廣東省梅州市桃堯中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

廣東省梅州市桃堯中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=sinx+acosx的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，且方程f（x）=m在[0，）上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m取值范圍是（） A．[0，1] B． [1，2] C． [，2） D． [1，]參考答案：考點(diǎn)： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： 由題意可得可得±=sin+acos，求得a的值，可得f（x）=2sin（x+）．再根據(jù)函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=m在[0，）上有兩個(gè)交點(diǎn)，求得m的范圍．解答： 解：由函數(shù)f（x）=sinx+acosx的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，可得x=時(shí)，函數(shù)取得最大值或最小值，故有±=sin+acos，求得a=，∴f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）．在[0，）上，x+∈[，），f（x）∈（1，2]．再根據(jù)方程f（x）=m在[0，）上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可得函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=m在[0，）上有兩個(gè)交點(diǎn)，故≤m＜2，故選：C．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，兩角和的正弦公式，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，屬于基礎(chǔ)題．2.將函數(shù)y=sin（2x+）的圖象經(jīng)怎樣平移后所得的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣，0）中心對(duì)稱（）A．向左移 B．向左移 C．向右移 D．向右移參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】先假設(shè)將函數(shù)y=sin（2x+）的圖象平移ρ個(gè)單位得到關(guān)系式，然后將x=﹣代入使其等于0，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得到ρ的所有值，再對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可．【解答】解：假設(shè)將函數(shù)y=sin（2x+）的圖象平移ρ個(gè)單位得到y(tǒng)=sin（2x+2ρ+）關(guān)于點(diǎn)（﹣，0）中心對(duì)稱∴將x=﹣代入得到sin（﹣+2ρ+）=sin（+2ρ）=0∴+2ρ=kπ，∴ρ=﹣+當(dāng)k=0時(shí)，ρ=﹣故選C．3.這三個(gè)數(shù)之間的大小順序是

（

）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：C4.橢圓上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（

）A．5 B．6 C．7 D．8參考答案：D略5.放射性元素一般都有一個(gè)半衰期（剩留量為最初質(zhì)量的一半所需的時(shí)間）．已知一種放射性元素的質(zhì)量按每年10%衰減，那么這種放射性元素的半衰期是（）年（精確到0.1，已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）．A．5.2 B．6.6 C．7.1 D．8.3參考答案：B【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】設(shè)這種放射性元素的半衰期為n，則（1﹣10%）n=0.5，取對(duì)數(shù)即可得出．【解答】解：設(shè)這種放射性元素的半衰期為n，則（1﹣10%）n=0.5，即，∴n====6.6．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．6.某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的k值是 A．5 B．6 C．7 D．8參考答案：C7.在三棱錐中，若O是底面ABC內(nèi)部一點(diǎn)，滿足,則(

)

A.

B.5

C.2

D.

參考答案：C8.復(fù)數(shù),則

（

） A．25 B． C．5 D．參考答案：C略9.設(shè)常數(shù)，展開式中的系數(shù)為，則A.

B.

C.2

D.1參考答案：D略10.設(shè)P為等邊所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，若AB=1，則的值為（

）

A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合，則___________．參考答案：12.已知是奇函數(shù)，若且，則

.參考答案：313.曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為

.參考答案：14.設(shè)，若，則_________

參考答案：或略15.口袋中有形狀和大小完全相同的4個(gè)球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4，若從袋中一次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則摸出的2個(gè)球的編號(hào)之和大于4的概率為

．參考答案：16.不等式的解集是__________________.參考答案：略17.設(shè)P，Q分別為圓x2+y2﹣8x+15=0和拋物線y2=4x上的點(diǎn)．則P，Q兩點(diǎn)間的最小距離是．參考答案：2﹣1

【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意可得圓的圓心和半徑，由二次函數(shù)可得P與圓心距離的最小值，減半徑即可．【解答】解：∵圓x2+y2﹣8x+15=0可化為（x﹣4）2+y2=1，∴圓的圓心為（4，0），半徑為1，設(shè)P（x0，y0）為拋物線y2=4x上的任意一點(diǎn)，∴y02=4x0，∴P與（4，0）的距離d==，∴由二次函數(shù)可知當(dāng)x0=2時(shí)，d取最小值2，∴所求最小值為：2﹣1．故答案為：2﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩點(diǎn)間的距離公式，涉及拋物線和圓的知識(shí)，屬中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.不等式選講已知函數(shù).(Ⅰ)解不等式:；(Ⅱ)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解:(Ⅰ)原不等式等價(jià)于:當(dāng)時(shí),,即.當(dāng)時(shí),,即

當(dāng)時(shí),,即.綜上所述,原不等式的解集為.…………5分(Ⅱ)當(dāng)時(shí),=所以

……………10分

略19.如圖四棱錐，底面梯形中，，平面平面，已知.(1)求證：；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使三棱錐體積為三棱錐體積的6倍.若存在，找出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由.參考答案：1）證：∴又∵平面平面，平面平面∴面，又面，∴（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)，點(diǎn)到面的距離為，點(diǎn)到面的距離為，由相似三角形可知∴∴點(diǎn)是上的一個(gè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).20.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)(1)

當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)

當(dāng)時(shí)，的最大值為，求的取值范圍.參考答案：（1）

(2)【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.B12解析：（1）當(dāng)時(shí)，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為

………4分(2)令得

………6分1

當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增當(dāng)時(shí)，2

當(dāng)即時(shí)，在和遞減，在遞增解得,所以3

當(dāng)即時(shí)，在遞減,4

當(dāng)即時(shí)，在和遞減，在遞增，解得,所以5

當(dāng)即時(shí)，在遞增，不合題意……11分綜上所述：的取值范圍為

………12分第（2）問另解：當(dāng)時(shí)的最大值為，等價(jià)于對(duì)于恒成立，可化為對(duì)于恒成立

………7分令，則于是在上遞增，在上遞減，的取值范圍是………12分【思路點(diǎn)撥】（1）利用a=1，化簡(jiǎn)函數(shù)求出切點(diǎn)坐標(biāo)，求解是的導(dǎo)數(shù)，得到切線方程的斜率，即可求解切線方程．（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)為0，得到極值點(diǎn)，然后①當(dāng)a≥1時(shí)，②當(dāng)，③當(dāng)，④當(dāng)，⑤當(dāng)，分別求解函數(shù)的單調(diào)性推出最值，解得a的取值范圍．第（2）問另解：f（x）當(dāng)x≥0時(shí)的最大值為a，等價(jià)于f（x）≤a對(duì)于x≥0恒成立，轉(zhuǎn)化a的函數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，利用增函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解最值即可．21.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；（2）在棱PC上是否存在一點(diǎn)M，使二面角M﹣BQ﹣C為30°，若存在，確定M的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）通過四邊形BCDQ為平行四邊形、∠AQB=90°，及線面垂直、面面垂直的判定定理即得結(jié)論；（2）以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，以QA、QB、QP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Q﹣xyz，通過平面BQC的一個(gè)法向量與平面MBQ的一個(gè)法向量的夾角的余弦值為，計(jì)算即得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，BC=AD，Q為AD的中點(diǎn)，∴BC∥DQ且BC=DQ，∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ，∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD，∵PA=PD，∴PQ⊥AD，∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ，∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；（2）結(jié)論：當(dāng)M是棱PC上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)時(shí)有二面角M﹣BQ﹣C為30°．理由如下：∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴PQ⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，以QA、QB、QP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Q﹣xyz如圖，∴Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣1，，0），則平面BQC的一個(gè)法向量為=（0，0，1），設(shè)滿足條件的點(diǎn)M（x，y，z）存在，則=（x，y，z﹣），=（﹣1﹣x，﹣y，﹣z），令=t，其中t＞0，∴，∴，在平面MBQ中，=（0，，0），=（﹣，，），∴平面MBQ的一個(gè)法向量為=（，0，t），∵二面角M﹣BQ﹣C為30°，∴cos30°=||==，解得t=3，∴滿足條件的點(diǎn)M存在，M是棱PC的靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)．

22.某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口北偏西且與港口相距20海里的處，并以30海里/小時(shí)的航速沿正東方向勻速行駛，假設(shè)該小艇沿直線方向以海里/小時(shí)的航速勻速行駛，經(jīng)過小時(shí)與輪船相遇。（1）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？（2）假設(shè)小艇的最高航速只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航向與航速的大小），使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由。參考答案：某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口北偏西且與港口相距20海里的處，并以30海里/小時(shí)的航速沿正東方向勻速行駛，假設(shè)該小艇沿直線方向以海里/小時(shí)的航速勻速行駛，經(jīng)過小時(shí)與輪船相遇。（1）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？（2）假設(shè)小艇的最高航速只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航向與航速的大小），使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由。20.解：（1）若相遇時(shí)小艇的航行距