高中數(shù)學(xué)人教B版第一章解三角形 優(yōu)秀作品

第一章第1課時基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．海上有A、B兩個小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B、C間的距離是eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542109)(D)A．10eq\r(3)nmile B．10eq\r(6)nmileC．5eq\r(2)nmile D．5eq\r(6)nmile[解析]如圖，由正弦定理，得eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(10,sin45°)，∴BC＝5eq\r(6).2．某人向正東方向走xkm后，他向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好eq\r(3)km，那么x的值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542110)(C)A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．2eq\r(3)或eq\r(3) D．3[解析]由題意畫出三角形如圖．則∠ABC＝30°，由余弦定理，得cos30°＝eq\f(x2＋9－3,6x)，∴x＝2eq\r(3)或eq\r(3).3．兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542111)(B)A．a(chǎn)km B．eq\r(3)akmC．eq\r(2)akm D．2akm[解析]∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝eq\r(3)a(km)．4．有一長為10m的斜坡，它的傾斜角是75°，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯拢ㄟ^加長坡面的方法將它的傾斜角改為30°，則坡底要延伸eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542112)(C)A．5mC．10eq\r(2)m D．10eq\r(3)m[解析]如圖，在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(x,sin45°)＝eq\f(10,sin30°)，∴x＝10eq\5．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542113)(D)A．10eq\r(3)m B．100eq\r(3)mC．20eq\r(3)m D．30m[解析]設(shè)炮臺頂部為A，兩條船分別為B、C，炮臺底部為D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分別在Rt△ADB、Rt△ADC中，求得BD＝30，DC＝30eq\r(3).在△DBC中，由余弦定理，得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°，解得BC＝30.6．海上的A、B兩個小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B島與C島之間的距離是eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542114)(D)A．10eq\r(3)nmile B．eq\f(10\r(6),3)nmileC．5eq\r(2)nmile D．5eq\r(6)nmile[解析]在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(10,sin45°)，解得BC＝5eq\r(6)nmile.二、填空題7．兩船同時從A港出發(fā)，甲船以每小時20nmile的速度向北偏東80°的方向航行，乙船以每小時12nmile的速度向北偏西40°方向航行，一小時后，兩船相距28nmile.eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542115)[解析]如圖，△ABC中，AB＝20，AC＝12，∠CAB＝40°＋80°＝120°，由余弦定理，得BC2＝202＋122－2×20×12·cos120°＝784，∴BC＝28(nmile)．8．湖中有一小島，沿湖有一條南北方向的公路，在這條公路上的一輛汽車上測得小島在南偏西15°方向，汽車向南行駛1km后，又測得小島在南偏西75°方向，則小島到公路的距離是eq\f(\r(3),6)\x(導(dǎo)學(xué)號27542116)[解析]如圖，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1km.由正弦定理eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，得BC＝eq\f(sin15°,sin60°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))(km)．設(shè)C到直線AB的距離為d，則d＝BCsin75°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(\r(3),6)(km)．三、解答題9．如圖，甲船以每小時30eq\r(2)nmile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時兩船相距20nmile.當(dāng)甲船航行20min到達(dá)A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10eq\r(2)nmile，問乙船每小時航行多少nmile？eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542117)[解析]解法一：如圖，連接A1B2，由已知，A2B2＝10eq\r(2)，A1A2＝30eq\r(2)×eq\f(20,60)＝10eq\r(2)，∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B∴△A1A2B2∴A1B2＝A1A2＝10eq\r(2).由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2由△A1B2B1中，由余弦定理，得B1Beq\o\al(2,2)＝A1Beq\o\al(2,2)＋A1Beq\o\al(2,1)－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(10eq\r(2))2－2×20×10eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝200.∴B1B2＝10eq\r(2).∴乙船的速度的大小為eq\f(10\r(2),20)×60＝30eq\r(2)nmile/h.答：乙船每小時航行30eq\r(2)nmile.解法二：如圖，連接A2B1.由已知，A1B1＝20，A1A2＝30eq\r(2)×eq\f(20,60)＝10eq\r(2)，∠B1A1A2＝105°，cos105°＝cos(45°＋60°)＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝eq\f(\r(2)1－\r(3),4).sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝eq\f(\r(2)1＋\r(3),4).在△A2A1B1中，由余弦定理，A2Beq\o\al(2,1)＝A1Beq\o\al(2,1)＋A1Aeq\o\al(2,2)－2A1B1·A1A2·cos105°＝(10eq\r(2))2＋202－2×10eq\r(2)×20×eq\f(\r(2)1－\r(3),4)＝100(4＋2eq\r(3))．∴A2B1＝10(1＋eq\r(3))．由正弦定理，得sin∠A1A2B1＝eq\f(A1B1,A2B1)·sin∠B1A1A＝eq\f(20,101＋\r(3))×eq\f(\r(2)1＋\r(3),4)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠A1A2B1＝45°，即∠B1A2Bcos15°＝sin105°＝eq\f(\r(2)1＋\r(3),4).在△B1A2B2中，由已知，A2B2＝10eq\r(2)，由余弦定理，得B1Beq\o\al(2,2)＝A2Beq\o\al(2,1)＋A2Beq\o\al(2,2)－2A2B1·A2B2·cos15°＝102(1＋eq\r(3))2＋(10eq\r(2))2－2×10(1＋eq\r(3))×10eq\r(2)×eq\f(\r(2)1＋\r(3),4)＝200.∴B1B2＝10eq\r(2)，∴乙船速度的大小為eq\f(10\r(2),20)×60＝30eq\r(2)nmile/h，答：乙船每小時航行30eq\r(2)nmile.能力提升一、選擇題1．如圖，一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°，與燈塔S相距20nmile，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30min后，又測得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542118)(B)A．20(eq\r(2)＋eq\r(6))nmile/h B．20(eq\r(6)－eq\r(2))nmile/hC．20(eq\r(6)＋eq\r(3))nmile/h D．20(eq\r(6)－eq\r(3))nmile/h[解析]由題意可知∠NMS＝45°，∠MNS＝105°，則∠MSN＝180°－105°－45°＝30°.而MS＝20，在△MNS中，由正弦定理，得eq\f(MN,sin30°)＝eq\f(MS,sin105°)，∴MN＝eq\f(20sin30°,sin105°)＝eq\f(10,sin60°＋45°)＝eq\f(10,sin60°cos30°＋cos60°sin30°)＝eq\f(10,\f(\r(6)＋\r(2),4))＝10(eq\r(6)－eq\r(2))．∴貨輪的速度為10(eq\r(6)－eq\r(2))÷eq\f(1,2)＝20(eq\r(6)－eq\r(2))nmile/h.2．如圖，一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40nmile的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30min后到達(dá)B處．C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B、C兩點間的距離是eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542119)(A)A．10eq\r(2)nmile B．10eq\r(3)nmileC．20eq\r(3)nmile D．20eq\r(2)nmile[解析]由題目條件，知AB＝20nmile，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝45°.由正弦定理，得eq\f(20,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，所以BC＝10eq\r(2)nmile，故選A．二、填空題3．甲船在島A的正南B處，以4km/h的速度向正北航行，AB＝10km，同時乙船自島A出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時，它們所航行的時間為eq\f(150,7)\x(導(dǎo)學(xué)號27542120)[解析]如圖，當(dāng)兩船航行th時，甲船到D處，乙船到C處，則AD＝10－4t，AC＝6t，∠CAD＝120°，若AD′＝4t－10，AC＝6t，∠CAD′＝60°，所以CD2＝(6t)2＋(10－4t)2－2×6t×(10－4t)×(－eq\f(1,2))＝28t2－20t＋100，∴當(dāng)t＝eq\f(5,14)h時，CD2最小，即兩船最近，t＝eq\f(5,14)h＝eq\f(150,7)min.4．一船以24km/h的速度向正北方向航行，在點A處望見燈塔S在船的北偏東30°方向上，15min后到點B處望見燈塔在船的北偏東65°方向上，則船在點B時與燈塔S的距離是5.2km.(精確到0.1km)eq\x(導(dǎo)學(xué)號[解析]作出示意圖如圖．由題意知，則AB＝24×eq\f(15,60)＝6，∠ASB＝35°，由正弦定理，得eq\f(6,sin35°)＝eq\f(BS,sin30°)，可得BS≈5.2三、解答題5．碧波萬頃的大海上，“藍(lán)天號”漁輪在A處進(jìn)行海上作業(yè)，“白云號”貨輪在“藍(lán)天號”正南方向距“藍(lán)天號”20nmile的B處．現(xiàn)在“白云號”以每小時10nmile的速度向正北方向行駛，而“藍(lán)天號”同時以每小時8nmile的速度由A處向南偏西60°方向行駛，經(jīng)過多少小時后，“藍(lán)天號”和“白云號”兩船相距最近.eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542122)[解析]如右圖，設(shè)經(jīng)過th，“藍(lán)天號”漁輪行駛到C處，“白云號”貨輪行駛到D處，此時“藍(lán)天號”和“白云號”兩船的距離為CD．則根據(jù)題意，知在△ACD中，AC＝8t，AD＝20－10t，∠CAD＝60°.由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×ADcos60°＝(8t)2＋(20－10t)2－2×8t×(20－10t)×cos60°＝244t2－560t＋400＝244(t－eq\f(70,61))2＋400－244×(eq\f(70,61))2，∴當(dāng)t＝eq\f(70,61)時，CD2取得最小值，即“藍(lán)天號”和“白云號”兩船相距最近．答：經(jīng)過eq\f(70,61)h后，“藍(lán)天號”和“白云號”兩船相距最近．6．已知海島B在海島A的北偏東45°方向上，A、B相距10nmile，小船甲從海島B以2海里/小時的速度沿直線向海島A移動，同時小船乙從海島A出發(fā)沿北偏西15°方向也以2nmile/h的速度移動.eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542123)(1)經(jīng)過1h后，甲、乙兩小船相距多少海里？(2)在航行過程中，小船甲是否可能處于小船乙的正東方向？若可能，請求出所需時間，若不可能，請說明理由．[解析](1)經(jīng)過1h后，甲船到達(dá)M點，乙船到達(dá)N點，AM＝10－2＝8，AN＝2，∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos60°＝64＋4－2×8×2×eq\f(1,2)＝52.所以MN＝2eq\r(13).所以經(jīng)過1h后，甲、乙兩小船相距2eq\r(13)nmile.(2)設(shè)經(jīng)過t(0<t<5)小時小船甲處于小船乙的正東方向，則甲船與A距離為AE＝(10－2t)nmile，乙船與A距離為AF＝2tnmile，∠EAF＝60°，∠EFA＝75°，則由正弦定理，得eq\f(AF,sin45°)＝eq\f(AE,sin75°)，即eq\f(2t,sin45°)＝eq\f(10－2t,sin75°)，則t＝eq\f(10sin45°,2sin75°＋2sin45°)＝eq\f(10,3＋\r(3))＝eq\f(53－\r(3),3)<5.答：經(jīng)過eq\f(53－\r(3),3)小時小船甲處于小船乙的正東方向．7.如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑．一從A沿直線步行到C，另一種是從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C、假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經(jīng)測量，cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5).(1)求索道AB的長；(2)問：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3min，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542124)[解析](1)在△ABC中，因為cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\f(5,13)，sinC＝eq\f(4,5).從而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsin