高中數(shù)學(xué)蘇教版1第2章圓錐曲線與方程 第2章

2．1圓錐曲線[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解圓錐曲線的實際背景.2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出圓錐曲線的過程.3.掌握橢圓、拋物線的定義和幾何圖形.4.了解雙曲線的定義和幾何圖形．[知識鏈接]1．若動點M到兩個定點F1、F2距離之和滿足MF1＋MF2＝F1F2，則動點M軌跡是橢圓嗎？答：不是，是線段F1F2.2．若動點M到兩個定點F1、F2距離之差滿足MF1－MF2＝2a(2a＜F1F2)，則動點M軌跡是什么？答：是雙曲線一支．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．橢圓的定義平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點．兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．2．雙曲線的定義平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點的軌跡叫做雙曲線，兩個定點F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．3．拋物線的定義平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．4．橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線．要點一橢圓定義的應(yīng)用例1在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sinB，sinA，sinC成等差數(shù)列．(1)頂點A的軌跡是什么？(2)指出軌跡的焦點和焦距．解(1)由sinB，sinA，sinC成等差數(shù)列，得sinB＋sinC＝2sinA．由正弦定理可得AB＋AC＝2BC.又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，所以點A的軌跡是橢圓(除去直線BC與橢圓的交點)．(2)橢圓的焦點為B、C，焦距為10.規(guī)律方法本題求解的關(guān)鍵是把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形邊的關(guān)系，找到點A滿足的條件．注意A、B、C三點要構(gòu)成三角形，軌跡要除去兩點．跟蹤演練1已知圓A：(x＋3)2＋y2＝100，圓A內(nèi)一定點B(3,0)，動圓M過B點且與圓A內(nèi)切，求證：圓心M的軌跡是橢圓．證明設(shè)MB＝r.∵圓M與圓A內(nèi)切，圓A的半徑為10，∴兩圓的圓心距MA＝10－r，即MA＋MB＝10(大于AB)．∴圓心M的軌跡是以A、B兩點為焦點的橢圓．要點二雙曲線定義的應(yīng)用例2已知圓C1：(x＋2)2＋y2＝1和圓C2：(x－2)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡．解由已知得，圓C1的圓心C1(－2,0)，半徑r1＝1，圓C2的圓心C2(2,0)，半徑r2＝3.設(shè)動圓M的半徑為r.因為動圓M與圓C1相外切，所以MC1＝r＋1.①又因為動圓M與圓C2相外切，所以MC2＝r＋3.②②－①得MC2－MC1＝2，且2<C1C2＝4.所以動圓圓心M的軌跡為雙曲線的左支，且除去點(－1,0)．規(guī)律方法設(shè)動圓半徑為r，利用動圓M同時與圓C1及圓C2相外切得兩個等式，相減后消去r，得到點M的關(guān)系式．注意到MC2－MC1＝2中沒有絕對值，所以軌跡是雙曲線的一支，又圓C1與圓C2相切于點(－1,0)，所以M的軌跡不過(－1,0)．跟蹤演練2在△ABC中，BC固定，頂點A移動．設(shè)BC＝m，且|sinC－sinB|＝eq\f(1,2)sinA，則頂點A的軌跡是什么？解因為|sinC－sinB|＝eq\f(1,2)sinA，由正弦定理可得|AB－AC|＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)m，且eq\f(1,2)m<BC，所以點A的軌跡是雙曲線(除去雙曲線與BC的兩交點)．要點三拋物線定義的應(yīng)用例3已知動點M的坐標(biāo)(x，y)滿足方程2(x－1)2＋2(y－1)2＝(x＋y＋6)2，試確定動點M的軌跡．解方程可變形為eq\f(\r(x－12＋y－12),\f(|x＋y＋6|,\r(2)))＝1，∵eq\r(x－12＋y－12)表示點M到點(1,1)的距離，eq\f(|x＋y＋6|,\r(2))表示點M到直線x＋y＋6＝0的距離，又由eq\f(\r(x－12＋y－12),\f(|x＋y＋6|,\r(2)))＝1知點M到定點(1,1)的距離等于點M到直線x＋y＋6＝0的距離．由拋物線的定義知點M的軌跡是拋物線．規(guī)律方法若將方程兩邊展開整理，然后通過方程的特點來判斷，將很難得到結(jié)果，而利用方程中表達(dá)式的幾何意義，再由拋物線定義，問題就變得非常簡單．跟蹤演練3點P到點F(4,0)的距離比它到直線l：x＝－6的距離小2，則點P的軌跡為________．答案拋物線解析將直線l：x＝－6向右平移2個單位，得直線l′：x＝－4.依題意知，點P到F(4,0)的距離等于點P到l′：x＝－4的距離，可見點P的軌跡是拋物線．1．設(shè)定點F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)，動點P(x，y)滿足條件PF1＋PF2＝a(a>0)，則動點P的軌跡是__________________．答案橢圓或線段或不存在解析當(dāng)a＜6時，軌跡不存在；當(dāng)a＝6時，軌跡為線段；當(dāng)a＞6時，軌跡為橢圓．2．已知△ABC的項點A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡是____________．答案以A、B為焦點的雙曲線的右支解析如圖，AD＝AE＝＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支．3．如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓上任意一點．線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡是________________．答案以O(shè)、A為焦點的橢圓解析∵QA＝QP，∴QO＋QA＝r＞OA.∴點Q的軌跡是以O(shè)、A為焦點的橢圓．4．到定直線x＝－2的距離比到定點(1,0)的距離大1的點的軌跡是________________．答案以(1,0)為焦點的拋物線解析到定點(1,0)和定直線x＝－1的距離相等，所以點的軌跡是以(1,0)為焦點的拋物線．1.一個平面截一個圓錐面，當(dāng)平面經(jīng)過圓錐面的頂點時，可得到兩條相交直線；當(dāng)平面不經(jīng)過頂點與圓錐面的軸垂直時，截得的圖形是一個圓．改變平面的位置，觀察截得的圖形變化情況，可得到三種重要的曲線，即橢圓、雙曲線和拋物線，統(tǒng)稱為圓錐曲線．2．橢圓定義中，常數(shù)>F1F2不可忽視，若常數(shù)<F1F2，則這樣的點不存在；若常數(shù)＝F1F2，則動點的軌跡是線段F1F2.3．雙曲線定義中，若常數(shù)>F1F2，則這樣的點不存在；若常數(shù)＝F1F2，則動點的軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線．4．拋物線定義中F?l，若F∈l，則點的軌跡是經(jīng)過點F且垂直于l的直線．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．已知定點F1(－3,0)和F2(3,0)，動點M滿足MF1＋MF2＝10，則動點軌跡是________．答案橢圓解析因為MF1＋MF2＝10，且10>F1F2，所以動點M軌跡是橢圓．2．已知點M(x，y)的坐標(biāo)滿足eq\r(x－12＋y－12)－eq\r(x＋32＋y＋32)＝±4，則動點M的軌跡是________．答案雙曲線解析點(x，y)到(1,1)點及到(－3，－3)點的距離之差的絕對值為4，而(1,1)與(－3，－3)距離為4eq\r(2)，由定義知動點M的軌跡是雙曲線．3．到兩定點F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)的距離之差的絕對值等于6的點M的軌跡是__________．答案兩條射線解析MF1－MF2＝±6，而F1F2＝6，軌跡為兩條射線．4．若點M到F(4,0)的距離比它到直線x＋5＝0的距離小1，則點M的軌跡表示的曲線是________．答案拋物線解析由題意知M到F的距離與到x＝－4的距離相等，由拋物線定義知，M點的軌跡是拋物線．5．下列說法中正確的有________(填序號)．①已知F1(－6,0)、F2(6,0)，到F1、F2兩點的距離之和等于12的點的軌跡是橢圓；②已知F1(－6,0)、F2(6,0)，到F1、F2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓；③到點F1(－6,0)、F2(6,0)兩點的距離之和等于點M(10，0)到F1、F2的距離之和的點的軌跡是橢圓；④到點F1(－6,0)、F2(6,0)距離相等的點的軌跡是橢圓．答案③解析橢圓是到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡，應(yīng)特別注意橢圓的定義的應(yīng)用．①中F1F2＝12，故到F1、F2兩點的距離之和為常數(shù)12的點的軌跡是線段F1F2.②中點到F1、F2兩點的距離之和8小于F1F2，故這樣的點不存在．③中點M(10,0)到F1、F2兩點的距離之和為eq\r(10＋62＋02)＋eq\r(10－62＋02)＝20>F1F2＝12，故③中點的軌跡是橢圓．④中點的軌跡是線段F1F2的垂直平分線．故正確的是③.6．△ABC中，若B，C的坐標(biāo)分別是(－2,0)，(2,0)，中線AD的長度為3，則A點的軌跡方程是________________________________________________________________________．答案x2＋y2＝9(y≠0)解析∵B(－2,0)，C(2,0)，∴BC的中點為D(0,0)．設(shè)A(x，y)，又∵AD＝3，∴eq\r(x2＋y2)＝3(y≠0)，∴A點的軌跡方程是x2＋y2＝9(y≠0)．7．已知動圓M過定點A(－3,0)，并且在定圓B：(x－3)2＋y2＝64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，判斷動圓圓心M的軌跡．解設(shè)動圓M的半徑為r.因為動圓M與定圓B內(nèi)切，所以MB＝8－r.又動圓M過定點A，MA＝r，所以MA＋MB＝8＞AB＝6，故動圓圓心M的軌跡是橢圓．二、能力提升8．已知動點M的坐標(biāo)滿足方程5eq\r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|，則動點M的軌跡是__________．答案拋物線解析把軌跡方程5eq\r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|寫成eq\r(x2＋y2)＝eq\f(|3x＋4y－12|,5).∴動點M到原點的距離與到直線3x＋4y－12＝0的距離相等．∴點M的軌跡是以原點為焦點，直線3x＋4y－12＝0為準(zhǔn)線的拋物線．9．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點．若點P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡是__________．答案拋物線的一部分解析點P到直線C1D1的距離就是點P到點C1的距離，所以動點P的軌跡就是動點到直線BC與到點C1的距離相等的點的軌跡，是拋物線的一部分．10．已知點A(－1,0)、B(1,0)．曲線C上任意一點P滿足eq\o(PA,\s\up6(→))2－eq\o(PB,\s\up6(→))2＝4(|eq\o(PA,\s\up6(→))|－|eq\o(PB,\s\up6(→))|)≠0.則曲線C的軌跡是______．答案橢圓解析由eq\o(PA,\s\up6(→))2－eq\o(PB,\s\up6(→))2＝4(|eq\o(PA,\s\up6(→))|－|eq\o(PB,\s\up6(→))|)≠0，得|eq\o(PA,\s\up6(→))|＋|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝4，且4>AB.故曲線C的軌跡是橢圓．11．已知動圓與圓C：(x＋2)2＋y2＝2相內(nèi)切，且過點A(2,0)，求動圓圓心M的軌跡．解設(shè)動圓M的半徑為r，∵圓C與圓M內(nèi)切，點A在圓C外，∴MC＝r－eq\r(2)，MA＝r，∴MA－MC＝eq\r(2)，又∵AC＝4>eq\r(2)，∴點M的軌跡是以C、A為焦點的雙曲線的左支．12．如圖所示，已知點P為圓R：(x＋c)2＋y2＝4a2上一動點，Q(c,0)為定點(c>a>0，為常數(shù))，O為坐標(biāo)原點，求線段PQ的垂直