廣東省廣州市象圣中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理月考試題含解析

廣東省廣州市象圣中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖,是正三棱錐且側(cè)棱長為，兩側(cè)棱的夾角為，分別是上的動(dòng)點(diǎn)，則三角形的周長的最小值為（

）

.

.

.

.參考答案：A2.函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)椋ǎ〢．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（，1] D．（，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件，即可求函數(shù)的定義域．【解答】解：要使函數(shù)f（x）有意義，則，即0＜2x﹣1≤1，即1＜2x≤2，解得＜x≤1，故函數(shù)的定義域是（，1]，故選：C【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的定義域的求解，要求熟練掌握常見函數(shù)成立的條件．3.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4a1，2a2，a3成等差數(shù)列．若a1=1，則S4=（）A．15 B．7 C．8 D．16參考答案：A【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用4a1，2a2，a3成等差數(shù)列求出公比即可得到結(jié)論．【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差數(shù)列．a(chǎn)1=1，∴4a1+a3=2×2a2，即4+q2﹣4q=0，即q2﹣4q+4=0，（q﹣2）2=0，解得q=2，∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，∴S4=1+2+4+8=15．故選：A【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算，根據(jù)條件求出公比是解決本題的關(guān)鍵．4.已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|｝，則M∩N＝(

)A．

B．｛x|0＜x＜3｝

C．｛x|1＜x＜3｝

D．｛x|2＜x＜3｝參考答案：C5.判斷下列各組中的兩個(gè)函數(shù)圖象相同的是（

）①，；②，；③,；

④,；⑤,A．①、②

B．②、③

C．④

D．③、⑤參考答案：C略6.給出下列結(jié)論，其中判斷正確的是

(

)A．?dāng)?shù)列前項(xiàng)和，則是等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列前項(xiàng)和，則C．?dāng)?shù)列前項(xiàng)和，則不是等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列前項(xiàng)和，則ks5u參考答案：D略7.函數(shù)的反函數(shù)是

(

)A.(或)B.C.

D.參考答案：C8.已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的邊長為1的正方形，主視圖與左視圖是邊長為1的正三角形，則其全面積是(

)A．2

B．3

C．

D．參考答案：B9.設(shè)全集U={1,2,3,4}，集合S={1,2}，T={2,3}，則等于（

）A.{2} B.{3} C.{4} D.{2,3,4}參考答案：B【分析】根據(jù)補(bǔ)集和并集的定義可計(jì)算出集合.【詳解】由題意可得，因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集和交集的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10.下列命題正確的是（

）A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則參考答案：D【分析】利用特殊值法和不等式的性質(zhì)來判斷各選項(xiàng)的正誤。【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，取，，，，則，，不成立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，取，，，，則，，不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，由于，所以，，D選項(xiàng)正確.故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查不等式有關(guān)命題的判斷，常用不等式的基本性質(zhì)以及特殊值法去檢驗(yàn)，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不重合的平面，給定下列四個(gè)命題：①若，，則；

②若，，則；③若，，則；

④若，，，則.其中真命題的序號(hào)為

．參考答案：②③12.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，E為PD上一點(diǎn)，且．設(shè)三棱錐P-ACE的體積為V1，三棱錐P-ABC的體積為V2，則______．參考答案：2:3【分析】設(shè)P到平面ACD的距離為h，則E到平面ACD的距離為，則．由此能求出．【詳解】∵四棱錐的底面是矩形，E為上一點(diǎn)，且．設(shè)P到平面ACD的距離為h，則E到平面ACD的距離為，設(shè)三棱錐的體積為，三棱錐的體積為，則，．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的體積的求法及應(yīng)用，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．13.若，且，則=

．參考答案：略14.已知點(diǎn)A（﹣1，2），B（1，3），則向量的坐標(biāo)為

．參考答案：（2，1）【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示，即可寫出向量的坐標(biāo)．【解答】解：點(diǎn)A（﹣1，2），B（1，3），則向量=（1﹣（﹣1），3﹣2）=（2，1）．故答案為：（2，1）．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．15.已知一個(gè)銅質(zhì)的實(shí)心圓錐的底面半徑為6，高為3，現(xiàn)將它熔化后鑄成一個(gè)銅球（不計(jì)損耗），則該銅球的半徑是

．參考答案：3設(shè)銅球的半徑為R，則，得R=3，故答案為3.

16.若圓C1：x2+y2=1與圓C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，則m=

．參考答案：9【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【分析】化兩圓的一般式方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，由兩圓心間的距離等于半徑和列式求得m值．【解答】解：由C1：x2+y2=1，得圓心C1（0，0），半徑為1，由圓C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，∴圓心C2（3，4），半徑為．∵圓C1與圓C2外切，∴5=+1，解得：m=9．故答案為：9．17.不等式2|x﹣1|﹣1＜0的解集是

．參考答案：【考點(diǎn)】絕對值不等式的解法．【分析】先去掉絕對值然后再根據(jù)絕對值不等式的解法進(jìn)行求解．【解答】解：①若x≥1，∴2（x﹣1）﹣1＜0，∴x＜；②若x＜1，∴2（1﹣x）﹣1＜0，∴x＞；綜上＜x＜．故答案為：＜x＜．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.函數(shù)f（x）對任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1．（Ⅰ）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；（Ⅱ）若f（﹣4）=5，解不等式f（3m2﹣m﹣3）＜2．參考答案：【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；證明題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）設(shè)實(shí)數(shù)x1＜x2，則x2﹣x1＞0，利用已知可得f（x2﹣x1）＞1．再利用已知可得f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1＞1+f（x1）﹣1=f（x1）即可；（Ⅱ）令a=b=﹣2，以及a=b=﹣1，解得f（﹣2）=3，f（﹣1）=2，不等式f（3m2﹣m﹣3）＜2．化為f（3m2﹣m﹣3）＜f（﹣1），由（1）可得：f（x）在R上是增函數(shù)．可得3m2﹣m﹣3＜﹣1，解得即可．【解答】解：（Ⅰ）證明：設(shè)x1＜x2，則x2﹣x1＞0，∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，∴f（x2﹣x1）＞1．又函數(shù)f（x）對任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，∴f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1＞1+f（x1）﹣1=f（x1），∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在R上是增函數(shù)；（Ⅱ）令a=b=﹣2，則f（﹣2﹣2）=f（﹣2）+f（﹣2）﹣1=5，解得f（﹣2）=3，再令a=b=﹣1，則f（﹣1﹣1）=f（﹣1）+f（﹣1）﹣1=3，解得f（﹣1）=2．不等式f（3m2﹣m﹣3）＜2．化為f（3m2﹣m﹣3）＜f（﹣1）．由（1）可得：f（x）在R上是增函數(shù)．∴3m2﹣m﹣3＜﹣1，解得﹣＜m＜1．∴不等式f（3m2﹣m﹣3）＜2的解集為（﹣，1）．【點(diǎn)評】本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性、求值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，考查了靈活應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力，屬于中檔題．19.已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C所對的邊，（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若，求的值。參考答案：(1)由已知及正弦定理得∴,∴；（2）由余弦定理得，由，∴20.如圖，在三棱柱中，底面，且為等邊三角形，，為的中點(diǎn).

（1）求證：直線平面；（2）求三棱錐的體積.參考答案：（1）.證明:如圖所示,

連接交于,連接,因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?所以點(diǎn)為的中點(diǎn),又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)的中點(diǎn),所以為的中位線,所以,又平面,平面,所以平面.

2.證明:因?yàn)槭堑冗吶切?為的中點(diǎn),所以,∴,∴21.（本小題滿分10分）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．參考答案：設(shè)等差數(shù)列公差為，首項(xiàng)為 ………………（1分）則，解得，.

……………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，則

………………（8分）.

………………（10分）22.如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD上的三等份點(diǎn)，，.（1）求證：BD∥平面AEF；（2）若，AE⊥平面BCD，求