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文檔簡介
無窮小與無窮大極限的運算法則InfinitesimalandInfinityRulesofComputingLimits2023/2/6無窮小(大)的概念和性質極限的運算法則;用極限的運算法則和無窮小的性質求一些函數(shù)的極限。知識目標:2023/2/6實例1在日常生活中,經(jīng)常用樟腦丸來保護收藏的衣物,但我們發(fā)現(xiàn)隨著時間推移,樟腦丸會變得越來越小,最后樟腦丸的質量將會如何變化?InfinitesimalandInfinity2023/2/6實例2InfinitesimalandInfinity將單擺離開鉛直位置的偏度用角來度量,讓單擺自己擺動,考慮機械摩擦力和空氣阻力,在這個過程中,角的變化趨勢如何?2023/2/6一、無窮小概念1.無窮小的定義例如果當(或)時,函數(shù)f(x)的極限是零,那么稱函數(shù)f(x)當(或)時為無窮小。InfinitesimalandInfinity2023/2/6例1
判斷下列函數(shù)哪些是無窮小,哪些不是無窮小。0是當時為無窮小是當時不是無窮小InfinitesimalandInfinity2023/2/6注意①無窮小量是以0為極限的變量;講一個函數(shù)是無窮小量,必須指出自變量的變化趨勢;
②無窮小量不一定是零,零作為函數(shù)來講是無窮小量;
任何非零常數(shù),不論其絕對值如何小,都不是無窮小量。因為非零常數(shù)的極限是其本身,并不是零。2023/2/62.無窮小性質(1)有限個無窮小的代數(shù)和與乘積仍為無窮小。InfinitesimalandInfinity注意:無限個無窮小量的和與積不一定是無窮小量。
例如:2023/2/6例3求極限解由性質(2)2023/2/6例4求極限解由性質(2)InfinitesimalandInfinity2023/2/6練習:利用無窮小的性質,求下列函數(shù)的極限
=0=0=0=0=0[A]
[B]=02023/2/6當時,都是無窮小,他們的積趨向于零的速度。
仍為無窮小,那么它們的商是否也是無窮小呢?并通過列表觀察例5:InfinitesimalandInfinity極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.2023/2/63、無窮小的比較定義設和是同一變化過程中的兩個無窮小,即lim=0和lim=0(1)如果,那么稱是的高階無窮小(2)如果,那么稱是的低階無窮小(3)如果,那么稱是的同階無窮小特別是當c=1時,即當時,則稱與是等價無窮小,記作:InfinitesimalandInfinity2023/2/6例如,2023/2/6等價無窮小替代1、若極限,稱α(x)與β(x)等價.2、常見的幾個等價無窮小(很重要)2023/2/6定理(等價無窮量替換定理)意義:在求函數(shù)極限時,分子、分母、中的因式可以用它們的簡單的等價量來替換,以便進行化簡。但替換以后的函數(shù)極限要存在或為無窮大。無窮小等價代換定理常用于計算型的極限2023/2/6例求解例求解2023/2/62023/2/6例解解:求例:2023/2/6例解解錯注意:分子、分母中進行加、減的項不能替換,應分解因式,用因式來替換,然后再對提出的無窮小因子進行代換,否則不能直接代換.2023/2/6連續(xù)兩次使用等價無窮小替代.等價無窮小替代例:解:2023/2/62023/2/6訓練:2023/2/6二、無窮大的概念記作如稱是當稱是當稱是當如果當(或)時,函數(shù)f(x)的絕對值無限增大,那么稱函數(shù)f(x)當(或)時為無窮大。定義:
簡言之,極限為無窮的量叫做無窮大量.2023/2/6注意!InfinitesimalandInfinity(3)2023/2/6(1)有限個無窮大量之積是無窮大量;(2)有界變量與無窮大量之和是無窮大量.定理:有界量與無窮大量的乘積是否一定為無窮大量?考察
無窮大量與有界量之積不一定是無窮大量.2023/2/6三、無窮小與無窮大的關系例InfinitesimalandInfinity無窮小與無窮大互為“倒數(shù)”.2023/2/6漸近線曲線上的動點P沿曲線無限遠離坐標原點時,它到某定直線的距離趨于0,則此直線稱為該曲線的漸近線。其分類為:1.垂直漸近線2023/2/6例如有鉛直漸近線兩條:2023/2/62.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:2023/2/63.斜漸近線斜漸近線求法:2023/2/6例解2023/2/6例1求下列函數(shù)曲線的漸近線:解(1)直線x=1是曲線的垂直漸近線.直線y=0是曲線的水平漸近線.直線y=0是曲線的水平漸
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