第三章恒定電場

第三章恒定電場2§3-1導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場、局外電場§3-2電流密度、歐姆定律及焦?fàn)?楞次定律的微分形式§3-3恒定電場的積分形式定理§3-4媒質(zhì)分界面上的邊界條件§3-5恒定電場中基本定理的微分形式與拉普拉斯方程§3-6導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場與電介質(zhì)中靜電場的比擬§3-7接地電阻的計(jì)算

第三章恒定電場恒定電場也是由電荷引起的。與靜電場有所不同，這些電荷對(duì)觀察者來說是有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的。它們雖在空間有宏觀的運(yùn)動(dòng)，但在導(dǎo)電媒質(zhì)中的分布情況卻是不隨時(shí)間而改變的。也就是場域中各處電流密度的分布是不隨時(shí)間而改變的。3圖3-1蓄電池內(nèi)的電場導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場1.局外電場強(qiáng)度2.庫侖電場3.恒定電流場是恒定電場作用在導(dǎo)電媒質(zhì)中所引起的電荷流動(dòng)的物理過程?！?-1導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場、局外電場4.電源的電動(dòng)勢(3-1)（3-2）4其方向?yàn)樵擖c(diǎn)正自由電荷運(yùn)動(dòng)的方向，即該點(diǎn)電場強(qiáng)度矢量

的方向。(3-3)§3-2電流密度、歐姆定律及焦?fàn)柪愦味傻奈⒎中问诫娏髅芏燃皻W姆定律的微分形式

1.電流密度矢量

規(guī)定場中任一點(diǎn)電流密度矢量

的大小為：通過垂直于該點(diǎn)正自由電荷運(yùn)動(dòng)方向的微小面元的電流，與該微小面元面積之比，當(dāng)面元面積趨于零時(shí)的極限。即5Γ：媒質(zhì)的電導(dǎo)率，單位為西門子每米（S/m）圖3-2電流密度矢量

與電場強(qiáng)度矢量2.電流密度矢量

與電場強(qiáng)度

的關(guān)系式（3-4）可與電路中歐姆定律相互推出，亦稱為歐姆定律的微分形式，它給出了導(dǎo)體媒質(zhì)中任意一點(diǎn)的電流密度與電場強(qiáng)度的關(guān)系。如果已知某一截面S上各點(diǎn)的電流密度，則可從式（3-3）求得通過該S面的電流為(3-4)(3-6)6(3-7)即恒定電場中，每點(diǎn)所消耗的功率表達(dá)式，它可用于場的均勻或不均勻處。上述表達(dá)式可與焦?fàn)?楞次定律相互導(dǎo)得。焦?fàn)柪愦味傻奈⒎中问綀鲋袉挝惑w積內(nèi)所消耗的功率為7例3-1

圓柱形電容器內(nèi)導(dǎo)體的外半徑為R1，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為R2，其間電介質(zhì)并非理想的絕緣介質(zhì)，其電容率為ε，電導(dǎo)率為γ，若于內(nèi)導(dǎo)體至外導(dǎo)體間施以恒定電壓U0，求單位長度上流過介質(zhì)的電流及功率消耗。解類似于靜電場情形，設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位長度上電荷為τ，則其所激發(fā)的電場強(qiáng)度為8單位長度上所消耗的功率單位長度上的絕緣電阻

（3-10）9（3-11）§3-3恒定電場的積分形式定理1.電流連續(xù)性方程

對(duì)恒定電場而言，媒質(zhì)空間內(nèi)部任意一點(diǎn)，不存在電荷的堆積，亦不存在電荷隨時(shí)間的變化。如果在任意恒定電場中，作任意閉合曲面S，則穿出該閉合曲面S的電流密度矢量

的通量，亦即穿出閉合曲面S的電流

圖3-3穿過閉合曲面的電流密度線10

它告訴我們，在恒定電場中，流出（或流入）任一閉合曲面S的電流的代數(shù)和恒為零。這說明電流密度矢量線（

線）是連續(xù)曲線。因而式（3-12）揭示了恒定電場是無源場的特征。在恒定電流場中，由，故有（3-12）恒定電場的一個(gè)積分定理，稱為電流連續(xù)性方程11

由于

，上式在導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)等效。式（3-13）為恒定電場的另一積分定理，稱為

的環(huán)路定理，它說明恒定電場為位場。注意：由于在電源中存有局外電場，而式（3-13）中的

指庫侖電場強(qiáng)度。

在恒定電場中，電場的分布恒定，它的能量狀態(tài)亦是恒定的，因而電場強(qiáng)度

的環(huán)路積分恒為零，靜電場為位場。(3-13)2.環(huán)路定理12(3-14)(3-15)不同導(dǎo)電媒質(zhì)交界面處，恒定電場的折射定理：§3-4媒質(zhì)分界面上的邊界條件不同導(dǎo)電媒質(zhì)交界面上的邊界條件

上式說明，在不同導(dǎo)電媒質(zhì)交界面處，電流密度矢量

的法線分量連續(xù)。

在不同導(dǎo)電媒質(zhì)交界面處，恒定電場強(qiáng)度

的切線分量連續(xù)。設(shè)有媒質(zhì)電導(dǎo)率分別為的交界面，可得(3-16)1.邊界條件13

在實(shí)際問題中，經(jīng)常存在兩種媒質(zhì)的電導(dǎo)率數(shù)值相差極大的情形，這時(shí)當(dāng)電流由電導(dǎo)率大的媒質(zhì)區(qū)域流向交界面時(shí)，不管其與界面的交角如何，離開交界面進(jìn)入電導(dǎo)率小的媒質(zhì)區(qū)域的電流密度線幾乎與界面垂直，這是因?yàn)楫?dāng)之故。圖3-4電流由電導(dǎo)率大的媒質(zhì)流入電導(dǎo)率小的媒質(zhì)

2.分析14圖3-5電流由導(dǎo)體流入土壤

在電力工程中，為了保證設(shè)備及人身安全，必須設(shè)置專門的金屬接地裝置，圖(3-5)為簡單的接地棒接地裝置。若其材料為鋼，則其電導(dǎo)率約為5×106S/m，如取地的土壤電導(dǎo)率為2×10-2S/m，當(dāng)鋼中電流密度δ與交界面法線的交角α1＝89°59′時(shí)，得α2≈3′。由此可見，當(dāng)電流從電導(dǎo)率高的接地體流入電導(dǎo)率低的土壤時(shí)，土壤中的電流密度線幾乎完全垂直于接地體表面，這時(shí)可以近似認(rèn)為接地體表面為等位面。3.邊界條件的應(yīng)用15具有漏電電流的兩非理想電介質(zhì)交界面的邊界條件1.非理想介質(zhì)

幾乎所有電介質(zhì)的電導(dǎo)率都不為零，都是非理想介質(zhì)，它們?cè)陔妶龅淖饔孟拢瑑?nèi)部均將引起漏電電流（

）。

在處理非理想介質(zhì)邊界條件時(shí)，既要考慮其導(dǎo)電性，又要考慮其特有的介質(zhì)性能。

在新的情況下，不能斷定交界面處是否有自由電荷存在，因而增添一個(gè)描述靜電場交界面處的連接條件，即16交界面處才不存在自由面電荷。2.邊界條件的推導(dǎo)可見只有在下式成立的情況下（3-22）(3-21)(3-20)（3-23）17圖3-6架空輸電線的電場導(dǎo)電媒質(zhì)與理想電介質(zhì)交界面的邊界條件

在通常情況下，導(dǎo)體表面電場強(qiáng)度的法線分量En比切線分量Et大得多，因而在絕緣媒質(zhì)中，電場強(qiáng)度線仍然近似垂直于導(dǎo)體表面。因而，導(dǎo)電媒質(zhì)與理想電介質(zhì)交界面的邊界條件為：(3-24)(3-25)(3-26)18圖3-7例3-2圖例3-2

同軸電纜其內(nèi)導(dǎo)體外半徑為R1，填充有兩層非理想電介質(zhì)，介質(zhì)分界面的半徑為R2，它們的電容率分別為ε1及ε2，電導(dǎo)率分別為γ1和γ2，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為R3。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間加電壓U0，試求兩介質(zhì)中的電場強(qiáng)度及介質(zhì)分界面的自由電荷面密度。

解設(shè)同軸電纜單位長度由內(nèi)導(dǎo)體流到外導(dǎo)體的漏電流為I0，由電流的連續(xù)性可知流過單位長度上任一半徑為R（R1＜R＜R3）的圓柱面上電流均為I0，又由同軸電纜的對(duì)稱性，知同一圓柱面上各點(diǎn)電流密度矢量應(yīng)為徑向，且大小相等。19顯然，在兩非理想介質(zhì)交界面R=R2處，電流密度矢量的法線分量連續(xù)，。由

可知，電場強(qiáng)度亦為徑向，其大小分別為

式中I0尚未確定。內(nèi)外導(dǎo)體間電壓為（R2<R<R3）（R1＜R＜R2)（R2＜R＜R3)因此（R1<R<R2）20于是，可由已知的電壓U0求出I0

（R1＜R＜R2)（R2＜R＜R3)代入上式得到21上式即為微分形式的電流連續(xù)性原理。恒定電場中，

的散度處為零說明場中各點(diǎn)不存在電流密度線的源頭與溝匯。這表明恒定電場是無源場。(而靜電場div&=p是有源場）§3-5恒定電場中基本定理的微分形式與拉普拉斯方程恒定電場基本定理的微分形式對(duì)應(yīng)于電流連續(xù)性方程(3-27)(3-28)22

對(duì)應(yīng)于電場強(qiáng)度

的環(huán)路定理，可得導(dǎo)電媒質(zhì)中不存在局外電場的區(qū)域，場的旋度方程(3-30)

恒定電場的旋度處處為零，說明恒定電場不存在旋渦點(diǎn)，是一個(gè)無旋場，與靜電場一樣是位場。即為微分形式的

的環(huán)路定理。上式的等效表達(dá)式(3-31)(3-29)23當(dāng)媒質(zhì)均勻時(shí)則得

恒定電場中電位函數(shù)滿足拉普拉斯方程是極其自然的事，這是無源區(qū)域位場的必然結(jié)果。通常將無旋又無源的場稱之為調(diào)和場。調(diào)和場滿足拉普拉斯方程。而滿足拉普拉斯方程的位函數(shù)，則稱之為調(diào)和函數(shù)。恒定電場的拉普拉斯方程

綜合式（3-28）及式（3-30）和式(3-4)同樣可得不存在局外電場的區(qū)域，恒定電場的電位函數(shù)所應(yīng)滿足的拉普拉斯方程。24圖3-8例3-3圖例3-3

厚度為h=4mm的薄鋼片，其形狀、尺寸、電極位置、電極上的電位如圖3-8所示，若鋼的電導(dǎo)率為5×106S/m，R1=30mm，R2＝60mm，求電極之間的電阻。25由邊界條件時(shí)時(shí)，可確定出待定常數(shù)為直接積分得解通過電位函數(shù)滿足拉普拉斯方程來求解。若選用圓柱坐標(biāo)系，可以看出僅與坐標(biāo)有關(guān)，而與r、z坐標(biāo)無關(guān)，因此所滿足的拉普拉斯方程不含對(duì)r、z的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，簡化為26通過薄鋼片截面的電流電流密度為所以得到電位函數(shù)電場強(qiáng)度為式中為方向單位矢量。27因此電極之間的電阻最后，代入已知數(shù)據(jù)求得數(shù)字解答28(3-40)圖3-9平板電容器電介質(zhì)中的電場(3-39)(3-38)(3-34)(3-35)(3-36)(3-37)§3-6導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場與電介質(zhì)中靜電場的比擬靜電場與恒定電場的相似關(guān)系

先看一個(gè)實(shí)例：一面積為S的平板電容器，如果兩板間電壓為U，就能夠求得其中的電場強(qiáng)度

，電位函數(shù)，電位移矢量

以及極板電荷q的表達(dá)式。29圖3-10平行電極間導(dǎo)電媒質(zhì)中的電場(3-41)(3-42)(3-43)(3-44)(3-45)(3-46)(3-47)

若設(shè)想電容器的極板為良導(dǎo)體，而將上述電容器中的電介質(zhì)，換以電導(dǎo)率γ很小的導(dǎo)電媒質(zhì)，此時(shí)電流密度線可視為與板面垂直，在兩極板間仍然施以電場U，則可求得極板間恒定電場的場量

、、

與I。30表3-1靜電場與恒定電場的主要對(duì)應(yīng)關(guān)系無自由電荷分布區(qū)域中靜電場的基本關(guān)系式無局外場區(qū)域恒定電場的關(guān)系方程式積分形式

將無自由電荷分布區(qū)域的靜電場與無局外電場區(qū)域的恒定電場兩種情況下所求得的場量，以及求解場量時(shí)所運(yùn)用的關(guān)系式進(jìn)行比較，則可看出它們之間具有明顯的對(duì)應(yīng)相似關(guān)系，它們之間的對(duì)應(yīng)方程式，以及它們之間的對(duì)應(yīng)物理量。31無自由電荷分布區(qū)域中靜電場的基本關(guān)系式邊界條件微分形式無局外場區(qū)域恒定電場的關(guān)系方程式32靜電場的主要物理量恒定電場的主要物理量因而在均勻媒質(zhì)情況下，當(dāng)兩種場的邊界條件（邊界形狀及邊界賦值）完全相同時(shí)，它們的

場與場是完全相同的，而

場與

場則是彼此相似的，這是從唯一性定理所得到的結(jié)論。表3-2靜電場與恒定電場主要物理量的對(duì)應(yīng)關(guān)系33圖3-11靜電場圖（a）與恒定電場（b）類比示意靜電場與恒定電場的類比在非同一媒質(zhì)情況下，若靜電場中的電介質(zhì)與恒定電場中導(dǎo)電媒質(zhì)是分布均勻的，且有同一相應(yīng)的分布區(qū)域，此時(shí)若兩場中的導(dǎo)體邊界條件亦相同，欲使兩場中的電場強(qiáng)度

及電位函數(shù)分布完全相同，場中媒質(zhì)系數(shù)須滿足的關(guān)系，可由場的連接條件求得。34由場的連接條件，在分界面上有：

靜電場與恒定電場中，當(dāng)其導(dǎo)體的形狀、位置及賦值相同，媒質(zhì)的分布區(qū)域相同，且媒質(zhì)系數(shù)又滿足式（3-48）的條件時(shí)，兩種場中的電場強(qiáng)度及電位的分布是相同的。若上述條件中，僅導(dǎo)體的賦值彼此不同（各相應(yīng)的導(dǎo)體電位僅相差一常數(shù)），則兩種場的場強(qiáng)及電位的分布雖然彼此不完全相同，但仍然是相似的。運(yùn)用它們彼此間的相似關(guān)系，將一種場的求解方法過渡到另一種場中來，這種方法稱之為場的比擬法。（3-48）在分界面上有：欲使兩場的場強(qiáng)相等，可得35上兩式中，S為圍繞任一輸電線所作的任意閉合高斯曲面(圓柱側(cè)面)，l為兩線間任意積分路徑。圖3-12兩平行輸電線間的漏電導(dǎo)(3-50)(3-49)又兩平行輸電線間電容C=q/U，故亦有運(yùn)用比擬法求兩導(dǎo)體間的漏電導(dǎo)（或電阻）

圖3-12為兩平行輸電線。求其間漏電導(dǎo)時(shí)，可設(shè)線間電壓為U，線間單位長度的漏電流為I，其漏電導(dǎo)為36由于兩場相似，則有(3-51)(3-52)故兩平行輸電線間的漏電導(dǎo)為

式（3-51）具有普遍意義，它可用來求解導(dǎo)體的電阻以及接地體的接地電阻。另外，在場的實(shí)際測量中由于靜電場的測量比較困難，而恒定電場的測量則較為容易，因而亦常常運(yùn)用其相似性，以恒定場來模擬靜電場。37當(dāng)需要考慮絕緣介質(zhì)的漏電時(shí)，這一電容器可用等值電路表示，如圖3-13所示。從而得到單位長度上的絕緣電阻利用式（3-51）得解由于圓柱形電容器單位長度上的電容為例3-4

用靜電比擬法重新計(jì)算例3-1圓柱形電容器的絕緣電阻。圖3-13例3-4圖38§3-7接地電阻的計(jì)算1.接地

在電力設(shè)備的實(shí)際運(yùn)行中，為了設(shè)備及人身的安全和電力系統(tǒng)需要，電氣設(shè)備的接地是必不可少的。這種保護(hù)人身及設(shè)備安全的接地措施，稱之為保護(hù)接地?！敖拥亍本褪请姎庠O(shè)備和地之間的導(dǎo)體連接。如當(dāng)變壓器的絕緣損壞時(shí)，變壓器的外殼將可能具有對(duì)地的高電位，此時(shí)當(dāng)工作人員觸及變壓器外殼時(shí)，將承受這一對(duì)地高壓而發(fā)生人身傷亡事故。如果將外殼接地，則外殼與地電位相等，就不會(huì)出現(xiàn)這種危險(xiǎn)。392.接地電阻的計(jì)算(3-53)

接地裝置由連接導(dǎo)線和埋入地中的接地體（或稱接地電極）組成。在通常情況下，連接導(dǎo)體本身的電阻，連接導(dǎo)線與接地體間的接觸電阻，以及接地體本身所具有的電阻值都是非常小的，因?yàn)樗麄兌际橇紝?dǎo)體。因而接地電阻，主要是電流從接地體流入地中時(shí)，所具有的電阻值，亦即從接地體流入地中的流散電流所遇到的電阻。因此接地體的電位（無限遠(yuǎn)處電位為零）與流經(jīng)接地體而注入大地土壤的流散電流之比就稱為接地電阻。即40

考慮地面影響，各種類型接地電阻的計(jì)算，要先運(yùn)用鏡象導(dǎo)體，然后再采用靜電比擬公式進(jìn)行計(jì)算：半球接地體的接地電阻圖3-14半球接地體的接地電阻

（a）恒定電流分布圖；（b）接地體鏡象圖

圖（a）系以R0為半徑的半球接地體，利用鏡象法將地的上半部分，補(bǔ)齊得如同下半部分一樣［見圖(b）］。下半部分的電流分布并未改變。41按靜電比擬，其電阻故半球的接地電阻

這樣將問題轉(zhuǎn)化為均勻?qū)щ娒劫|(zhì)電場的求解問題。此時(shí)，導(dǎo)體球在整個(gè)空間的散流作用，較之半球在半空間的散流作用要大一倍，因而在求出整個(gè)導(dǎo)體球的電阻值后，半球接地體的電阻值即為其二倍。

孤立導(dǎo)體球的電容42

結(jié)合電容的定義，可得均勻媒質(zhì)中長為2l，直徑為d的孤立導(dǎo)體電容為(3-58)圖3-15管形接地體的接地電阻(a)管形接地體；(b)鏡象圖管形接地體接地電阻管形接地體的接地電阻圖3-15（a）系長為l，直徑d的管形接地體。利用鏡象法，將上半空間為空氣下半空間為導(dǎo)電媒質(zhì)的分區(qū)均勻媒質(zhì)的電場，轉(zhuǎn)化為如圖（b）所示的均勻媒質(zhì)電場。運(yùn)用靜電場的求解方法，可以求得此時(shí)管形電極的電位近似值按靜電比擬，其電阻43

圖3-16（a）系以R0為半徑的深埋接地球。利用鏡象法將問題轉(zhuǎn)化為圖（b）所示的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)電場，運(yùn)用靜電比擬法求其電阻時(shí)，采用近似計(jì)算，先求圖（b）所示的兩并聯(lián)導(dǎo)體球（對(duì)無限遠(yuǎn)處）的電容。給每球以電荷q，求此并聯(lián)導(dǎo)體系統(tǒng)的電位。在求電位時(shí)，近似認(rèn)為電荷均集中于每球的球心（在距離h遠(yuǎn)大于半徑R0的條件下）。圖3-16深埋接地球的接地電阻(a)深埋接地體；(b)鏡象圖深理接地球的接地電阻44(3-60)(3-62)由靜電比擬，得此并聯(lián)系統(tǒng)的接地電阻(3-61)從而得此并聯(lián)系統(tǒng)的電容

以球面A為電位計(jì)算點(diǎn)，并將此點(diǎn)電位視為整個(gè)孤立導(dǎo)體的電位，運(yùn)用點(diǎn)電荷公式作近似計(jì)算，得點(diǎn)A的電位為45

上述近似計(jì)算所得的結(jié)果，在應(yīng)用時(shí)必須視情況而定，而且只宜于作為初步估算。例如式（3-63）至少應(yīng)用于的條件下如果h的值過小，則近似計(jì)算所得的結(jié)果無參考價(jià)值。發(fā)變電站的接地為網(wǎng)形接地，通常稱為接地網(wǎng)。大型接地網(wǎng)的面積，可在104m2以上，其接地電阻值的計(jì)算，仍然可采用上述鏡象原理。亦可利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行接地網(wǎng)的接地電阻計(jì)算。當(dāng)?shù)?/p>

深埋接地體的接地電阻為上述電阻值之兩倍，故其值為(3-63)(3-64)46圖3-17跨步電壓示意

當(dāng)跨步電壓超過某一安全電壓值時(shí)，將出現(xiàn)人身傷亡事故。以半球接地體為例研究。跨步電壓當(dāng)電流從接地體流入地中時(shí)，特別在發(fā)生事故的情況下，經(jīng)接地體流入地中的電流很大，此電流將沿地面流動(dòng)而造成地面各點(diǎn)具有較高的電位，此時(shí)人若走在電極附近區(qū)域，則其兩腳將承受一地面電壓UBC(見圖3-17)，由于此電壓為人跨步時(shí)兩腳所承受之電壓，故稱為跨步電壓。47設(shè)人跨步長度為b，則x-b處的電位為圖3-18半球接地體的跨電壓示意因而跨步電壓x處的電位則為x處的電場強(qiáng)度