高中數(shù)學(xué)北師大版1第二章圓錐曲線與方程 第2章4

第二章§2一、選擇題(每小題5分，共20分)1．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝2，則a的值為()\f(1,8) B．－eq\f(1,8)C．8 D．－8解析：由y＝ax2，得x2＝eq\f(1,a)y，eq\f(1,4a)＝－2，a＝－eq\f(1,8).答案：B2．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值等于()A．－2 B．2C．－4 D．4解析：橢圓右焦點(diǎn)為(2,0)，所以eq\f(p,2)＝2，p＝4.答案：D3．已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()\f(3,4) B．1\f(5,4) D．eq\f(7,4)解析：根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為：eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).答案：C4．若拋物線y2＝2px上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()\f(1,2) B．1C．2 D．4解析：利用拋物線的定義，由y2＝2px可知準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)，橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4＋eq\f(p,2)，所以4＋eq\f(p,2)＝5，得p＝2.答案：C二、填空題(每小題5分，共10分)5．拋物線y2＝2px，過點(diǎn)M(2,2)，則點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為________．解析：y2＝2px過點(diǎn)M(2,2)，于是p＝1，所以點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為2＋eq\f(p,2)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)6．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，拋物線上一點(diǎn)(－5,2eq\r(5))到焦點(diǎn)的距離是6，則拋物線的方程是________．解析：因?yàn)辄c(diǎn)(－5,2eq\r(5))在第二象限，且以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸為對(duì)稱軸，故拋物線開口向左，設(shè)其方程為y2＝－2px，把(－5,2eq\r(5))代入得p＝2，故所求方程為y2＝－4x.答案：y2＝－4x三、解答題(每小題10分，共20分)7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A(2,2)，其焦點(diǎn)F在x軸上．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點(diǎn)F，且與直線OA垂直的直線的方程．解析：(1)由題意，可設(shè)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px，因?yàn)辄c(diǎn)A(2,2)在拋物線C上，所以p＝1.因此，拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2x.(2)由(1)可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，又直線OA的斜率為eq\f(2,2)＝1，故與直線OA垂直的直線的斜率為－1.因此，所求直線的方程是x＋y－eq\f(1,2)＝0.8．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，拋物線上的點(diǎn)M(－3，m)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的方程和m的值，并寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．解析：方法一：設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p＞0)，則焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝6p，,\r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))2)＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝2\r(6)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝－2\r(6).))故所求的拋物線方程為y2＝－8x，m＝±2eq\r(6).拋物線的焦點(diǎn)為(－2,0)，準(zhǔn)線方程為x＝2.方法二：設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p＞0)，則焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝eq\f(p,2)，根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離等于5，也就是點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為5，則3＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝4，因此，拋物線方程為y2＝－8x，又點(diǎn)M(－3，m)在拋物線上，于是m2＝24，∴m＝±2eq\r(6).故拋物線的焦點(diǎn)為(－2,0)，準(zhǔn)線方程為x＝2.eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)某大橋在漲水時(shí)有最大跨度的中央橋孔，已知上部呈拋物線形，寬度為20米，拱頂距水面6米，橋墩高出水面4米．現(xiàn)有一貨船欲過此橋孔，該貨船水下寬度不超過18米，目前吃水線上部分中央船體高5米，寬16米，且該貨船在現(xiàn)在狀況下還可多裝1000噸貨物，但每多裝150噸貨物，船體吃水線就要上升0.04米，若不考慮水下深度，問：該貨船在現(xiàn)在狀況下能否直接或設(shè)法通過該橋孔？為什么？解析：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為y＝ax2(a＜0)，則點(diǎn)A(10，－2)在拋物線上，∴－2＝a·102，∴a＝－eq\f(1,50).∴拋物線方程為y＝－eq\f(1,50)x2(－10≤x≤10)．讓貨船沿正中央航行，船寬16米，而當(dāng)x＝8時(shí)，y＝－eq\f(1,50)×82＝－(米)，