高中數(shù)學人教A版第一章三角函數(shù) 學案答案版

2023學年高一2023學年高一數(shù)學學案總第（）期班級姓名組號命題人：王月英審題人：吳肖楠1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(一)1．能通過三角函數(shù)的定義推導出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式．2．能運用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進行三角函數(shù)式的求值和計算．【學法指導】1．推導和牢記同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系是進行三角函數(shù)式恒等變形的基礎(chǔ)和前提．2．要注意公式sin2α＋cos2α＝1及tanα＝eq\f(sinα,cosα)的直接使用，公式逆用，公式變形用．利用平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1求值時，要注意符號的選擇．3．已知任意角的正弦、余弦、正切中的一個值可以運用基本關(guān)系式求出另外的兩個，這是同角三角函數(shù)關(guān)系式的一個最基本功能．在求值時，根據(jù)已知的三角函數(shù)值，確定角的終邊所在的象限，有時由于角的象限不確定，因此解的情況不止一種.1．任意角三角函數(shù)的定義2．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：.(2)商數(shù)關(guān)系：．3．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形(1)sin2α＋cos2α＝1的變形公式：sin2α＝；cos2α＝；(2)tanα＝eq\f(sinα,cosα)的變形公式：sinα＝；cosα＝.如圖所示，以任意角α的頂點O為坐標原點，以角α的始邊的方向作為x軸的正方向，建立直角坐標系．設(shè)P(x，y)是任意角α終邊上不同于坐標原點的任意一點．其中，r＝OP＝eq\r(x2＋y2)>0.則sinα＝___，cosα＝___，tanα＝___.探究點一利用任意角三角函數(shù)的概念推導平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系問題1利用任意角的三角函數(shù)的定義證明同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系．答設(shè)點P(x，y)為α終邊上任意一點，P與O不重合．P到原點的距離為r＝eq\r(x2＋y2)>0，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).于是sin2α＋cos2α＝(eq\f(y,r))2＋(eq\f(x,r))2＝eq\f(y2＋x2,r2)＝1，eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(y,r),\f(x,r))＝eq\f(y,x)＝tanα.即sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα).問題2平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1與商數(shù)關(guān)系tanα＝eq\f(sinα,cosα)成立的條件是怎樣的？答平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1對一切α∈R恒成立；商數(shù)關(guān)系tanα＝eq\f(sinα,cosα)中α是使tanα有意義的值，即α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.探究點二已知一個角的三角函數(shù)值求其余兩個三角函數(shù)值已知某角的一個三角函數(shù)值，再利用sin2α＋cos2α＝1求它的其余三角函數(shù)值時，要注意角所在的象限，恰當選取開方后根號前面的正負號，一般有以下三種情況：類型1：如果已知三角函數(shù)值，且角的象限已知，那么只有一組解．例如：已知sinα＝eq\f(3,5)，且α是第二象限角，則cosα＝_____，tanα＝_____.答∵eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ＝－eq\r(3).∴sinθ＝－eq\r(3)cosθ.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2θ＋cos2θ＝1,sinθ＝－\r(3)cosθ)).∴4cos2θ＝1，cos2θ＝eq\f(1,4).當θ為第二象限角時，cosθ＝－eq\f(1,2)，sinθ＝eq\f(\r(3),2)；當θ為第四象限角時，cosθ＝eq\f(1,2)，sinθ＝－eq\f(\r(3),2).類型3：如果所給的三角函數(shù)值是由字母給出的，且沒有確定角在哪個象限，那么就需要進行討論．例如：已知cosα＝m，且|m|<1，求sinα，tanα.答∵cosα＝m，且|m|<1，∴sinα＝±eq\r(1－cos2α)＝±eq\r(1－m2).當α在第一、二象限時，sinα＝eq\r(1－m2)，tanα＝eq\f(\r(1－m2),m)；當α在第三、四象限時，sinα＝－eq\r(1－m2)，tanα＝eq\f(－\r(1－m2),m)；當α終邊在y軸上時，sinα＝±1，tanα不存在．【典型例題】例1已知cosα＝－eq\f(8,17)，求sinα，tanα.解∵cosα＝－eq\f(8,17)<0且cosα≠－1，∴α是第二或第三象限的角．(1)如果α是第二象限的角，可以得到sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))2)＝eq\f(15,17).tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq\f(15,8).小結(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系揭示了同角之間的三角函數(shù)關(guān)系，其最基本的應用是“知一求二”，要注意這個角所在的象限，由此來決定所求的是一解還是兩解，同時應體會方程思想的應用．跟蹤訓練1已知tanα＝eq\f(4,3)，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．解由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3)，得sinα＝eq\f(4,3)cosα. ①又sin2α＋cos2α＝1， ②由①②得eq\f(16,9)cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝eq\f(9,25).又α是第三象限角，∴cosα＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,3)cosα＝－eq\f(4,5).例2已知tanα＝2，求下列代數(shù)式的值．(1)eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα)；(2)eq\f(1,4)sin2α＋eq\f(1,3)sinαcosα＋eq\f(1,2)cos2α.解(1)原式＝eq\f(4tanα－2,3tanα＋5)＝eq\f(6,11).(2)原式＝eq\f(\f(1,4)sin2α＋\f(1,3)sinαcosα＋\f(1,2)cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(1,4)tan2α＋\f(1,3)tanα＋\f(1,2),tan2α＋1)＝eq\f(\f(1,4)×4＋\f(1,3)×2＋\f(1,2),5)＝eq\f(13,30).小結(jié)①關(guān)于sinα、cosα的齊次式，可以通過分子、分母同除以cosα或cos2α轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子后再求值．②注意(2)式中不含分母，可以視分母為1，靈活地進行“1”的代換，由1＝sin2α＋cos2α代換后，再同除以cos2α，構(gòu)造出關(guān)于tanα的代數(shù)式．跟蹤訓練2已知tanα＝3，求下列各式的值．(1)eq\f(\r(3)cosα－sinα,\r(3)cosα＋sinα)；(2)2sin2α－3sinαcosα.解因為已知tanα＝3，所以逆用公式把弦函數(shù)化成切函數(shù)．(1)原式＝eq\f(\f(\r(3)cosα－sinα,cosα),\f(\r(3)cosα＋sinα,cosα))＝eq\f(\r(3)－tanα,\r(3)＋tanα)＝eq\f(\r(3)－3,\r(3)＋3)＝－2＋eq\r(3).(2)原式＝eq\f(2sin2α－3sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(2sin2α－3sinαcosα,cos2α),\f(sin2α＋cos2α,cos2α))＝eq\f(2tan2α－3tanα,tan2α＋1)＝eq\f(2×32－3×3,32＋1)＝eq\f(9,10).例3已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，θ∈(0，π)，求：sinθ－cosθ；(2)sin3θ＋cos3θ.解(1)由sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)兩邊平方得，sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝eq\f(1,25)，∴2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)，∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(49,25).又∵sinθcosθ<0，θ∈(0，π)，∴sinθ－cosθ＝eq\f(7,5).(2)sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(12,25)))＝eq\f(37,125).小結(jié)對于這類利用已知α的一個三角函數(shù)值或者幾種三角函數(shù)值之間的關(guān)系及α所在的象限，求其他三角函數(shù)值的問題，我們可以利用平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系求解．其關(guān)鍵在于運用方程的思想及(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的等價轉(zhuǎn)化，分析出解決問題的突破口．跟蹤訓練3已知sinαcosα＝eq\f(1,4)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，求cosα－sinα的值．解由sinαcosα＝eq\f(1,4)得(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).∵eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，∴cosα<sinα，∴cosα－sinα<0，∴cosα－sinα＝－eq\f(\r(2),2).1．α是第四象限角，cosα＝eq\f(12,13)，則sinα等于 ()A．eq\f(5,13) B．－eq\f(5,13) C．eq\f(5,12) D．－eq\f(5,12)解析∵α是第四象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝－eq\f(5,13).2．若cosα＝－eq\f(3,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則tanα＝________.解析∵cosα＝－eq\f(3,5)且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，∴sinα＝－eq\f(4,5)，∴tanα＝eq\f(4,3).3．若tanθ＝－2，則sinθcosθ＝________.解析sinθcosθ＝eq\f(sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tanθ,tan2θ＋1)＝－eq\f(2,5).4．已知sinα＝eq\f(1,5)，求cosα，tanα.解∵sinα＝eq\f(1,5)>0，∴α是第一或第二象限角．當α為第一象限角時，cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\f(1,25))＝eq\f(2\r(6),5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(6),12)；當α為第二象限角時，cosα＝－eq\f(2\r(6),5)，tanα＝－eq\f(\r(6),12).1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運算規(guī)律，