微分方程和差分方程模型

微分方程和差分方程模型第一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí),我們常常不能直接得出變量之間的關(guān)系,但卻能容易得出包含變量導(dǎo)數(shù)在內(nèi)的關(guān)系式,這就是微分方程.

在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中,又有許多變量是離散變化的,如人口數(shù)、生產(chǎn)周期與商品價(jià)格等,而且離散的運(yùn)算具有可操作性,差分正是聯(lián)系連續(xù)與離散變量的一座橋梁.

不管是微分方程還是差分方程模型，有時(shí)無(wú)法得到其解析解(必要時(shí),可以利用計(jì)算機(jī)求其數(shù)值解),既使得到其解析解,尚有未知參數(shù)需要估計(jì)(這是可利用第二章參數(shù)估計(jì)方法).

而在實(shí)際問(wèn)題中,討論問(wèn)題的解的變化趨勢(shì)很重要，因此，以下只對(duì)其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性加以討論.第二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日3.1微分方程模型

如果則稱平衡點(diǎn)x0是穩(wěn)定的.稱代數(shù)方程

f(x)=0的實(shí)根x=x0為方程(3-1)的平衡點(diǎn)(或奇點(diǎn)).它也是方程(3-1)的解.設(shè)第三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日穩(wěn)定性判別方法由于在討論方程(3-1)的來(lái)代替.穩(wěn)定性時(shí)，可用易知

x0也是方程(3-2)的平衡點(diǎn).(3-2)的通解為關(guān)于x0是否穩(wěn)定有以下結(jié)論：①若則x0是穩(wěn)定的；②

若則x0是不穩(wěn)定的.這個(gè)結(jié)論對(duì)于(4-1)也是成立的.第四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)于常微分方程組的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性,設(shè)代數(shù)方程組的實(shí)根x=x0,y=y0稱為方程(3-3)的平衡點(diǎn),記作P0(x0,y0).它也是方程(3-3)的解.第五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日如果則稱平衡點(diǎn)P0是穩(wěn)定的.下面給出判別平衡點(diǎn)P0是否穩(wěn)定的判別準(zhǔn)則.設(shè)

則當(dāng)p＞0且q＞0時(shí),平衡點(diǎn)P0是穩(wěn)定的；當(dāng)p＜0或q＜0時(shí),平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定的.第六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日3.2差分方程模型

對(duì)于k階差分方程F(n;xn,xn+1,…,xn+k)=0(3-6)若有xn=x(n),滿足F(n;x(n),x(n+1),…,x(n+k))=0,則稱xn=x(n)是差分方程(3-6)的解,包含個(gè)任意常數(shù)的解稱為(3-6)的通解,x0,x1,…,xk-1為已知時(shí)稱為(3-6)的初始條件,通解中的任意常數(shù)都由初始條件確定后的解稱為(3-6)的特解.若x0,x1,…,xk-1已知,則形如xn+k=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1)的差分方程的解可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn).第七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日若有常數(shù)a是差分方程(3-6)的解,即F(n;a,a,…,a)=0,則稱

a是差分方程(3-6)的平衡點(diǎn).

又對(duì)差分方程(3-6)的任意由初始條件確定的解

xn=x(n)都有xn→a(n→∞),則稱這個(gè)平衡點(diǎn)a是穩(wěn)定的.

一階常系數(shù)線性差分方程

xn+1+axn=b,(其中a,b為常數(shù),且a≠-1,0)的通解為xn=C(-

a)n+b/(a+1)

易知b/(a+1)是其平衡點(diǎn),由上式知,當(dāng)且僅當(dāng)|a|＜1時(shí),b/(a+1)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn).第八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日二階常系數(shù)線性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r為常數(shù).

當(dāng)r=0時(shí),它有一特解x*=0；

當(dāng)r≠0,且a+b+1≠0時(shí),它有一特解x*=r/(a+b+1).

不管是哪種情形,x*是其平衡點(diǎn).設(shè)其特征方程2+a+b=0的兩個(gè)根分別為=1,=2.第九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日

①當(dāng)1,2是兩個(gè)不同實(shí)根時(shí),二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;

②當(dāng)1,2=是兩個(gè)相同實(shí)根時(shí),二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn=x*+(C1+C2n)n;

③當(dāng)1,2=(cos+isin)是一對(duì)共軛復(fù)根時(shí),二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn=x*+

n(C1cosn+C2sinn

).

易知,當(dāng)且僅當(dāng)特征方程的任一特征根|i|＜1時(shí),平衡點(diǎn)x*是穩(wěn)定的.則第十頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于一階非線性差分方程xn+1=f(xn)其平衡點(diǎn)x*由代數(shù)方程x=f(x)解出.

為分析平衡點(diǎn)x*的穩(wěn)定性,將上述差分方程近似為一階常系數(shù)線性差分方程時(shí),上述近似線性差分方程與原非線性差分方程的穩(wěn)定性相同.

因此當(dāng)時(shí),x*是穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí),x*是不穩(wěn)定的.當(dāng)?shù)谑豁?yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日3.3觀眾廳地面設(shè)計(jì)1問(wèn)題的提出在影視廳或報(bào)告廳，經(jīng)常會(huì)為前邊觀眾遮擋住自己的視線而苦惱。顯然，場(chǎng)內(nèi)的觀眾都在朝臺(tái)上看，如果場(chǎng)內(nèi)地面不做成前低后高的坡度模式，那么前邊觀眾必然會(huì)遮擋后面觀眾的視線。試建立數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)良好的報(bào)告廳地面坡度曲線。第十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日建立坐標(biāo)系oo—處在臺(tái)上的設(shè)計(jì)視點(diǎn)bb—第一排觀眾的眼睛到x軸的垂直距離xyadda—第一排觀眾與設(shè)計(jì)視點(diǎn)的水平距離d—相鄰兩排的排距—視線升高標(biāo)準(zhǔn)x—表示任一排與設(shè)計(jì)視點(diǎn)的水平距離求任一排x與設(shè)計(jì)視點(diǎn)o的豎直距離函數(shù)使此曲線滿足視線的無(wú)遮擋要求。問(wèn)題第十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日2問(wèn)題的假設(shè)觀眾廳地面的縱剖面圖一致，只需求中軸線上地面的起伏曲線即可。同一排的座位在同一等高線上。每個(gè)坐在座位上的觀眾的眼睛與地面的距離相等。每個(gè)坐在座位上的觀眾的頭與地面的距離也相等。所求曲線只要使觀眾的視線從緊鄰的前一個(gè)座位的人的頭頂擦過(guò)即可。第十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日3建模設(shè)眼睛升起曲線應(yīng)滿足微分方程初始條件obxyadd1）從第一排起，觀眾眼睛與o點(diǎn)的連線的斜率隨排數(shù)的增加而增加，而眼睛升起曲線顯然與這些直線皆相交，故此升起曲線是凹的。第十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日2）選擇某排和相鄰排oyx-dC(x,0)C2(x+d,0)MM2M1xN1ABN相似于D第十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日再計(jì)算相似于第十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日4模型求解微分不等式（比較定理）設(shè)函數(shù)定義在某個(gè)區(qū)域上，且滿足1）在D上滿足存在唯一性定理的條件；2）在D上有不等式則初值問(wèn)題與的解在它們共同存在區(qū)間上滿足第十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日第十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日所求曲線的近似曲線方程（折衷法）折衷法第二十頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日5總結(jié)與討論有時(shí)只需求近似解。方法利用微分不等式建模；模型討論obxyadd1）視點(diǎn)移動(dòng)時(shí)升起曲線如何求得？2）怎樣減少地面的坡度？調(diào)整參數(shù)、相鄰排錯(cuò)位。3）衡量經(jīng)濟(jì)的指標(biāo)？座位盡量多、升起曲線占據(jù)的空間盡量少等。第二十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日

3.4碳定年代法考古、地質(zhì)學(xué)等方面的專家常用14C測(cè)定法（通常稱碳定年代法）來(lái)估計(jì)文物或化石的年代。

第二十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日

14C的蛻變規(guī)律14C是一種由宇宙射線不斷轟擊大氣層，使大氣層產(chǎn)生中子，中子與氮?dú)庾饔蒙傻木哂蟹派湫缘奈镔|(zhì)。這種放射性碳可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而植物又作為動(dòng)物的食物，于是放射性碳被帶到各種動(dòng)植物體內(nèi)。14C是放射性的，無(wú)論在空氣中還是在生物體內(nèi)他都在不斷蛻變，這種蛻變規(guī)律我們可以求出來(lái)。通常假定其蛻變速度與該時(shí)刻的存余量成正比。第二十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)在時(shí)刻t（年），生物體中14C的存量為x(t),生物體的死亡時(shí)間記為t0=0,此時(shí)14C含量為x0,由假設(shè)，初值問(wèn)題

（1.1）的解為（1.2）其中，為常數(shù)，k前面的符號(hào)表示14C的存量是遞減的。（1.2）式表明14C是按指數(shù)遞減的，而常數(shù)k可由半衰期確定，

第二十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日若14C的半衰期為T,則有

(1.3)將（1.3）代入（1.2）得

即有（1.4）第二十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日碳定年代法的根據(jù)活著的生物通過(guò)新陳代謝不斷攝取14C,因而他們體內(nèi)的14C與空氣中的14C含量相同，而生物死亡之后，停止攝取14C，因而尸體內(nèi)的14C由于不斷蛻變而不斷減少。碳定年代法就是根據(jù)生物體死亡之后體內(nèi)14C蛻變減少量的變化情況來(lái)判斷生物的死亡時(shí)間的。第二十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日碳定年代法的計(jì)算由（1.4）解得

(1.5)由于x(0),x(t)不便于測(cè)量，我們可把(1.5)作如下修改.對(duì)(1.2)式兩邊求導(dǎo)數(shù)，得

(1.6)而(1.7)第二十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日(1.6)和(1.7)兩式相除，得將上式代入(1.5)，得

(1.8)這樣由(1.8)可知，只要知道生物體在死亡時(shí)體內(nèi)14C的蛻變速度和現(xiàn)在時(shí)刻t的蛻變速度,就可以求得生物體的死亡時(shí)間了，在實(shí)際計(jì)算上，都假定現(xiàn)代生物體中14C的蛻變速度與生物體死亡時(shí)代生物體中14C的蛻變速度相同。第二十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日馬王堆一號(hào)墓年代的確定馬王堆一號(hào)墓于1972年8月出土，其時(shí)測(cè)得出土的木炭標(biāo)本的14C平均原子蛻變數(shù)為29.78/s,而新砍伐木頭燒成的木炭中14C平均原子蛻變數(shù)為38.37/s,又知14C的半衰期為5568年，這樣，我們可以把,，T=5568年代入(1.8)，得這樣就估算出馬王堆一號(hào)墓大約是在2000多年前。第二十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日兩個(gè)注記（1）馬王堆中的古代科技之謎素紗蟬衣：兩件輕薄的衣服，絲綢，極輕且兩千年不腐，南京云錦研究所接受國(guó)家科技攻關(guān)，用了二十年時(shí)間，于1990年成功研制出類似素紗蟬衣的復(fù)制品，但該復(fù)制品比漢代的還重50克，已不可能再輕了。女尸千年不腐：病理知識(shí)：女尸解剖顯示患有非常嚴(yán)重的冠心病；肺部有肺結(jié)核的鈣化，肺部鈣化是肺結(jié)核痊愈后的表現(xiàn)。2000年后的今天，要想控制肺結(jié)核，除自身的第三十頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日抵抗力要強(qiáng)外，還要有好的營(yíng)養(yǎng)，要想痊愈是很困難的。兩處膽結(jié)石，其一在膽總管，有蠶豆大，膽道被堵得水泄不通。三種寄生蟲(chóng)，其中竟有血吸蟲(chóng)，其癥狀應(yīng)為腹脹如鼓，骨瘦如柴，但該女子皮下脂肪異常豐滿，顯然血吸蟲(chóng)被有效的控制住了。該西漢貴婦生前病魔纏身，但從其遺體上未發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)期臥床養(yǎng)病的跡象。一個(gè)同時(shí)患有這么多疾病的人，能夠長(zhǎng)期穩(wěn)定控制病情，在今天也是一個(gè)奇跡，說(shuō)明漢代醫(yī)術(shù)已達(dá)到了相當(dāng)高的水平。。。。。。。。。。第三十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日（2）碳定年代法的不足現(xiàn)在，14C年代測(cè)定法已受到懷疑，在2500----10000年前這段時(shí)間中與其他斷代法的結(jié)果有差異。1966年，耶魯實(shí)驗(yàn)室的MinzeStuiver和加利福尼亞大學(xué)圣地亞哥分校的HansE.Suess在一份報(bào)告中指出了這一時(shí)期使14C年代測(cè)定產(chǎn)生誤差的根本原因。在那個(gè)年代，宇宙射線的放射強(qiáng)度減弱了，偏差的峰值發(fā)生在大約6000年以前。第三十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日這兩位研究人員的結(jié)論出自對(duì)Brist/econe松樹(shù)所作的14C年代測(cè)定的結(jié)果，因?yàn)檫@種松樹(shù)同時(shí)還提供了精確的年輪斷代。他們提出了一個(gè)很成功的誤差公式，用來(lái)校正根據(jù)14C斷代定出的2300----6000年前這期間的年代：真正的年代=14C年×1.4—900。第三十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日3.4

范.梅格倫偽造名畫案第二次世界大戰(zhàn)比利時(shí)解放后，荷蘭保安機(jī)關(guān)開(kāi)始搜捕納粹分子的合作者，發(fā)現(xiàn)一名三流畫家曾將17世紀(jì)荷蘭著名畫家Jan.Vermeer的一批名貴油畫盜賣給德寇，于1945年5月29日通敵罪逮捕了此人。

Vanmeegren被捕后宣稱他從未出賣過(guò)荷蘭的利益，所有的油畫都是自己偽造的，為了證實(shí)這一切，在獄中開(kāi)始偽造Vermeer的畫《耶穌在學(xué)者中間》。當(dāng)他的工作快完成時(shí)，又獲悉他可能以偽造罪被判刑，于是拒絕將畫老化，以免留下罪證。第三十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日為了審理這一案件，法庭組織了一個(gè)由化學(xué)家、物理學(xué)家、藝術(shù)史學(xué)家等參加的國(guó)際專門小組，采用了當(dāng)時(shí)最先進(jìn)的科學(xué)方法，動(dòng)用了X-光線透視等，對(duì)顏料成份進(jìn)行分析，終于在幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代物質(zhì)諸如現(xiàn)代顏料鈷藍(lán)的痕跡。這樣，偽造罪成立，Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在獄中心臟病發(fā)作而死去。但是，許多人還是不相信其余的名畫是偽造的，因?yàn)椋?/p>

Vanmeegren在獄中作的畫實(shí)在是質(zhì)量太差，所找理由都不能使懷疑者滿意。直到20年后，1967年，卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的科學(xué)家們用微分方程模型解決了這一問(wèn)題。第三十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日原理著名物理學(xué)家盧瑟夫（Rutherford）指出：

物質(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù)。設(shè)時(shí)刻的原子數(shù)為，則有為物質(zhì)的衰變常數(shù)。初始條件第三十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日半衰期碳-14鈾-238鐳-226鉛-210能測(cè)出或算出，只要知道就可算出這正是問(wèn)題的難處，下面是間接確定的方法。斷代。第三十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日油畫中的放射性物質(zhì)白鉛（鉛的氧化物）是油畫中的顏料之一，應(yīng)用已有2000余年，白鉛中含有少量的鉛(Pb210)和更少量的鐳(Ra226)。白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的，而鉛金屬是經(jīng)過(guò)熔煉從鉛礦中提取來(lái)出的。當(dāng)白鉛從處于放射性平衡狀態(tài)的礦中提取出來(lái)時(shí)，Pb210的絕大多數(shù)來(lái)源被切斷，因而要迅速蛻變，直到Pb210與少量的鐳再度處于放射平衡，這時(shí)Pb210的蛻變正好等于鐳蛻變所補(bǔ)足的為止。第三十八