第2章計(jì)算機(jī)中數(shù)的表示方法

第2章計(jì)算機(jī)中數(shù)的表示方法張晨曦劉依www.FotoSxzhang2000@163.com2.1 帶符號(hào)數(shù)的表示方法2.2 數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示2.3十進(jìn)制數(shù)串的表示2.4 數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼計(jì)算機(jī)中的數(shù)據(jù)信息分為兩大類(lèi)數(shù)值型數(shù)據(jù)：用來(lái)表示具有數(shù)量概念的信息，數(shù)的各位之間有進(jìn)位關(guān)系。非數(shù)值型數(shù)據(jù)：沒(méi)有數(shù)量的大小，各位之間沒(méi)有關(guān)聯(lián)。2.1帶符號(hào)數(shù)的表示方法機(jī)器數(shù)與真值機(jī)器數(shù)：用二進(jìn)制編碼表示的數(shù)據(jù)。真值：與機(jī)器數(shù)對(duì)應(yīng)的實(shí)際數(shù)據(jù)。機(jī)器數(shù)包括兩種無(wú)符號(hào)數(shù)：沒(méi)有符號(hào)的整數(shù)，即正整數(shù)。例如10010110表示：96H（十進(jìn)制數(shù)150）字長(zhǎng)為n位的無(wú)符號(hào)數(shù)的表示范圍：0～2n-1帶符號(hào)的數(shù)2.1帶符號(hào)數(shù)的表示方法2.1帶符號(hào)數(shù)的表示方法符號(hào)“＋”和“－”的表示“0”：正號(hào)“＋”“1”：負(fù)號(hào)“－”用機(jī)器數(shù)的最高位表示符號(hào)位帶符號(hào)的機(jī)器數(shù)表示方法：原碼、補(bǔ)碼和反碼2.1帶符號(hào)數(shù)的表示方法原碼的定義

設(shè)X：二進(jìn)制數(shù)，數(shù)值部分的位數(shù)為n。當(dāng)X＝±0.X1X2…Xn

（純小數(shù)）當(dāng)X＝±X1X2…Xn

（純整數(shù)）2.1.1原碼表示法2.1帶符號(hào)數(shù)的表示方法例2.1

已知n＝4，求X的原碼[X]原。解：

①

X＝＋0.1101[X]原＝0.1101

②

X＝－0.1101[X]原＝1－X＝1.1101

③

X＝＋1101[X]原＝01101

④X＝－1101[X]原＝24－X＝10000＋1101＝11101原碼的特點(diǎn)原碼表示直觀(guān)、易懂，與真值的轉(zhuǎn)換容易。真值0有兩種不同的表示形式

[＋0]原＝000…0[－0]原＝100…0用原碼實(shí)現(xiàn)乘、除運(yùn)算的規(guī)則很簡(jiǎn)單，但實(shí)現(xiàn)加減運(yùn)算比較復(fù)雜。2.1帶符號(hào)數(shù)的表示方法模和同余模：指一個(gè)計(jì)量器的容量，可用M表示。例如：大家所熟悉的鐘表，是以12為計(jì)數(shù)循環(huán)的，模M＝12

一個(gè)4位的二進(jìn)制計(jì)數(shù)器，計(jì)數(shù)范圍為0～15，模＝

16同余：指兩整數(shù)A和B除以同一正整數(shù)M，所得余數(shù)相同。這時(shí)稱(chēng)A和B對(duì)M同余，即A和B在以M為模時(shí)是相等的，可寫(xiě)成：

A＝B（modM）或

A＝B＋kM(k為整數(shù))2.1.2補(bǔ)碼表示法2.1帶符號(hào)數(shù)的表示方法

例如鐘表：模M＝12，故3點(diǎn)和15點(diǎn)、5點(diǎn)和17點(diǎn)是同余的，它們可以寫(xiě)作：

3＝15（mod12），5＝17（mod12）

3＝3＋12（mod12），5＝17－12（mod12）將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化成加法運(yùn)算假設(shè)當(dāng)前時(shí)針停在7點(diǎn)，現(xiàn)在要將時(shí)針調(diào)到5點(diǎn)，可以有兩種方法實(shí)現(xiàn)：（1）將時(shí)針倒撥2格（2小時(shí)）：7－2＝5

做減法（2）將時(shí)針正撥10格（10小時(shí)）：7＋10＝17＝5（mod12）

做加法從上可得：7－2＝7＋10（mod12）

－2與10對(duì)模12互補(bǔ)，也可以說(shuō)－2的補(bǔ)碼是10（以12為模）。2.1帶符號(hào)數(shù)的表示方法

例：9－5＝9＋（－5）＝9＋（12－5）＝9＋7＝4（mod12）

7為－5的補(bǔ)碼例：65－25＝65＋（－25）＝65＋（100－25）＝65＋75＝40（mod100）

75為－25的補(bǔ)碼補(bǔ)碼的定義設(shè)X：二進(jìn)制數(shù)，數(shù)值部分的位數(shù)為n。當(dāng)X＝±0.X1X2…Xn

（純小數(shù)）2.1帶符號(hào)數(shù)的表示方法當(dāng)X＝±X1X2…Xn

（純整數(shù)）例2.2已知n＝4，求X的補(bǔ)碼[X]補(bǔ)。解：①X＝＋0.1101[X]補(bǔ)＝0.1101②X＝－0.1101[X]補(bǔ)＝2＋X＝1.0011③X＝＋1101[X]補(bǔ)＝01101④X＝－1101[X]補(bǔ)＝25＋X＝100000－1101＝10011補(bǔ)碼的特點(diǎn)由真值求補(bǔ)碼符號(hào)位：“0”表示正號(hào)“＋”，“1”表示負(fù)號(hào)“－”。數(shù)值部分正數(shù)：數(shù)值部分與真值形式相同負(fù)數(shù)：將真值的數(shù)值部分按位將“1”變?yōu)椤?”，“0”變?yōu)椤?”（按位變反），且在最低位加1。例如：

2.1帶符號(hào)數(shù)的表示方法真值0的表示形式是唯一的

[＋0]補(bǔ)＝[－0]補(bǔ)＝000…00補(bǔ)碼的加減運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單符號(hào)位與數(shù)值位部分一樣參加運(yùn)算。運(yùn)算后如有進(jìn)位產(chǎn)生，則把這個(gè)進(jìn)位舍去不要，相當(dāng)于舍去一個(gè)模。

[X＋Y]補(bǔ)＝[X]補(bǔ)＋[Y]補(bǔ)

[X—Y]補(bǔ)＝[X]補(bǔ)＋[—Y]補(bǔ)已知[Y]補(bǔ)，求[—Y]補(bǔ)。將[Y]補(bǔ)按位變反，且在最低位加1。2.1帶符號(hào)數(shù)的表示方法

例2.3已知①Y＝＋0.1101；②Y＝－0.1101；③Y＝＋1101；④Y＝－1101。n＝4；求[—Y]補(bǔ)。解：①[Y]補(bǔ)＝0.1101[—Y]補(bǔ)＝1.0011②[Y]補(bǔ)＝1.0011[—Y]補(bǔ)＝0.1101③[Y]補(bǔ)＝01101[—Y]補(bǔ)＝10011④[Y]補(bǔ)＝10011[—Y]補(bǔ)＝011002.1帶符號(hào)數(shù)的表示方法反碼的定義

設(shè)X：二進(jìn)制數(shù)，數(shù)值部分的位數(shù)為n。當(dāng)X＝±0.X1X2…Xn

（純小數(shù)）當(dāng)X＝±X1X2…Xn

（純整數(shù)）2.1.3反碼表示法2.1帶符號(hào)數(shù)的表示方法

例2.4已知①X＝＋0.1101；②X＝－0.1101；③X＝＋1101；④X＝－1101。n＝4；求X的反碼[X]反。解：①[X]反＝0.1101②[X]反＝2－2-4＋X＝1.0010③[X]反＝01101④[X]反＝25－1＋X＝100000－1－1101＝10010

2.1帶符號(hào)數(shù)的表示方法反碼的特點(diǎn)由真值求反碼符號(hào)位：“0”表示正號(hào)“＋”，“1”表示負(fù)號(hào)“－”。數(shù)值部分正數(shù)：數(shù)值部分與真值形式相同負(fù)數(shù)：將真值的數(shù)值部分按位變反真值0有兩種不同的表示形式

[＋0]反＝000…0[－0]反＝111…1反碼的加減運(yùn)算比補(bǔ)碼的復(fù)雜8位二進(jìn)制整數(shù)的無(wú)符號(hào)數(shù)、原碼、補(bǔ)碼、反碼表示的真值

2.1帶符號(hào)數(shù)的表示方法二進(jìn)制表示無(wú)符號(hào)數(shù)原碼補(bǔ)碼反碼000000000＋0＋0＋0000000011＋1＋1＋1……………01111111127＋127＋127＋12710000000128－0－128－12710000001129－1－127－126……………11111110254－126－2－111111111255－127－1－02.1帶符號(hào)數(shù)的表示方法移碼的定義（只討論純整數(shù)移碼）設(shè)X：n位的二進(jìn)制數(shù)真值為＋X1X2…Xn或－X1X2…Xn純整數(shù)移碼的定義：[X]移＝2n＋X－2n≤X＜2n

移碼就是在真值的基礎(chǔ)上加一常數(shù)（2n）這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為偏移值相當(dāng)于X在數(shù)軸上向正方向偏移了若干單位

2.1.4移碼表示法2.1帶符號(hào)數(shù)的表示方法

例2.5已知①X＝＋1101；②X＝－1101；n＝4；求X的移碼[X]移。解：①[X]移＝24＋X＝10000＋1101＝11101②[X]移＝24＋X＝10000－1101＝00011移碼和真值的映射

移碼的特點(diǎn)移碼與補(bǔ)碼的關(guān)系移碼與補(bǔ)碼數(shù)值部分相同，符號(hào)位相反。即只需將[X]補(bǔ)的符號(hào)位變反，就得到[X]移。

當(dāng)0≤X＜2n時(shí)，[X]移＝[X]補(bǔ)＋2n

當(dāng)－2n≤X＜0時(shí)，[X]移＝[X]補(bǔ)－2n

例：①X＝＋1101；[X]補(bǔ)＝01101；[X]移＝11101②X＝－1101；[X]補(bǔ)＝10011；[X]移＝00011

移碼表示法中，數(shù)的最高位（符號(hào)位）：如果為“0”，表示該數(shù)為負(fù)數(shù)；如果為“1”，表示該數(shù)為正數(shù)。采用移碼的目的：為了能夠從機(jī)器數(shù)的形式上直接判斷兩數(shù)真值的大小。小數(shù)點(diǎn)的位置是固定不變的定點(diǎn)小數(shù)（純小數(shù)）：把小數(shù)點(diǎn)固定在數(shù)值部分的最高位之前。定點(diǎn)整數(shù)（純整數(shù)）：把小數(shù)點(diǎn)固定在數(shù)值部分的最低位之后。2.2數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示2.2.1數(shù)的定點(diǎn)表示▲2.2數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示數(shù)值部分為n位的機(jī)器數(shù)的表示范圍（不包含符號(hào)位）定點(diǎn)小數(shù)原碼：－（1－2-n）～（1－2-n）定點(diǎn)小數(shù)補(bǔ)碼：－1～（1－2-n）定點(diǎn)整數(shù)原碼：－（2n－1）～（2n－1）定點(diǎn)整數(shù)補(bǔ)碼：－2n～（2n－1）2.2數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示小數(shù)點(diǎn)的位置不固定，視需要而浮動(dòng)。浮點(diǎn)數(shù)的一般表示形式

X＝M×2E其中：E：階碼，用定點(diǎn)整數(shù)表示。階碼的值決定了數(shù)中小數(shù)點(diǎn)的實(shí)際位置。M：尾數(shù)或有效值，用定點(diǎn)小數(shù)表示。階碼和尾數(shù)可以采用原碼、補(bǔ)碼、反碼中任意一種編碼方法來(lái)表示，但階碼通常采用移碼。2.2.2數(shù)的浮點(diǎn)表示2.2數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示例如：

X＝＋0.01100101×2-101

階碼：－101；尾數(shù)＋0.01100101Y＝－0.11010011×2+110

階碼：＋110；尾數(shù)－0.11010011用4部分來(lái)表示一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)

2.2數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)用浮點(diǎn)表示法表示一個(gè)數(shù)時(shí)，表示形式不唯一。例如X＝＋0.01100101×2-101X＝＋0.11001010×2-110X＝＋0.001100101×2-100規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)當(dāng)浮點(diǎn)數(shù)的基數(shù)為2時(shí)，如果其尾數(shù)M滿(mǎn)足：則該浮點(diǎn)數(shù)為規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)。否則稱(chēng)其為非規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)。2.2數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示

例2.6分別將十進(jìn)制數(shù)－54、轉(zhuǎn)換成規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)表示。階碼用移碼，尾數(shù)用補(bǔ)碼。其浮點(diǎn)數(shù)格式如下所示：

其中Mf為數(shù)符，Ef為階符。解：（－54）10＝（－110110）2＝－0.1101100000×2110

（）10＝（+0.0001101000）2＝+0.1101000000×2-112.2數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍設(shè)浮點(diǎn)數(shù)的階碼為m位，尾數(shù)為n位，數(shù)符和階符各一位，則浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍：

浮點(diǎn)數(shù)所能表示數(shù)的范圍處于最大正數(shù)到最小正數(shù)、最大負(fù)數(shù)到最小負(fù)數(shù)之間。

階碼采用移碼，尾數(shù)采用補(bǔ)碼，浮點(diǎn)表示所對(duì)應(yīng)的最大正數(shù)、最小正數(shù)、最大負(fù)數(shù)、最小負(fù)數(shù)典型數(shù)據(jù)浮點(diǎn)形式數(shù)符

階符

階碼

尾數(shù)真值非規(guī)格化最小正數(shù)0000…000…01規(guī)格化最小正數(shù)0000…010…00最大正數(shù)0111…111…11非規(guī)格化最大負(fù)數(shù)1000…011…11規(guī)格化最大負(fù)數(shù)1000…001…11最小負(fù)數(shù)1011…100…002.2數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示如果一個(gè)數(shù)超出了數(shù)的表示范圍，則稱(chēng)為溢出。若該數(shù)處于最小正數(shù)和最大負(fù)數(shù)之間，稱(chēng)為下溢。若該數(shù)大于最大正數(shù)或小于最小負(fù)數(shù)，稱(chēng)為上溢。尾數(shù)的位數(shù)決定了數(shù)據(jù)表示的精度，增加其位數(shù)可以增加有效數(shù)字的位數(shù)；而階碼的位數(shù)決定了數(shù)據(jù)表示的范圍。

IEEE754標(biāo)準(zhǔn)每個(gè)浮點(diǎn)數(shù)由3部分組成數(shù)符S

階碼E

尾數(shù)M

兩種基本浮點(diǎn)格式單精度浮點(diǎn)格式雙精度浮點(diǎn)格式兩種擴(kuò)展浮點(diǎn)格式擴(kuò)展單精度浮點(diǎn)格式擴(kuò)展雙精度浮點(diǎn)格式基本格式

數(shù)符位數(shù)

階碼位數(shù)（含1位符號(hào)位）

尾數(shù)位數(shù)

總位數(shù)單精度浮點(diǎn)數(shù)182332雙精度浮點(diǎn)數(shù)1115264擴(kuò)展單精度浮點(diǎn)數(shù)1≥1131≥43擴(kuò)展雙精度浮點(diǎn)數(shù)1≥15≥63≥79

IEEE754標(biāo)準(zhǔn)浮點(diǎn)數(shù)基本格式

2.2數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示以單精度浮點(diǎn)數(shù)格式為例數(shù)符S：0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)。階碼E：由1位符號(hào)位和7位數(shù)值組成。

采用偏移值為127的移碼，即:階碼=127+數(shù)值規(guī)定階碼的取值范圍為：1～254階碼值0和255用于表示特殊數(shù)值尾數(shù)M：23位，采用原碼，規(guī)格化表示。由于對(duì)于規(guī)格化數(shù)原碼來(lái)說(shuō)，其尾數(shù)的最左邊一位必定為1(特殊值和非規(guī)格化數(shù)除外)，所以可以把這個(gè)1丟掉，而把其后的23位放入尾數(shù)字段中。IEEE754中的23位尾數(shù)實(shí)際上是表示了24位的有效數(shù)字。2.2數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示IEEE754單精度浮點(diǎn)數(shù)的特征參數(shù)

特征參數(shù)特征值特征參數(shù)特征值符號(hào)位數(shù)1尾數(shù)位數(shù)23階碼位數(shù)8尾數(shù)個(gè)數(shù)223階碼偏移值127最大規(guī)格化數(shù)2128階碼取值范圍（移碼）1～254最小規(guī)格化數(shù)2-126階碼取值范圍（真值）-126～127可表示十進(jìn)制數(shù)范圍10-38～1038階碼個(gè)數(shù)254最小非規(guī)格化數(shù)2-149≈10-452.2數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示+19.5的單精度浮點(diǎn)數(shù)格式（二進(jìn)制表示為10011.1或1.00111×24）0、±∞

和NaN（非數(shù)）幾個(gè)特別值的表示數(shù)值符號(hào)尾數(shù)階碼+19.500011100000000000000000010000011000000000000000000000000000000000±∞0或10000000000000000000000011111111NaN0或1非0的任意值11111111非規(guī)格化數(shù)0或1非0的任意值00000000字符串形式把一個(gè)十進(jìn)制數(shù)看作一個(gè)字符串，每一個(gè)字符用一個(gè)字節(jié)表示，采用ASCⅡ碼。兩種表示形式前分隔數(shù)字串符號(hào)位占用單獨(dú)一個(gè)字節(jié)，且位于數(shù)字位之前。正號(hào)“＋”：2BH負(fù)號(hào)“－”：2DH2.3十進(jìn)制數(shù)串的表示2.3十進(jìn)制數(shù)串的表示

例如：＋147

－2356后嵌入數(shù)字串符號(hào)位不單獨(dú)占用一個(gè)字節(jié)，而是與最低數(shù)位一起編碼。若符號(hào)為“＋”，則最低數(shù)位0～9的編碼不變，仍然為其ASCⅡ碼；若符號(hào)為“－”，則最低數(shù)位0～9的編碼為40H加上其ASCⅡ碼，變?yōu)?0H～79H。2.3十進(jìn)制數(shù)串的表示

例如：＋147

－2356壓縮十進(jìn)制數(shù)串用一個(gè)字節(jié)表示兩位十進(jìn)制數(shù)，每一位十進(jìn)制用BCD碼表示，符號(hào)當(dāng)作數(shù)位一樣看待，放在最低數(shù)值位之后。正號(hào)“＋”用1100表示，負(fù)號(hào)“－”用1101表示。2.3十進(jìn)制數(shù)串的表示要求數(shù)的總位數(shù)（包含一位符號(hào)）必須為偶數(shù)，否則在最高位之前補(bǔ)一個(gè)“0”。

例如：＋147

－2356數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼：指那些能夠發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤或自動(dòng)糾正錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)編碼，又叫“檢錯(cuò)糾錯(cuò)編碼”。實(shí)現(xiàn)原理在正常編碼的基礎(chǔ)上，按某種規(guī)則增加一些校驗(yàn)位來(lái)形成校驗(yàn)碼，因此形成的校驗(yàn)碼會(huì)滿(mǎn)足一定的規(guī)律。如果檢測(cè)到某一編碼不滿(mǎn)足這個(gè)規(guī)律了，那它肯定出錯(cuò)了。常用的數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼奇偶校驗(yàn)碼、海明校驗(yàn)碼、循環(huán)冗余校驗(yàn)碼2.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼2.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼奇偶校驗(yàn)碼的編碼方法在n位有效信息位的最前面或最后面增加一位二進(jìn)制校驗(yàn)位P，形成n＋1位的奇偶校驗(yàn)碼。如果n＋1位的奇偶校驗(yàn)碼中“1”的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則稱(chēng)為奇校驗(yàn)。如果“1”的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則稱(chēng)為偶檢驗(yàn)。例如：①8位二進(jìn)制信息00101011

奇校驗(yàn)碼：001010111

偶校驗(yàn)碼：001010110②8位二進(jìn)制信息00101010

奇校驗(yàn)碼：001010100

偶校驗(yàn)碼：0010101012.4.1奇偶校驗(yàn)碼2.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼

設(shè)n位有效信息位：XnXn-1…X2X1

其后增加一位二進(jìn)制校驗(yàn)位：P

那么它們之間的關(guān)系為：

奇校驗(yàn)：

偶校驗(yàn)：奇偶校驗(yàn)碼的校驗(yàn)方法如果奇校驗(yàn)碼中“1”的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，或者偶校驗(yàn)碼中“1”的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則編碼出錯(cuò)了。

2.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼校驗(yàn)方程奇校驗(yàn)：

偶校驗(yàn)：如果E＝0，則編碼正確；如果E＝1，則編碼出錯(cuò)。

奇偶校驗(yàn)碼只能發(fā)現(xiàn)一位或奇數(shù)個(gè)位出錯(cuò)，不能發(fā)現(xiàn)偶數(shù)個(gè)位同時(shí)出錯(cuò)。不能糾正錯(cuò)誤。2.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼實(shí)現(xiàn)原理在n位有效信息位中增加k位校驗(yàn)位，形成一個(gè)n＋k位的編碼；把編碼中的每一位分配到k個(gè)奇偶校驗(yàn)組中；每一組只包含一位檢驗(yàn)位，組內(nèi)按照奇校驗(yàn)或偶校驗(yàn)的規(guī)則求出該組中的校驗(yàn)位。在海明校驗(yàn)碼中，有效信息位的位數(shù)n與校驗(yàn)位數(shù)k滿(mǎn)足如下關(guān)系：

2k－1≥n＋k2.4.2海明校驗(yàn)碼2.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼海明校驗(yàn)碼中有效信息位數(shù)與校驗(yàn)位數(shù)的關(guān)系n最小k值n最小k值1～45～1112～2634527～5758～119672.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼校驗(yàn)碼的編碼方法海明校驗(yàn)碼的編碼過(guò)程可分3個(gè)步驟進(jìn)行。確定有效信息位與校驗(yàn)位在編碼中的位置最終形成的n＋k位海明校驗(yàn)碼

Hn＋kHn＋k-1…H2H1各位的位號(hào)按從右到左的順序

1，2，…，n＋k

每個(gè)校驗(yàn)位Pi所在的位號(hào)：2i-1

（i＝1，2,…，k）有效信息位按原排列順序依次安排在其它位置上2.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼例如：設(shè)7位有效信息位：X7X6X5X4X3X2X1

n＝7校驗(yàn)位位數(shù)k＝4

構(gòu)成的海明校驗(yàn)碼：11位

4個(gè)校驗(yàn)位P4P3P2P1應(yīng)分別位于位號(hào)為2i-1的位置上，i＝1，2,3，4，即位號(hào)為20、21、22、23。11位海明校驗(yàn)碼的編碼排列為：位號(hào)：111098765432

1

編碼：H11H10H9H8H7H6H5H4H3H2H1X7X6X5P4X4X3X2P3X1P2

P12.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼將n＋k位海明校驗(yàn)碼中的每一位分到k個(gè)奇偶校驗(yàn)組中。分組的方法如下：將校驗(yàn)碼中的每一位的位號(hào)M寫(xiě)成k位二進(jìn)制數(shù)的形式：Mk-1Mk-2…M1M0對(duì)于編碼中的任何一位HM，依次按從右至左（即從低位到高位）的順序查看其Mk-1Mk-2…M1M0的每一位Mj(j＝0，1,…k-1)，若該位為“1”，則將HM分到第j組。上面的例子共分為4組。2.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼11位海明校驗(yàn)碼的分組結(jié)果

位號(hào)1110987654321位號(hào)對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)10111010100110000111011001010100001100100001編碼X7X6X5P4X4X3X2P3X1P2P1第0組X7X5X4X2X1P1第1組X7X6X4X3X1P2第2組X4X3X2P3第3組X7X6X5P42.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼根據(jù)分組結(jié)果，每一組按奇校驗(yàn)或偶校驗(yàn)求出校驗(yàn)位，形成海明校驗(yàn)碼。若采用奇校驗(yàn)，則每一組中“1”的個(gè)數(shù)為奇數(shù)；若采用偶校驗(yàn)，則每一組中“1”的個(gè)數(shù)為偶數(shù)。

在上面的例子中：

采用奇校驗(yàn)采用偶校驗(yàn)

2.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼例2.7在上面的例子中，若7位有效信息位為

X7X6X5X4X3X2X1＝1001101求其海明校驗(yàn)碼。解：若采用奇校驗(yàn)，則：將這些校驗(yàn)位與有效信息位一起排列，可得11位海明校驗(yàn)碼為：

100011011102.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼若采用偶校驗(yàn)，則：將這些校驗(yàn)位與有效信息位一起排列，可得11位海明校驗(yàn)碼為：

100111001012.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼檢驗(yàn)碼的校驗(yàn)方法校驗(yàn)的方法將n＋k位海明校驗(yàn)碼按編碼時(shí)采用的方法，重新再分成k個(gè)組。奇校驗(yàn)：每一組中“1”的個(gè)數(shù)應(yīng)該為奇數(shù)偶校驗(yàn)：每一組中“1”的個(gè)數(shù)應(yīng)該為偶數(shù)如果不滿(mǎn)足，則表示該校驗(yàn)碼出錯(cuò)了。具體實(shí)現(xiàn)在分成的k個(gè)組中，將每一組中所有的信息位異或起來(lái)，得到k位校驗(yàn)結(jié)果Ek-1Ek-2…E1E0。（指誤字）2.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼若奇校驗(yàn)中＝00…00

或偶校驗(yàn)中

Ek-1Ek-2…E1E0

＝00…00

則該校驗(yàn)碼正確，沒(méi)有出錯(cuò)。否則結(jié)果有錯(cuò)，這時(shí)或Ek-1Ek-2…E1E0代碼所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)就是校驗(yàn)碼中出錯(cuò)信息位的位號(hào)。糾正方法將出錯(cuò)信息位變反即可。2.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼上面例子中的11位校驗(yàn)碼進(jìn)行校驗(yàn)：

2.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼

例2.8在例2.7中，采用奇校驗(yàn)的11位海明校驗(yàn)碼應(yīng)為：10001101110。若接收到的代碼為10001101110和10001111110，分別檢驗(yàn)它們有無(wú)錯(cuò)誤？若有，判別出錯(cuò)位置。解：①若接收到的代碼為10001101110，則得到檢驗(yàn)結(jié)果為：因?yàn)椋?000

，所以收到的海明校驗(yàn)碼沒(méi)有錯(cuò)。

②若接收到的代碼為10001111110，則得到檢驗(yàn)結(jié)果為：

因?yàn)椋?101，不為全“0”，表示收到的校驗(yàn)碼有錯(cuò)。因?yàn)闉?101，指出是第5位信息出錯(cuò)，將第5位信息（即X2）變反，就得到正確的代碼。2.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼2.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼改進(jìn)上述海明校驗(yàn)碼只能發(fā)現(xiàn)一位錯(cuò)誤，并指出是哪一位錯(cuò)了。在前面講的海明校驗(yàn)碼的基礎(chǔ)上，再增加一位校驗(yàn)位，使得有效信息位的位數(shù)n與校驗(yàn)位數(shù)k滿(mǎn)足如下關(guān)系：

2k-1≥n＋k稱(chēng)為擴(kuò)展的海明校驗(yàn)碼

能發(fā)現(xiàn)并糾正一位出錯(cuò)，還能發(fā)現(xiàn)兩位出錯(cuò)，但不能指出是哪兩位。2.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼簡(jiǎn)稱(chēng)CRC碼（CyclicRedundancyCheck）

在n位有效信息位后拼接k位校驗(yàn)位構(gòu)成，通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算建立有效信息位與校驗(yàn)位之間的關(guān)系，形成一個(gè)n+k位的代碼。常被稱(chēng)為（n＋k，n）碼

2.4.3循環(huán)冗余校驗(yàn)碼循環(huán)冗余校驗(yàn)碼的格式

2.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼模2運(yùn)算以按位模2相加的四則運(yùn)算，運(yùn)算時(shí)不考慮進(jìn)位和借位。模2加減：就是按位作異或運(yùn)算，模2加與模2減的結(jié)果一樣。運(yùn)算規(guī)則為：

0±0＝00±1＝1±0＝11±1＝0

例2.9按模2加減規(guī)則，求1100＋1010；1010－0111；1010＋1010。解：1100＋1010＝01101010－0111＝11011010＋1010＝00002.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼模2乘：與一般二進(jìn)制乘法唯一不同的就是最后按模2加求部分積之和。例2.10按模2乘規(guī)則，求1010×101。解：1010×101＝1000102.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼模2除每一次都是按模2減求余數(shù)。若余數(shù)（初始為被除數(shù)）最高位為1，則商“1”；若余數(shù)最高位為0，則商“0”。當(dāng)余數(shù)的位數(shù)小于除數(shù)位數(shù)時(shí)，除法結(jié)束。例2.11按模2除規(guī)則，求10010÷101。解：10010÷101＝101余數(shù)為11CRC的編碼方法設(shè)待編碼的n位有效信息位：CnCn-1…C2C1

循環(huán)冗余校驗(yàn)碼的編碼步驟如下：

2.4數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼將n位有效信息位表示為多項(xiàng)式M（x）的形式：