廣東省梅州市東紅中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

廣東省梅州市東紅中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x）對(duì)于任意x都有時(shí)的根的個(gè)數(shù)為

A．7

B．6

C．5

D．4參考答案：C2.已知拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，1），則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(

)A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）參考答案：B【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】利用拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，1），求得=1，即可求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)．解：∵拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，1），∴=1，∴該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，考查拋物線的性質(zhì)，比較基礎(chǔ)．3.若函數(shù)f（x）=，若f（a）＞f（﹣a），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）參考答案： C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較．【分析】由分段函數(shù)的表達(dá)式知，需要對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行分類討論．【解答】解：由題意．故選C．4.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，其中m是實(shí)數(shù)，

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：D略5.已知二次曲線時(shí)，該曲線的離心率e的取值范圍是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C6.17．在數(shù)列中，，若一個(gè)7行12列的矩陣的第i行第j列的元素，（）則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個(gè)數(shù)為（

）(A)18

(B)28

(C)48

(D)63參考答案：A7.張卡片上分別寫有數(shù)字，從這張卡片中隨機(jī)抽取張，則取出的張卡片上的數(shù)學(xué)之和為偶數(shù)的概率是()

A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.某幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則它的俯視圖不可能是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】直接直觀想象舉出可能滿足條件的幾何體即可.【詳解】對(duì)A,此時(shí)該幾何體為圓錐,滿足.對(duì)B,此時(shí)該幾何體為正四棱錐.滿足.對(duì)C,此時(shí)該幾何體為正四棱錐的一半.滿足.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了直觀想象能力與三視圖的辨析.屬于基礎(chǔ)題型.9.已知a∈R，則“≤0”是“指數(shù)函數(shù)y=ax在R上為減函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】結(jié)合不等式的解法和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由≤0的a（a﹣1）≤0且a﹣1≠0，解得0≤a＜1，若指數(shù)函數(shù)y=ax在R上為減函數(shù)，則0＜a＜1，∴“≤0”是“指數(shù)函數(shù)y=ax在R上為減函數(shù)”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】主要是考查了充分條件的判定的運(yùn)用，利用不等式的解法和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．10.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則的取值范圍是A．[0，]

B．[，]

C．[0，]

D．[，]參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.平面向量與的夾角為60°，，，則等于.

．參考答案：12.如右圖，在△ABC中，AB=AC=2，BC=，點(diǎn)D在BC

邊上，∠ADC=，則AD的長(zhǎng)為

參考答案：在△ABC中，因?yàn)锳B=AC=2，BC=，所以，又∠ADC=，所以∠DAC=，所以CD=AC=2，所以由余弦定理得：，所以AD=。13.雙曲線與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是

.參考答案：14.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)E、F分別在邊BC、DC上，，.若，，則

．參考答案：

①即

②，解得

15.

已知，則的值為__________．參考答案：16.若，則的最小值為

參考答案：4，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)，所以最小值為4.17.在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，則點(diǎn)恰好落在第二象限的概率為

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，平面PAD⊥平面ABCD，，四邊形ABCD為平行四邊形，，M為線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足.（Ⅰ）求證：直線PB∥平面MNC；（Ⅱ）求證：平面MNC⊥平面PAD；（Ⅲ）若平面PAB⊥平面PCD，求直線BP與平面PCD所成角的正弦值.參考答案：(Ⅰ)見證明；(Ⅱ)見證明；(Ⅲ)【分析】（Ⅰ）連接，交于點(diǎn)，利用平幾知識(shí)得線線平行，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論，（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直進(jìn)行論證線線垂直，再根據(jù)線面垂直判定定理以及面面垂直垂直判定定理得結(jié)果，（Ⅲ）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面面垂直得兩平面法向量垂直，進(jìn)而得P點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用空間向量數(shù)量積求線面角.【詳解】（Ⅰ）證明：連接，交于點(diǎn)，連接在平行四邊形中，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，即，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以直線平面.（Ⅱ）證明：因?yàn)椋瑸榫€段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫嬗冢矫嫠云矫嬖谄叫兴倪呅沃?，因?yàn)椋砸詾樵c(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則因?yàn)槠矫嫠栽O(shè)，則所以所以，又因?yàn)樗云矫妫忠驗(yàn)槠矫嫠云矫嫫矫?（Ⅲ）解：因?yàn)樵O(shè)為平面的一個(gè)法向量則不妨設(shè)因?yàn)樵O(shè)為平面的一個(gè)法向量則不妨設(shè)因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以因?yàn)樗运裕运灾本€與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行判定定理、利用空間向量證明面面垂直以及求線面角，考查綜合分析論證求解能力，屬中檔題.19.已知拋物線過點(diǎn)，A，B是拋物線G上異于點(diǎn)M的不同兩點(diǎn)，且以線段AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M.（I）當(dāng)點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合時(shí)，求直線MB的方程；（II）求證：直線AB恒過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).參考答案：（I）；（II）答案見解析.【分析】(Ⅰ)首先求得拋物線的方程，然后求得AO的斜率，最后利用直線垂直的充分必要條件可得直線的方程；(Ⅱ)聯(lián)立直線方程與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到系數(shù)之間的關(guān)系，然后結(jié)合直線方程的形式即可證得直線恒過定點(diǎn).【詳解】（I）因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，所以，拋物線.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，易知，因?yàn)橐跃€段為直徑的圓恒過點(diǎn)，所以.所以.所以,即直線的方程為.（II）顯然直線與軸不平行，設(shè)直線方程.，消去得.設(shè)，因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，所以①因?yàn)橐跃€段為直徑的圓恒過點(diǎn)，所以.因?yàn)槭菕佄锞€上異于的不同兩點(diǎn),所以,.,同理得.所以,即,.將①代入得，，即.代入直線方程得.所以直線恒過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．20.（本小題滿分14分）如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．（1）證明：PB∥平面EAC；（2）求證：AE⊥平面PCD；（3）若AD=AB，試求二面角A－PC－D的正切值；參考答案：解：（1）連結(jié)交于,連結(jié),則,且,又平面,平面,PB//平面EAC．

……4分（2）正三角形PAD中，E為PD的中點(diǎn)，所以，，又，所以，AE⊥平面PCD．

……9分（3）在PC上取點(diǎn)M使得。由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以所以，在等腰直角三角形DPC中，，連接，因?yàn)锳E⊥平面PCD，所以，。所以，為二面角A－PC－D的平面角。…………12分在中，．即二面角A－PC－D的正切值為