第二章最小二乘法OLS和線性回歸模型.教學(xué)提綱

第二章

最小二乘法（OLS）

和線性回歸(huíguī)模型1第一頁，共90頁。本章(běnzhānɡ)要點最小二乘法的基本原理和計算方法經(jīng)典線性回歸模型的基本假定BLUE統(tǒng)計量的性質(zhì)t檢驗和置信區(qū)間檢驗的原理及步驟多變量模型的回歸系數(shù)的F檢驗預(yù)測的類型及評判(píngpàn)預(yù)測的標(biāo)準(zhǔn)好模型具有的特征2第二頁，共90頁。第一節(jié)最小二乘法的基本(jīběn)屬性一、有關(guān)回歸的基本介紹金融、經(jīng)濟變量之間的關(guān)系，大體上可以分為兩種：（1）函數(shù)關(guān)系：Y=f(X1,X2,….,XP)，其中(qízhōng)Y的值是由Xi（i=1,2….p）所唯一確定的。（2）相關(guān)關(guān)系:Y=f(X1,X2,….,XP)，這里Y的值不能由Xi（i=1,2….p）精確的唯一確定。3第三頁，共90頁。圖2-1貨幣(huòbì)供應(yīng)量和GDP散點圖4第四頁，共90頁。圖2-1表示的是我國貨幣(huòbì)供應(yīng)量M2（y）與經(jīng)過季節(jié)調(diào)整的GDP（x）之間的關(guān)系（數(shù)據(jù)為1995年第一季度到2004年第二季度的季度數(shù)據(jù)）。5第五頁，共90頁。但有時候我們(wǒmen)想知道當(dāng)x變化一單位時，y平均變化多少，可以看到，由于圖中所有的點都相對的集中在圖中直線周圍，因此我們(wǒmen)可以以這條直線大致代表x與y之間的關(guān)系。如果我們(wǒmen)能夠確定這條直線，我們(wǒmen)就可以用直線的斜率來表示當(dāng)x變化一單位時y的變化程度，由圖中的點確定線的過程就是回歸。

6第六頁，共90頁。對于變量間的相關(guān)關(guān)系，我們可以根據(jù)大量的統(tǒng)計資料，找出它們在數(shù)量變化方面的規(guī)律（即“平均”的規(guī)律），這種統(tǒng)計規(guī)律所揭示的關(guān)系就是回歸(huíguī)關(guān)系（regressiverelationship）,所表示的數(shù)學(xué)方程就是回歸(huíguī)方程（regressionequation）或回歸(huíguī)模型（regressionmodel）。7第七頁，共90頁。圖2-1中的直線(zhíxiàn)可表示為（2.1）

根據(jù)上式，在確定(quèdìng)α、β的情況下，給定一個x值，我們就能夠得到一個確定(quèdìng)的y值，然而根據(jù)式（2.1）得到的y值與實際的y值存在一個誤差（即圖2-1中點到直線的距離）。8第八頁，共90頁。如果我們以ｕ表示(biǎoshì)誤差，則方程（2.1）變?yōu)椋?/p>

即：

其中t（=1,2,3,…..,T）表示(biǎoshì)觀測數(shù)。（2.2）（2.3）式（2.3）即為一個簡單的雙變量(biànliàng)回歸模型（因其僅具有兩個變量(biànliàng)x,y）的基本形式。9第九頁，共90頁。其中yt被稱作因變量（dependentvariable）、被解釋(jiěshì)變量（explainedvariable）、結(jié)果變量（effectvariable）；xt被稱作自變量（independentvariable）、解釋(jiěshì)變量（explanatoryvariable）、原因變量（causalvariable）10第十頁，共90頁。α、β為參數(shù)（parameters）,或稱回歸系數(shù)（regressioncoefficients）；ｕt通常(tōngcháng)被稱為隨機誤差項（stochasticerrorterm）,或隨機擾動項（randomdisturbanceterm）,簡稱誤差項，在回歸模型中它是不確定的，服從隨機分布（相應(yīng)的，yt也是不確定的，服從隨機分布）。11第十一頁，共90頁。為什么將ｕt包含在模型中？（1）有些變量是觀測不到的或者(huòzhě)是無法度量的，又或者(huòzhě)影響因變量yt的因素太多；（2）在yt的度量過程中會發(fā)生偏誤，這些偏誤在模型中是表示不出來的；（3）外界隨機因素對yt的影響也很難模型化，比如：恐怖事件、自然災(zāi)害、設(shè)備故障等。12第十二頁，共90頁。二、參數(shù)的最小二乘估計(一)方法介紹本章所介紹的是普通最小二乘法(chéngfǎ)（ordinaryleastsquares,簡記OLS）;最小二乘法(chéngfǎ)的基本原則是：最優(yōu)擬合直線應(yīng)該使各點到直線的距離的和最小，也可表述為距離的平方和最小。假定根據(jù)這一原理得到的α、β估計值為、，則直線可表示為。13第十三頁，共90頁。直線(zhíxiàn)上的yt值，記為，稱為擬合值（fittedvalue）,實際值與擬合值的差，記為，稱為殘差（residual），可以看作是隨機誤差項的估計值。根據(jù)OLS的基本原則，使直線(zhíxiàn)與各散點的距離的平方和最小，實際上是使殘差平方和（residualsumofsquares,簡記RSS）最小，即最小化：RSS==（2.4）

14第十四頁，共90頁。根據(jù)最小化的一階條件，將式2.4分別(fēnbié)對、求偏導(dǎo)，并令其為零，即可求得結(jié)果如下:（2.5）

（2.6）15第十五頁，共90頁。（二）一些基本概念1.總體（thepopulation）和樣本（thesample）總體是指待研究變量的所有數(shù)據(jù)集合，可以(kěyǐ)是有限的，也可以(kěyǐ)是無限的；而樣本是總體的一個子集。2、總體回歸方程（thepopulationregressionfunction，簡記PRF），樣本回歸方程（thesampleregressionfunction，簡記SRF）。16第十六頁，共90頁?？傮w回歸方程（PRF）表示變量之間的真實關(guān)系，有時(yǒushí)也被稱為數(shù)據(jù)生成過程（DGP），PRF中的α、β值是真實值，方程為：+

（2.7）樣本(yàngběn)回歸方程（SRF）是根據(jù)所選樣本(yàngběn)估算的變量之間的關(guān)系函數(shù)，方程為：注意：SRF中沒有(méiyǒu)誤差項，根據(jù)這一方程得到的是總體因變量的期望值（2.8）17第十七頁，共90頁。于是(yúshì)方程（2.7）可以寫為：（2.9）總體y值被分解為兩部分：模型擬合值（）和殘差項（）。18第十八頁，共90頁。3.線性關(guān)系對線性的第一種(yīzhǒnɡ)解釋是指：y是x的線性函數(shù)，比如，y=。對線性的第二種解釋是指：y是參數(shù)的一個線性函數(shù)，它可以不是變量x的線性函數(shù)。比如，y=就是一個線性回歸模型，但則不是。在本課程中，線性回歸一詞總是對指參數(shù)β為線性的一種(yīzhǒnɡ)回歸（即參數(shù)只以一次方出現(xiàn)），對解釋變量x則可以是或不是線性的。19第十九頁，共90頁。有些(yǒuxiē)模型看起來不是線性回歸，但經(jīng)過一些基本代數(shù)變換可以轉(zhuǎn)換成線性回歸模型。例如，

（2.10）

可以進行如下(rúxià)變換：

（2.11）令、、，則方程(fāngchéng)（2.11）變?yōu)椋海?.12）

可以看到，模型2.12即為一線性模型。

20第二十頁，共90頁。4.估計(gūjì)量（estimator）和估計(gūjì)值（estimate）估計(gūjì)量是指計算系數(shù)的方程；而估計(gūjì)值是指估計(gūjì)出來的系數(shù)的數(shù)值。21第二十一頁，共90頁。三、最小二乘估計量的性質(zhì)和分布（一）經(jīng)典線性回歸模型的基本假設(shè)（1），即殘差具有零均值；（2）var<∞,即殘差具有常數(shù)方差，且對于所有x值是有限的；（3）cov，即殘差項之間在統(tǒng)計意義上是相互獨立的；（4）cov，即殘差項與變量x無關(guān)(wúguān)；（5）ｕt~N,即殘差項服從正態(tài)分布22第二十二頁，共90頁。（二）最小二乘估計量的性質(zhì)如果滿足假設(shè)(1)－(4)，由最小二乘法(chéngfǎ)得到的估計量、具有一些特性，它們是最優(yōu)線性無偏估計量（BestLinearUnbiasedEstimators，簡記BLUE）。23第二十三頁，共90頁。估計量（estimator）：意味著、是包含著真實α、β值的估計量；線性（linear）：意味著、與隨機變量y之間是線性函數(shù)關(guān)系；無偏（unbiased）：意味著平均而言，實際(shíjì)得到的、值與其真實值是一致的；最優(yōu)（best）：意味著在所有線性無偏估計量里，OLS估計量具有最小方差。24第二十四頁，共90頁。(三)OLS估計量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差和其概率分布1.OLS估計量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差。給定假設(shè)(1)－(4)，估計量的標(biāo)準(zhǔn)差計算(jìsuàn)方程如下:其中(qízhōng)，是殘差的估計標(biāo)準(zhǔn)差。（2.21）（2.22）25第二十五頁，共90頁。參數(shù)估計量的標(biāo)準(zhǔn)差具有如下的性質(zhì)：（1）樣本容量T越大，參數(shù)估計值的標(biāo)準(zhǔn)差越??；（2）和都取決于s2。s2是殘差的方差估計量。s2越大，殘差的分布(fēnbù)就越分散，這樣模型的不確定性也就越大。如果s2很大，這意味著估計直線不能很好地擬合散點；26第二十六頁，共90頁。（3）參數(shù)估計值的方差與成反比。其值越小，散點越集中，這樣就越難準(zhǔn)確地估計擬合直線；相反(xiāngfǎn)，如果越大，散點越分散，這樣就可以容易地估計出擬合直線，并且可信度也大得多。比較圖2－2就可以清楚地看到這點。27第二十七頁，共90頁。圖2－2直線(zhíxiàn)擬合和散點集中度的關(guān)系28第二十八頁，共90頁。（4）項只影響截距的標(biāo)準(zhǔn)差，不影響斜率的標(biāo)準(zhǔn)差。理由是：衡量的是散點與y軸的距離。越大，散點離y軸越遠，就越難準(zhǔn)確地估計(gūjì)出擬合直線與y軸的交點（即截距）；反之，則相反。29第二十九頁，共90頁。2．OLS估計量的概率分布給定假設(shè)(jiǎshè)條件(5)，即～，則也服從正態(tài)分布系數(shù)估計量也是服從正態(tài)分布的：（2.30）

（2.31）30第三十頁，共90頁。需要注意的是：如果殘差不服從正態(tài)分布，即假設(shè)(jiǎshè)(5)不成立，但只要CLRM的其他假設(shè)(jiǎshè)條件還成立，且樣本容量足夠大，則通常認為系數(shù)估計量還是服從正態(tài)分布的。其標(biāo)準(zhǔn)(biāozhǔn)正態(tài)分布為：

（2.32）

（2.33）31第三十一頁，共90頁。但是，總體回歸方程中的系數(shù)的真實標(biāo)準(zhǔn)差是得不到的，只能得到樣本的系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差（、）。用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去替代總體標(biāo)準(zhǔn)差會產(chǎn)生(chǎnshēng)不確定性，并且、將不再(bùzài)服從正態(tài)分布，而服從自由度為T-2的t分布，其中T為樣本容量即：~(2.34)

~

(2.35)32第三十二頁，共90頁。3.正態(tài)分布(fēnbù)和t分布(fēnbù)的關(guān)系圖2-3正態(tài)分布(fēnbù)和t分布(fēnbù)形狀比較33第三十三頁，共90頁。從圖形上來看，t分布的尾比較厚，均值處的最大值小于正態(tài)分布。隨著t分布自由度的增大，其對應(yīng)臨界值顯著減小，當(dāng)自由度趨向于無窮(wúqióng)時，t分布就服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布了。所以正態(tài)分布可以看作是t分布的一個特例。34第三十四頁，共90頁。第二節(jié)一元(yīyuán)線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗一、擬合優(yōu)度(goodnessoffitstatistics)檢驗

擬合優(yōu)度可用R2表示(biǎoshì)：模型所要解釋的是y相對于其均值的波動性，即（總平方和，thetotalsumofsquares，簡記TSS），這一平方和可以分成兩部分：

35第三十五頁，共90頁。=+（2.36）是被模型(móxíng)所解釋的部分，稱為回歸平方和（theexplainedsumofsquares，簡記ESS）；是不能被模型(móxíng)所解釋的殘差平方和（RSS）,即=36第三十六頁，共90頁。TSS、ESS、RSS的關(guān)系以下圖來表示(biǎoshì)更加直觀一些：圖2－4TSS、ESS、RSS的關(guān)系(guānxì)37第三十七頁，共90頁。擬合優(yōu)度＝因為(yīnwèi)TSS=ESS+RSS所以R2＝（2.39）（2.37）（2.38）

R2越大，說明回歸線擬合程度越好；R2越小，說明回歸線擬合程度越差。由上可知，通過考察R2的大小，我們就能粗略地看出(kànchū)回歸線的優(yōu)劣。38第三十八頁，共90頁。但是，R2作為擬合優(yōu)度的一個衡量標(biāo)準(zhǔn)也存在(cúnzài)一些問題：

（1）如果模型被重新組合，被解釋變量發(fā)生了變化，那么R2也將隨之改變，因此具有不同被解釋變量的模型之間是無法來比較R2的大小的。39第三十九頁，共90頁。（2）增加了一個解釋變量以后，R2只會增大而不會(bùhuì)減小，除非增加的那個解釋變量之前的系數(shù)為零，但在通常情況下該系數(shù)是不為零的，因此只要增加解釋變量，R2就會不斷的增大，這樣我們就無法判斷出這些解釋變量是否應(yīng)該包含在模型中。

（3）R2的值經(jīng)常會很高，達到0.9或更高，所以我們無法判斷模型之間到底孰優(yōu)孰劣。40第四十頁，共90頁。為了解決上面第二個問題，我們通常用調(diào)整過的R2來代替未調(diào)整過的R2。對R2進行調(diào)整主要是考慮到在引進一個解釋變量(biànliàng)時，會失去相應(yīng)的自由度。調(diào)整過的R2用來表示，公式為：其中T為樣本容量，K為自變量(biànliàng)個數(shù)（2.40）41第四十一頁，共90頁。二、假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗的基本任務(wù)是根據(jù)樣本所提供的信息，對未知總體分布某些方面的假設(shè)做出合理解釋(jiěshì)假設(shè)檢驗的程序是，先根據(jù)實際問題的要求提出一個論斷，稱為零假設(shè)（nullhypothesis）或原假設(shè)，記為H0（一般并列的有一個備擇假設(shè)（alternativehypothesis）,記為H1）然后根據(jù)樣本的有關(guān)信息，對H0的真?zhèn)芜M行判斷，做出拒絕H0或不能拒絕H0的決策。42第四十二頁，共90頁。假設(shè)檢驗的基本思想是概率性質(zhì)的反證法。概率性質(zhì)的反證法的根據(jù)是小概率事件原理。該原理認為“小概率事件在一次實驗中幾乎是不可能發(fā)生的”。在原假設(shè)H0下構(gòu)造一個事件（即檢驗統(tǒng)計量），這個事件在“原假設(shè)H0是正確(zhèngquè)的”的條件下是一個小概率事件，如果該事件發(fā)生了，說明“原假設(shè)H0是正確(zhèngquè)的”是錯誤的，因為不應(yīng)該出現(xiàn)的小概率事件出現(xiàn)了，應(yīng)該拒絕原假設(shè)H0。43第四十三頁，共90頁。假設(shè)檢驗有兩種方法：置信區(qū)間檢驗法（confidenceintervalapproach）和顯著性檢驗法（testofsignificanceapproach）。顯著性檢驗法中最常用的是t檢驗和F檢驗，前者是對單個變量(biànliàng)系數(shù)的顯著性檢驗，后者是對多個變量(biànliàng)系數(shù)的聯(lián)合顯著性檢驗。44第四十四頁，共90頁。（一）t檢驗下面我們(wǒmen)具體介紹對方程（2.3）的系數(shù)進行t檢驗的主要步驟。（1）用OLS方法回歸方程（2.3），得到β的估計值及其標(biāo)準(zhǔn)差。（2）假定我們(wǒmen)建立的零假設(shè)是：，備則假設(shè)是（這是一個雙側(cè)檢驗)。45第四十五頁，共90頁。則我們(wǒmen)建立的統(tǒng)計量服從自由度為T-2的t分布。（3）選擇(xuǎnzé)一個顯著性水平（通常是5%）,我們就可以在t分布中確定拒絕區(qū)域和非拒絕區(qū)域，如圖2-5。如果選擇(xuǎnzé)顯著性水平為5%，則表明有5%的分布將落在拒絕區(qū)域46第四十六頁，共90頁。圖2-5雙側(cè)檢驗(jiǎnyàn)拒絕區(qū)域和非拒絕區(qū)域分布47第四十七頁，共90頁。（4）選定顯著性水平后，我們就可以(kěyǐ)根據(jù)t分布表求得自由度為T-2的臨界值，當(dāng)檢驗統(tǒng)計值的絕對值大于臨界值時，它就落在拒絕區(qū)域，因此我們拒絕的原假設(shè)，而接受備則假設(shè)。反之則相反?？梢?kěyǐ)看到，t檢驗的基本原理是如果參數(shù)的假設(shè)值與估計值差別很大，就會導(dǎo)致小概率事件的發(fā)生，從而導(dǎo)致我們拒絕參數(shù)的假設(shè)值。48第四十八頁，共90頁。(二）置信區(qū)間法仍以方程2.3的系數(shù)β為例，置信區(qū)間法的基本思想(sīxiǎng)是建立圍繞估計值的一定的限制范圍，推斷總體參數(shù)β是否在一定的置信度下落在此區(qū)間范圍內(nèi)。

置信區(qū)間檢驗的主要(zhǔyào)步驟（所建立的零假設(shè)同t檢驗）。49第四十九頁，共90頁。（1）用OLS法回歸方程（2.3），得到β的估計值及其標(biāo)準(zhǔn)差。（2）選擇一個顯著性水平(shuǐpíng)（通常為5%），這相當(dāng)于選擇95%的置信度。查t分布表，獲得自由度為T-2的臨界值。（3）所建立的置信區(qū)間為（，）（2.41）50第五十頁，共90頁。（4）如果零假設(shè)(jiǎshè)值落在置信區(qū)間外，我們就拒絕的原假設(shè)(jiǎshè)；反之，則不能拒絕。需要注意的是，置信區(qū)間檢驗都是雙側(cè)檢驗，盡管在理論上建立單側(cè)檢驗也是可行的。51第五十一頁，共90頁。（三）t檢驗(jiǎnyàn)與置信區(qū)間檢驗(jiǎnyàn)的關(guān)系在顯著性檢驗法下，當(dāng)?shù)慕^對值小于臨界值時，即：（2.42）時，我們不能拒絕原假設(shè)。對式（2.41）變形，我們可以得到：（2.43）可以看到，式（2.43）恰好(qiàhǎo)是置信區(qū)間法的置信區(qū)間式（2.41），因此，實際上t檢驗法與置信區(qū)間法提供的結(jié)果是完全一樣的。52第五十二頁，共90頁。（四）第一類錯誤(cuòwù)和第二類錯誤(cuòwù)如果有一個零假設(shè)在5％的顯著性水平下被拒絕了，有可能這個拒絕是不正確的，這種錯誤被稱為第一類錯誤，它發(fā)生的概率為5％。另外一種情況是，我們得到95％的一個置信區(qū)間，落在這個區(qū)間的零假設(shè)我們都不能拒絕，當(dāng)我們接受一個零假設(shè)的時候(shíhou)也可能犯錯誤，因為回歸系數(shù)的真實值可能是該區(qū)間內(nèi)的另外一個值，這一錯誤被稱為第二類錯誤。在選擇顯著性水平時人們面臨抉擇：降低犯第一類錯誤的概率就會增加犯第二類錯誤的概率。53第五十三頁，共90頁。（五）P值P值是計量經(jīng)濟結(jié)果對應(yīng)的精確的顯著性水平。P值度量的是犯第一類錯誤的概率，即拒絕正確的零假設(shè)的概率。P值越大，錯誤地拒絕零假設(shè)的可能性就越大；p值越小，拒絕零假設(shè)時就越放心(fàngxīn)。現(xiàn)在許多統(tǒng)計軟件都能計算各種統(tǒng)計量的p值，如Eviews、Stata等。54第五十四頁，共90頁。第三節(jié)多變量(biànliàng)線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗一、多變量模型(móxíng)的簡單介紹考察下面這個方程：t=1,2,3….T(2.44)對y產(chǎn)生影響的解釋變量共有k-1（x2t,x3t…,xkt）個，系數(shù)（β1’β2’…..βk）分別衡量了解釋變量對因變量y的邊際影響的程度。55第五十五頁，共90頁。方程（2.44）的矩陣(jǔzhèn)形式為

這里：y是T×1矩陣(jǔzhèn)，X是T×k矩陣(jǔzhèn)，β是k×1矩陣(jǔzhèn)，u是T×1矩陣(jǔzhèn)（2.46）56第五十六頁，共90頁。在多變量回歸(huíguī)中殘差向量為：（2.47）殘差平方和為：

（2.48）57第五十七頁，共90頁?？梢?kěyǐ)得到多變量回歸系數(shù)的估計表達式

（2.49）同樣我們可以得到多變量回歸模型殘差的樣本(yàngběn)方差（2.50）參數(shù)(cānshù)的協(xié)方差矩陣（2.51）58第五十八頁，共90頁。二、擬合優(yōu)度檢驗在多變量模型中，我們想知道解釋變量一起對因變量y變動的解釋程度。我們將度量這個信息的量稱為多元判定系數(shù)R2。在多變量模型中，下面(xiàmian)這個等式也成立：TSS=ESS+RSS（2.52）其中，TSS為總離差平方和；ESS為回歸平方和；RSS為殘差平方和。59第五十九頁，共90頁。與雙變量模型類似，定義如下：即，R2是回歸平方和與總離差平方和的比值；與雙變量模型唯一不同的是，ESS值與多個解釋(jiěshì)變量有關(guān)。R2的值在0與1之間，越接近于1，說明估計的回歸直線擬合得越好。（2.53）60第六十頁，共90頁?？梢宰C明(zhèngmíng)：（2.54）因此，（2.55）61第六十一頁，共90頁。三、假設(shè)檢驗(jiǎnyàn)（一）、t檢驗(jiǎnyàn)在多元回歸模型中，t統(tǒng)計量為：……（2.56）

均服從自由度為（n-k）的t分布。下面的檢驗過程(guòchéng)跟雙變量線性回歸模型的檢驗過程(guòchéng)一樣。62第六十二頁，共90頁。（二）、F檢驗F檢驗的第一個用途是對所有的回歸系數(shù)全為0的零假設(shè)的檢驗。第二個用途是用來檢驗有關(guān)部分回歸系數(shù)的聯(lián)合檢驗，就方法(fāngfǎ)而言，兩種用途是完全沒有差別的，下面我們將以第二個用途為例，對F檢驗進行介紹。63第六十三頁，共90頁。為了解聯(lián)合檢驗是如何(rúhé)進行的，考慮如下多元回歸模型：

（2.57）這個模型稱為無約束回歸模型（unrestrictedregression），因為(yīnwèi)關(guān)于回歸系數(shù)沒有任何限制。64第六十四頁，共90頁。假設(shè)我們(wǒmen)想檢驗其中q個回歸系數(shù)是否同時為零，為此改寫公式（2.57），將所有變量分為兩組，第一組包含k-q個變量（包括常項），第二組包含q個變量：（2.58）65第六十五頁，共90頁。如果假定所有后q個系數(shù)都為零，即建立零假設(shè)：，則修正的模型(móxíng)將變?yōu)橛屑s束回歸模型(móxíng)（restrictedregression）（零系數(shù)條件）：

（2.59）66第六十六頁，共90頁。關(guān)于上述零假設(shè)的檢驗(jiǎnyàn)很簡單。若從模型中去掉這q個變量，對有約束回歸方程（2.59）進行估計的話，得到的誤差平方和肯定會比相應(yīng)的無約束回歸方程的誤差平方和大。如果零假設(shè)正確，去掉這q個變量對方程的解釋能力影響不大。當(dāng)然，零假設(shè)的檢驗(jiǎnyàn)依賴于限制條件的數(shù)目，即被設(shè)定為零的系數(shù)個數(shù)，以及無約束回歸模型的自由度。67第六十七頁，共90頁。檢驗(jiǎnyàn)的統(tǒng)計量為：

（2.60）在這里，分子是誤差平方和的增加與零假設(shè)所隱含的參數(shù)限制條件的個數(shù)之比；分母是模型的誤差平方和與無條件模型的自由度之比。如果零假設(shè)為真，式（2.60）中的統(tǒng)計量將服從(fúcóng)分子自由度為q，分母自由度為N-K的F分布。68第六十八頁，共90頁。對回歸系數(shù)的子集的F檢驗與對整個回歸方程的F檢驗做法一樣(yīyàng)。選定顯著性水平，比如1％或5％，然后將檢驗統(tǒng)計量的值與F分布的臨界值進行比較。如果統(tǒng)計量的值大于臨界值，我們拒絕零假設(shè)，認為這組變量在統(tǒng)計上是顯著的。一般的原則是，必須對兩個方程分別進行估計，以便正確地運用這種F檢驗。69第六十九頁，共90頁。F檢驗與R2有密切(mìqiè)的聯(lián)系?；叵?則，（2.61）兩個統(tǒng)計量具有相同的因變量，因此將上面的兩個方程代入（2.60），檢驗的統(tǒng)計量可以寫成：（2.62）70第七十頁，共90頁。第四節(jié)預(yù)測(yùcè)一、預(yù)測的概念和類型（一）預(yù)測的概念金融計量學(xué)中，所謂預(yù)測就是根據(jù)金融經(jīng)濟變量的過去和現(xiàn)在的發(fā)展規(guī)律，借助計量模型對其未來的發(fā)展趨勢和狀況進行(jìnxíng)描述、分析，形成科學(xué)的假設(shè)和判斷。71第七十一頁，共90頁。（二）預(yù)測原理條件期望（conditionalexpectations），在t期Y的t+1期的條件期望值記作，它表示的是在所有已知的t期的信息的條件下，Y在t+1期的期望值。假定在t期，我們要對因變量Y的下一期(yīqī)（即t+1期）值進行預(yù)測，則記作。72第七十二頁，共90頁。在t期對Y的下一期的所有預(yù)測值中，Y的條件期望值是最優(yōu)的（即具有最小方差(fānɡchà)），因此，我們有：

（2.65）73第七十三頁，共90頁。（三）預(yù)測的類型：（1）無條件預(yù)測和有條件預(yù)測所謂無條件預(yù)測，是指預(yù)測模型中所有的解釋變量的值都是已知的，在此條件下所進行(jìnxíng)的預(yù)測。所謂有條件預(yù)測，是指預(yù)測模型中某些解釋變量的值是未知的，因此想要對被解釋變量進行(jìnxíng)預(yù)測，必須首先預(yù)測解釋變量的值。74第七十四頁，共90頁。（2）樣本(yàngběn)內(nèi)（in-sample）預(yù)測和樣本(yàngběn)外（out-of-sample）預(yù)測所謂樣本(yàngběn)內(nèi)預(yù)測是指用全部觀測值來估計模型，然后用估計得到的模型對其中的一部分觀測值進行預(yù)測。樣本(yàngběn)外預(yù)測是指將全部觀測值分為兩部分，一部分用來估計模型，然后用估計得到的模型對另一部分數(shù)據(jù)進行預(yù)測。75第七十五頁，共90頁。（3）事前預(yù)測(yùcè)和事后模擬顧名思義，事后模擬就是我們已經(jīng)獲得要預(yù)測(yùcè)的值的實際值，進行預(yù)測(yùcè)是為了評價預(yù)測(yùcè)模型的好壞。事前預(yù)測(yùcè)是我們在不知道因變量真實值的情況下對其的預(yù)測(yùcè)。76第七十六頁，共90頁。（4）一步向前（one-step-ahead）預(yù)測和多步向前（multi-step-ahead）預(yù)測所謂一步向前預(yù)測，是指僅對下一期(yīqī)的變量值進行預(yù)測，例如在t期對t+1期的值進行預(yù)測，在t+1期對t+2期的值進行的預(yù)測等。多步向前預(yù)測則不僅是對下一期(yīqī)的值進行預(yù)測，也對更下期值進行預(yù)測，例如在t期對t+1期、t+2期、…t+r期的值進行預(yù)測。77第七十七頁，共90頁。二、預(yù)測的評價標(biāo)準(zhǔn)１、平均預(yù)測誤差平方和（meansquarederror，簡記(jiǎnjì)MSE）平均預(yù)測誤差絕對值（meanabsoluteerror,簡記(jiǎnjì)MAE）。變量的MSE定義為：MSE=（2.66）其中―的預(yù)測值，―實際值，T―時段數(shù)78第七十八頁，共90頁。變量的MAE定義如下：MAE=，變量的定義同前（2.67）可以看到，MSE和MAE度量的是誤差(wùchā)的絕對大小，只能通過與該變量平均值的比較來判斷誤差(wùchā)的大小，誤差(wùchā)越大，說明模型的預(yù)測效果越不理想。79第七十九頁，共90頁。2、Theil不相等系數(shù)其定義為：（2.68）注意，U的分子就是MSE的平方根，而分母使得U總在0與1之間。如果U=0，則對所有的t，完全擬合；如果U=1，則模型的預(yù)測(yùcè)能力最差。因此，Theil不等系數(shù)度量的是誤差的相對大小。80第八十頁，共90頁。Theil不等系數(shù)可以(kěyǐ)分解成如下有用的形式：其中分別是序列和的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，是它們的相關(guān)系數(shù)，即：

（2.69）

81第八十一頁，共90頁。定義不相等比例(bǐ