第七講多元回歸模型的延伸

多元線性回歸模型的延伸1、過(guò)原點(diǎn)回歸2、尺度與測(cè)量單位3、回歸模型的函數(shù)形式4、彈性測(cè)度：對(duì)數(shù)線性模型5、半對(duì)數(shù)模型6、倒數(shù)模型7、函數(shù)形式一覽表8、隨機(jī)誤差項(xiàng)的性質(zhì)注記1、過(guò)原點(diǎn)回歸

在雙變量模型中不出現(xiàn)截距或者為零.其形式為:

模型的特點(diǎn):

（1）對(duì)有截距項(xiàng)的模型說(shuō)總有,但對(duì)過(guò)原點(diǎn)回歸不一定成立。（2）過(guò)原點(diǎn)回歸的判定系數(shù)不一定非負(fù)。例題：證券組合的溢價(jià)問(wèn)題

采用模型為：=第i種證券的期望回報(bào)率=市場(chǎng)組合證券的期望回報(bào)率=無(wú)風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)率=Beta系數(shù)，指不能通過(guò)分散而消除的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。在應(yīng)用中通常表示為：

如果資本市場(chǎng)有效運(yùn)行，則CAPM要求：證券I的期望風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)等于期望市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)乘以該證券的系數(shù)。模型（1.1)的系數(shù)估計(jì)先把(1.1)寫成：利用OLS法，得到的如下公式：其中估計(jì)為：與含有截距項(xiàng)模型公式的比較

后者是：其差異：1.沒截距項(xiàng)的，用粗或原生平方和及交叉乘積和，有截距項(xiàng)的用偏離均值平方和及交叉和。2.計(jì)算時(shí)，前者自由度是(n-1),而后者是(n-2)。過(guò)原點(diǎn)回歸模型的不含有截距項(xiàng)的計(jì)算：注意：1.計(jì)算時(shí)數(shù)據(jù)不經(jīng)過(guò)校正；2.滿足關(guān)系，但不同于；3.應(yīng)用時(shí)采用有截距項(xiàng)為好，否則會(huì)犯設(shè)定的錯(cuò)誤。組合證券理論的特征線給出有截距和無(wú)截距項(xiàng)的模擬例子，模型為：模擬結(jié)果為：結(jié)果的差異：1.過(guò)原點(diǎn)回歸模型中估計(jì)出來(lái)的的標(biāo)準(zhǔn)差略低，說(shuō)明若截距響確實(shí)為0,測(cè)算的斜率系數(shù)為準(zhǔn)確一些2.過(guò)原點(diǎn)無(wú)截距回歸的斜率系數(shù)95%置信區(qū)間是(0.6566,1.5232)，而有截距的置信區(qū)間是(0.5195,1.6186)。即前者比后者狹窄些。3.注意：(1.12)的和(1.13)的是不能直接比較的。

2、尺度與測(cè)量單位選擇不同的計(jì)量單位對(duì)回歸結(jié)果有何影響？設(shè)模型為：使用變量、的回歸：由最小二乘理論得：接上面的公式把OLS法應(yīng)用于(2.4)得：它們之間的關(guān)系利用前面的定義可得：例題從前面的6個(gè)關(guān)系知，這種變換并不影響OLS估計(jì)量的性質(zhì)。1.GPDI和GNP都以10億美元計(jì)算得：

2.GPDI和GNP都以百萬(wàn)美元計(jì)算得：

續(xù)前GPDI以10億美元而GNP以百萬(wàn)美元計(jì)得：GDPI以百萬(wàn)美元而GNP以10億美元計(jì)得：“坐立不安”讓人苗條

科學(xué)家最近發(fā)現(xiàn)了保持苗條身材的奧妙。如果一個(gè)人平時(shí)閑不住，小動(dòng)作很多，日常消耗的熱量就多，就能保持較瘦的身材。美國(guó)梅歐醫(yī)院的研究人員請(qǐng)來(lái)20位志愿者，進(jìn)行為期一年的研究。志愿者分成兩組，一組較瘦，另一組輕度肥胖。所有志愿者都穿上一種帶有傳感器的特制內(nèi)衣，內(nèi)衣里的裝置每隔半秒鐘記錄一次人體的姿態(tài)與活動(dòng)。志愿者照常進(jìn)行他們的日常工作和生活，所有食物有研究人員提供。

研究人員發(fā)現(xiàn)，輕度肥胖者更喜歡坐著，而身材苗條的一組則閑不住。瘦人組平均每天“坐立不安”的時(shí)間比胖人組多出兩個(gè)多小時(shí)，相當(dāng)于多消耗350卡熱。如果胖人組也這么不“消停”的話，一年下來(lái)完全可以減輕14-18磅的體重。

此外研究人員還發(fā)現(xiàn)，一個(gè)人喜動(dòng)還是喜靜似乎是天生的，與他們的體重?zé)o關(guān)。在第二個(gè)研究階段，讓瘦人多吃1000卡熱量，胖人少吃1000卡熱量，他們的生活習(xí)慣并沒有因此變化。這項(xiàng)研究為肥胖者提供了新的希望。樂觀與悲觀的秘密著名劇作家奧斯卡.王爾德猜測(cè):樂觀主義者和悲觀主義者用不同的方式觀看這個(gè)世界。心理學(xué)家現(xiàn)在證實(shí)他的這一猜測(cè)是正確的。心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，悲觀主義者眼睛往下看，他們的大腦工作的更好；樂觀主義者眼睛向上看時(shí)，他們的大腦會(huì)轉(zhuǎn)的更快。這一發(fā)現(xiàn)表明，因痛苦而引起的典型的畏怯表情確實(shí)會(huì)對(duì)人起作用，他們也許有悲觀的思想，但是如果他們抬頭向上看的話，就不會(huì)那么悲觀的思考問(wèn)題了；而人老是低著頭的話，就會(huì)更加悲觀的進(jìn)行思考。領(lǐng)導(dǎo)這一研究的北達(dá)科他州大學(xué)心理學(xué)家布賴恩.邁耶說(shuō)，更重要的是，這一研究提出了診斷和治療這種憂郁情緒的新方法。憂郁是最普遍而又令人最容易衰弱的心理疾病之一，5個(gè)人中就有一個(gè)人的生活受到這種情緒的影響。在研究中，研究人員對(duì)志愿者進(jìn)行了測(cè)試，結(jié)果暗示了這種關(guān)系的來(lái)源。邁耶說(shuō)：“這一研究認(rèn)為，只需勸說(shuō)這樣的人改變一下習(xí)慣，將目光稍稍抬高一點(diǎn)，就會(huì)大大減輕憂郁情緒?！?、回歸模型的函數(shù)形式對(duì)數(shù)線性模型半對(duì)數(shù)線性模型倒數(shù)模型4、彈性測(cè)度：對(duì)數(shù)線性模型指數(shù)回歸模型：取對(duì)數(shù)變換得：改寫成雙對(duì)數(shù)模型：對(duì)數(shù)-對(duì)數(shù)模型，或雙對(duì)數(shù)模型，對(duì)數(shù)—線性模型設(shè)、得如下模型：

利用OLS，估計(jì)量和將分別是和的最優(yōu)線無(wú)偏估計(jì)量。雙對(duì)數(shù)模型的特點(diǎn)：1.是斜率系數(shù)測(cè)度了Y對(duì)X的彈性2.Y與X之間的彈性系數(shù)在整個(gè)范圍內(nèi)保持不變；3.和分別是和的無(wú)偏估計(jì)量，但進(jìn)入原始模型的估計(jì)的反對(duì)數(shù)卻是一個(gè)有偏的估計(jì)量。例題，某問(wèn)題采用雙對(duì)數(shù)型模型擬合結(jié)果如下:變量Y對(duì)變量X的彈性E定義為:5、半對(duì)數(shù)模型線性到對(duì)數(shù)模型1.復(fù)利公式:2.對(duì)(5.1)取對(duì)數(shù)得:3.假設(shè)4.把(5.2)改寫為:5.在(5.3)加干擾項(xiàng)得:6.象(5.4)形式的模型叫半對(duì)數(shù)模型。因變量取對(duì)數(shù)的模型叫做線性到對(duì)數(shù)模型半對(duì)數(shù)回歸模型中，斜率系數(shù)（回歸系數(shù)）度量了當(dāng)給定自變量取值的絕對(duì)變化量時(shí)，因變量Y的恒定比例或相對(duì)變化量用半對(duì)數(shù)模型模擬結(jié)果如下：回歸模型說(shuō)明：1972～1991年期間美國(guó)實(shí)際GDP每年增長(zhǎng)2.469%。取8.0139的反對(duì)數(shù)得到1972年初始值估計(jì)值為30227億美元。要計(jì)算復(fù)合增長(zhǎng)率，只需要對(duì)0.02469查反對(duì)數(shù)，再減去1,則得到0.02499,即1972～1991年的復(fù)合增長(zhǎng)率約為每年2.499%。這一增長(zhǎng)率略高于2.469%的瞬時(shí)增長(zhǎng)率。圖6-41972～1991年美國(guó)實(shí)際GDP的增長(zhǎng)率：半對(duì)數(shù)模型線性趨勢(shì)模型模型為：注：不做對(duì)數(shù)Y對(duì)時(shí)間的回歸，而是做Y對(duì)時(shí)間的回歸。利用某數(shù)據(jù)模擬回歸結(jié)果如下：比較可知，增長(zhǎng)模型4.5.5反映的是因變量隨時(shí)間變化而發(fā)生的相對(duì)變化率，線性趨勢(shì)模型則反映了因變量隨時(shí)間變化而發(fā)生的絕對(duì)變化量。對(duì)數(shù)到線性模型模型形式為：斜率系數(shù)的意義：另一表達(dá)式為：某例的數(shù)據(jù)的回歸結(jié)果如下：因變量取對(duì)數(shù)的半對(duì)數(shù)模型I與自變量取對(duì)數(shù)的半對(duì)數(shù)模型Ⅱ的區(qū)別半對(duì)數(shù)模型I反映自變量的絕對(duì)量變化一個(gè)單位時(shí)，因變量變化的百分比；半對(duì)數(shù)模型Ⅱ反映自變量變化一個(gè)百分比時(shí)，因變量的絕對(duì)變化量。6、倒數(shù)模型倒數(shù)模型形式為：模型的特點(diǎn)：隨X無(wú)限增大，Y值趨于極限（漸