么列式？”“除?！薄霸趺闯?？”“大的除以小的?！薄盀槭裁词浅?？”“老師，我又錯了。”“你說，對的該是怎樣呢？”“應該把它們加起來?！薄拔覀儞Q一個題目，比如你每天吃兩個大餅，5天吃幾個大餅？”“老師，我早上不吃大餅的?！薄澳悄愠允裁矗俊薄拔医洺３贼兆??！薄昂?，那你每天吃兩個粽子，5天吃幾個粽子？”“老師，我一天根本吃不了兩個粽子?！薄澳悄隳艹詭讉€粽子？”“吃半個就可以了?！薄昂?，那你每天吃半個（小數乘法沒學）粽子，5天吃幾個粽子？”“兩個半。”“怎么算出來的？”“兩天一個，5天兩個半?！薄咐簲祵W抽象父：“如果你有一個橘子，我再給你兩個，你數數看一共有幾個橘子？”子：“不知道！在學校里，我們都是用蘋果數數的，從來不用橘子”。學生的認知基礎學生的生活經驗學生的興趣需要學生的心理特征學生的思維路徑學生的錯誤習慣學生的情感態(tài)度學生的社會背景讀懂學生的核心：思維的視角過去式——他將會怎么想？現在式——他為什么是那樣想？將來式——應該讓他怎樣想？讀懂學生古人在學習方面的誤導昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路；衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴

眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處。頭懸梁，錐刺股；書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟

4.教師境界與教學效果09一個學生寫在試卷上的一段話“數學，你是個壞蛋，你害我腦細胞不知死了多少。我美好的青春年華就毀在你的手上，你總是打破別人的夢，你為什么要做個人見人恨，人做人更恨的家伙呢？如果沒有你，我將笑得多燦爛呀！如果你離開我，我絕不責怪你無情?！睂W生是否喜歡數學很大程度取決于教師的境界。教學是一門科學，更是一門藝術。學數學、做數學、用數學、發(fā)展數學才是數學教學的真諦。不少老師把做數學作業(yè)作為一種懲獎，致使學生討厭并害怕數學。學習應是一件快樂的事！是否激發(fā)了學生的學習愿望？是否把學生作為教學的出發(fā)點？是否為學生的思考留下充分的空間？是否讓學生有充分的學習活動機會？是否保護了學生的創(chuàng)造性思維？教學過程中，我們要隨時反思我們的教學：這段話給數學教師的深刻啟迪“教師與數學，二者理應相互交融、合二為一。一個優(yōu)秀的數學教師站在講臺上，他就是數學！他的身上應該自然散發(fā)著一種獨特的數學光華與氣息，一種源自于理性、智慧、思辨的內在氣質?！边@種光華和氣息不斷的潛移默化作學生，使其不斷的吸收和感悟著數學中蘊含的無窮智慧。（1）教師的教學境界10授人以魚。授人以魚是教學的第一境界，是給學生一杯水。授人以魚的過程中，要有授人以漁的前瞻意識。這就要求我們在進行知識教學的時候，要注意構建知識結構，在建構過程體驗方式方法。授人以漁。授人以漁是教學的第二重境界，是要教給學生自己去找水，這樣學生就有喝不完的水。捕魚的方法是不可窮盡的，授人以漁只是授給學生基礎的、典型的捕魚方法。學生從模仿開始，逐步內化，形成自己的捕魚技能、技巧。悟其漁識。悟其漁識是教學的第三種境界。匠人與大師的差別在于，匠人只有技能、技巧，他從師傅那里學會了知識，且具備了模仿能力。匠人只會復制前人的東西，只有技能技巧，缺少對事物的見識。而大師是在得到了“魚”、在學會了“漁”的基礎與過程中，悟出了“漁識”，他能進行開創(chuàng)性的勞動，不但有創(chuàng)新的物質產品，而且還有獨特的思想產品。

（2）教師的知識境界

理性---思辨與剛毅的融合。數學家丘成桐說：我讀《史記》象欣賞歌劇，一幕幕地展開。華彩樂章如：高山仰止，景行景止。歷史是宏觀的。學習歷史會使人用宏觀觀點考察事物。我提出的數學想法往往和別人的不一樣，就是得力于《史記》。

深邃---凝重與深刻的結晶。唐朝大詩人王維“明月松間照，清泉石上流”的詩句，成為中國文化“對仗”的不朽典范，曾令多少文人墨客所傾倒。若用數學中“對稱”、“變中不變”的眼光來認識詩句，那就有一種別有洞天的感覺．“明”——“清”（都是形容詞）“月”——“泉”（都是自然景物，名詞）“松”——“石”（也是自然景物，名詞）“間”——“上”（都是介詞）“照”——“流”（都是動詞）文學中對仗之美在于它的不變性，數學的本質之美也在于“變中不變”．假如上聯的詞語變到下聯，含義、詞性、格律全都變了，就成了白開水，還有什么味道？

智慧--創(chuàng)造與力量的凝煉。數學教學就是數學語言的教學，不斷符號化。數學家之所以有飯吃，在于能夠運用符號獲得。語文靠想象，將符號（方塊字）用語法表示出來，說話寫下來就是文章。數學靠理性，將數學符號通過運算、演繹得到結論，這是人為構造的語言。語文、數學、詩詞、定理，都是符號運作。語文是“飯”，不吃要死，容易煮熟。便宜。數學是“菜”，不吃菜也可以活，但身體弱。比較貴。燒菜很難。吃菜必須合理。

數學符號是詩。詩詞是“酒”，酒可以不喝，釀酒更難。有人喜歡，閑時享受才喝。定理也是酒。浪漫--理想與激情交融。初唐詩人陳子昂詩云：“前不見古人，后不見來者，念天地之悠悠，獨愴然而涕下。”這是古人乃至今天人們對時間與空間的認識。時間的模型是一條兩端無限的直線：詩人處在原點。天地各為兩個平面，悠悠地、無限地伸展著。我們的幾何就是在這樣的空間里展開的。

數學的文采，揭示了數學的文化內涵，表現簡潔，寥寥數語，便能道出不同現象的法則。

數學教學既要授之以魚，還要授之以漁，更要悟其漁識。數學教學要讓學生增長智慧，讓學生變得更加聰明！中小學數學教師，應該具有文學家的感情、科學家的自信、數學家的表達方式，要把感情引為動力，把實驗作為過程，把理性視為目標，把理性轉為激情.一位數學人眼中的零我是圓圈，我是點點。我是空虛，我是飽滿。我是靜止，我是發(fā)展。我是衰邁，我是華年。我是可摸的平面，我是無底的深淵。我可以有減無增，我可以有增無減。我有時小得不可捉摸，我有時大得難以計算。我是憂患，我是喜歡。我能成為鎖鏈，我能變作花環(huán)。我是完整的自己，我是我的對立面。二、“昨夜西風凋碧樹。獨上高樓，望盡天涯路?！?/p>

–新課改新在哪里？課程改革有兩大基本特征——理念是全新的

1.教育價值觀的根本轉向；

2.民主、科學、開放的課程理念?！獌热菔钦w的

1.課程與教材改革是突破口；

2.基礎教育的全部變革包括：

①側重課程教材本身的改革：目標、結構（類型）、政策、標準、資源、教材

②由課程教材改革牽動出來的改革：教學、考試、評價、管理、培訓、培養(yǎng)新課程改革的三大主題教學觀念的更新：先導；教學行為、教師角色與職責；學習方式的轉變：關鍵、歸宿；教學制度的重建：保障；以校為本的制度化建設。

（這是課程改革在實施過程中的三個標志性體現）這次改革要求從思想觀念變革開始教育思想教育認識：解決知與不知的問題教育觀念：態(tài)度傾向和情感色彩的認識（解決行為問題）教育理念：理想化和信仰化的觀念（解決價值追求的問題）這次改革倡導新的課程觀和教學觀：——課程是民主的、開放的、科學的（文本課程—經驗課程），課程不僅是預設的，而且更是生成的；——教學不只是忠實地傳遞和接受課程的過程，而更是課程創(chuàng)生與開發(fā)的過程；——教師與學生是課程的有機組成部分。這次改革要求教師角色、教學行為根本轉變學生學習的促進者教育教學的研究者課程的開發(fā)者學校制度的建設者學生學習的傳授者教育教學的執(zhí)行者課程的實施者學校制度的貫徹者

傳統(tǒng)

課改新結構提升了課程的靈活性和彈性，體現時代性、基礎性、選擇性。新設置內容設置螺旋式上升，打破了傳統(tǒng)的以知識結構為中心的嚴謹邏輯結構的編排體系，采用了符合學生認知發(fā)展規(guī)律。新課程“新在”哪里？新方式關注新的教學和學習方式、強調現代信息技術。新理念—學生發(fā)展為本注重“以人為本”的新理念，將情感、態(tài)度、價值觀納入三維目標之中，教材的地位、作用、功能在新課程理念作用下悄悄的變化。新內容新增具有時代脈搏的內容（如隨機現象和模型思想等）。“新”啟示（給課堂教學）（1）應“新”在問題情境與數學本質的有機融合；（2）應“新”在知識發(fā)現過程與學生思維過程的有機融合；（3）應“新”在學生的主體意識與學習方式的有機融合；教學是交往——教師應具有學生意識教學是引導——教師應具有方法意識教學是啟迪——教師應具有問題意識教學是合作——教師應具有合作意識教學是創(chuàng)造——教師應具有課程意識教學是關注——教師應具有人文意識三、“小樓昨夜又東風，故國不堪回首月明中?！?--新課改情況掃描1.數學新課程改革現狀掃描“讓人歡喜，讓人憂”111、追逐形式化：創(chuàng)設情境、小組合作、交流探究、多媒體輔助

2、評價表層化：熱衷于教學的“術”；忽略教育的“道”

3、嘩眾取寵的觀摩課受熱捧：功利的作秀——大大方方唱樣板戲浪漫的激情——莽莽撞撞就愛上它無辜的茫然——逡逡巡巡被牽著走無奈的走樣——恍恍惚惚找不到家。4、可憐教師的境遇：被懸吊在半空中——上不通下不達5、我們走的已經太遠，以至于我們忘記了起點和為什么而出發(fā)！新課程實施十余年的過程中衍生一種“文化現象”：讓學生的思維“動”起來！

讓孩子自主發(fā)現和提出問題；不輕易告訴孩子解決問題的明確目標；讓孩子置身于解決問題的困境中；避免過早地告訴學生答案；讓學生在問題解決的過程中嘗試犯錯誤；自己發(fā)現一些事情遠比被告知來得高興；讓孩子享受發(fā)現樂趣：“怎么會是這個樣子呢？原來是這個樣子！”2.新課改期望的數學教學效果例：楊輝三角形之美審美發(fā)現結構美--質地美規(guī)律尋找數字之間具有怎樣的關系11111111111104433255610…楊輝三角形中的數字結構與牛頓二項式定理系數特征之間的美妙聯系拓展故事：觀察賞析：讓學生的興趣“舞”起來！

讓孩子“玩一玩”數學；鼓勵孩子的“非常規(guī)思維”；以數學之用調動孩子的心靈；用數學之美穿越孩子的心靈；為孩子提供展現發(fā)散思維的空間；挖掘歷史故事的新意；挑戰(zhàn)孩子的思辨智慧。例3：一個圓、三條直線（線段、射線），構造有實際意義的圖形。NOOK1110101117040發(fā)散思維--生活經驗--審美體驗--文化陶冶讓教育的功能“立”起來！

數學地思考不會自然地得到發(fā)展，是一個長期的過程；如果我們忽略讓孩子數學地思考的機會，數學教育的結果將難以想象；數學知識的獲得尤其是數學能力的形成同樣也是一個長期的過程；孩子在數學上的發(fā)展往往要經歷如下境界：獨上高樓，望斷天涯路衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處要有“6年一節(jié)課”的大概念，而不要把一節(jié)課當6年上。要啟發(fā)學生提問，不怕被學生的問題難?。ㄈ鐞鄣仙Ｇ榫掣腥ち说珕栴}的挑戰(zhàn)性變淺了--數學的意境變淡了內容更豐富了但知識的系統(tǒng)性變散了--思想的意蘊變薄了學習更開放了但思維的想象力變窄了--教學的節(jié)奏變亂了課堂更活躍了但文化的感染力變弱了--課程的目標跑偏了新舊理念，剪不斷理還亂3.新課程“教”的如何？--小曲好唱口難開！問題：合作學習

在一堂數學公開課上，女生：你的頭發(fā)有點亂。男生：你的眉毛畫得太濃。評課者：這堂課合作學習搞得很好，學生很活躍。反思：這是課標中的合作學習理念嗎？新理念暴露教學的新問題創(chuàng)設情境--導入新課分組活動--合作交流探索新知--總結規(guī)律聯系實際--鞏固應用（1）數學問題生活化（2）簡約問題繁瑣化（3）復雜問題簡單化（4）動腦問題動手化（5）講授問題活動化（6）生成問題盲目化問題：商場有一套服裝72元，小強身邊只有面值10元的人民幣，問小強至少要帶幾張這樣的人民幣才能買回這套服裝？甲：8張——８０元足夠！乙：9張——８０元不夠！來往還要打車呢。丙：7張——７０元就夠！可以打折嘛。例子：圓餅中的幾何學反思：這是生活數學化嗎？這是數學生活化嗎？4.新課程“難”在何處？（4）對教師數學素養(yǎng)和教學能力要求很高；（1）新課程內容偏多，課時緊張；（3）教學內容的度（難度、深度、廣度）難把握；（2）課程體系結構和銜接問題不盡合理；（5）新課程中的評價困難；（6）教輔資料缺少、教學負擔重等等；（7）舊觀念（傳統(tǒng)教法、學法）難于破除。感嘆：新課程，都是教材惹得禍?。?）從操作層面理解和把握新教材的理念都有難度；對新增內容的合理性和操作性感到困惑；新教材“新”在哪里？“改”在何處？“難”在哪里？不明不白。一線教師的聲音

新課程改革進行到現在，專家們眾說紛紜，我們也莫衷一是。還好，真正每天在教室里和新課程打交道的，站在講臺上能夠決定點什么的，和孩子們朝夕相處的，還是我們一線教師，而教育變革的最終力量可能還是我們這些‘草根’。（10）教師的綜合能力、專業(yè)素養(yǎng)和教學能力參差不齊，難于適應新課程但這不是教師的錯！感概：新課改，眾說紛紜，專家高高在上，不接地氣；教師霧里看花，無所適從；新課程，單相思，想說愛你不容易！

（9）教材的變化使教師的教學遇到很大的困難，使教師失去了原有教學中積累的經驗，每位教師都成了“新教師”；四、俱往矣，數風流人物，還看今朝

--數學新課標理念探微數學文化的涵義①如何彰顯數學文化人類在數學活動中所積累的精神創(chuàng)造的靜態(tài)結果和動態(tài)過程表層元素：數學概念、定理、公式、思想、方法深層元素：數學家信念品質、審美追求、理性思考、思維過程內核：數學家在創(chuàng)造數學過程中所反映的科學與人文精神挖掘--轉化數學文化的基本素材數學與自然和人類生活之關聯：宇宙現象和人類生活蘊涵的數學知識原理--數學在自然和人類生活中的表征與應用數學本身的特征：美妙的形、有趣的數、精致的數學概念、公式、定理、數學規(guī)律、深邃的數學哲理數學家的創(chuàng)造活動：數學家的成長經歷、思維技巧、思想方法、學習態(tài)度、個性品質、科學與人文精神例說：中華太極圖中的數學文化數學元素幾何：圓--圓弧--同心圓通過圓心的任一直徑將圓二等分代數：二分之一文化特質對稱美--均衡美--和諧美--動態(tài)美--辯證美。

例：時間和空間

初唐詩人陳子昂詩云：“前不見古人，后不見來者，念天地之悠悠，獨愴然而涕下?！边@是古人乃只今天人們對時間與空間的認識。時間的模型是一條兩端無限的直線：詩人處在原點。天地各為兩個平面，悠悠地、無限地伸展著。我們的幾何就是在這樣的空間里展開的。實際上，地球上的幾何就超出了這個范圍：非歐幾何。數學問題情境的涵義②如何創(chuàng)設問題情境調動學生認知系統(tǒng)活動的數學問題的信息場創(chuàng)設問題情境的切入點與數學內容相關的生活現實與新知識相關聯的舊知識生活中素樸的空間形式和數量關系數學問題的還原模式及再創(chuàng)造模式2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，241，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，252，3，5，7，11，13，17，19，235，10，15，251，11，211，2，3，6例說：給出1～25這些數字，讓學生進行分類，用框圖表示,并發(fā)現其中關系。知識考察：序概念；奇偶性；質數與合數；因數與倍數；位值能力考察：數感；分類；抽象；歸納；發(fā)散思維；語言轉譯文化意蘊：數字特性；數字多種屬性例說：合情推理與演繹推理觀察算式：34+43=77，51+15=66，26+62=88，你發(fā)現了什么？可能的猜想：這樣的兩位數能被11整除驗證：74+47=121問題：能否證明結論是正確的呢？（a×10+b)+(b×10+a)=11a+11b=11(a+b)問題解決的涵義③如何凸顯問題解決尋求某一問題的既定狀態(tài)與目標狀態(tài)之間的路徑問題解決的意義發(fā)現問題--提出問題--分析問題--解決問題數學發(fā)展的內在邏輯--最基本的數學素養(yǎng)貫穿課程標準的核心概念之一培育數學思維能力積累數學思想和經驗提升創(chuàng)新意識的基礎和載體問題背景：4根火柴可以擺一個方框，7根火柴可以擺兩個方框，那么，（1）多少根火柴可以擺三個方框？（2）擺五個方框比擺三個方框多用多少根火柴？（3）用31根火柴能擺多少個方框？（4）如果擺成了50個方框，用了多少根火柴？擺成n個方框呢？說明：（1）為問題的單一結構（2）為問題的多元結構（3）為問題的關聯結構（4）為問題的擴展和抽象結構例說：數學問題的層次結構火材根數=3×方框個數+1ABCDABCABCDE例說：觀察·歸納·猜想·類比（1）在第一個圖形中，有多少條線段？多少條射線？（2）在第二個圖形中，有多少條線段？多少條射線？（3）在第三個圖形中，有多少條線段？多少條射線？（4）如果一條直線上有n個點，會分成多少條線段？多少條射線？n個點，分成n-1條線段，兩條射線。④如何培養(yǎng)數感意識數感的涵義人對數字本身特征及數字之間關聯的意識以及靈活地解決數字問題的能力培養(yǎng)數感意識的途徑讓兒童認識并理解數字本身特征及數字之間關聯搜集數字或運算系統(tǒng)中的數字信息心算、觀察和辨別數字模式、預測計算結果討論其中存在的數字關系，形成對數字的洞察力重視對潛在的數字和數字運算之間關系的分析(1)17-8=9