第一章曲線曲面的數(shù)學表示(精簡)

CAGD概述ComputerAidedGeometricDesign(CAGD)1974年，Barnhill與Riesenfeld首先提出GAGD的研究對象與核心問題研究對象：工業(yè)產(chǎn)品的幾何形狀（解析曲面、自由曲面）的數(shù)學表示核心問題：研究適合計算機表示，且滿足形狀表示與幾何設(shè)計要求，又便于形狀信息傳遞和產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的形狀數(shù)學描述方法。需要解決的問題：用于工業(yè)產(chǎn)品形狀數(shù)學描述的標準形式，曲線曲面的形狀控制，曲線曲面的光滑連接與統(tǒng)一表示1.2形狀數(shù)學描述的發(fā)展主線顯式標量函數(shù)與隱方程描述曲線曲面1963年，弗格森將曲線曲面表示為參數(shù)的矢函數(shù)1964年，孔斯（Coons）提出由封閉的4條邊界構(gòu)造曲面1971年，雷諾（Renault）公司Bezier提出由控制多邊形定義曲線曲面1972年，德布爾（deBoor)提出B樣條算法，1974年，戈登（Gordon）和里森弗爾德（Riesenfeld)將B樣條理論應用于曲線曲面的描述上世紀80年代后期，Piegl、Tiller、Farin等人將非均勻有理B樣條方法用于形狀的描述對于形狀數(shù)學描述的要求唯一性由已給有限信息決定的形狀唯一幾何不變性數(shù)學表示與形狀不隨坐標系的改變而改變易于定界統(tǒng)一性能統(tǒng)一表示各種形狀及處理各種情況，如平面與空間曲線，無窮大斜率易于實現(xiàn)光滑連接易于實現(xiàn)對形狀的控制，不僅要有整體控制的能力，且要有局部控制的能力第二章曲線曲面的基本理論CAGD的數(shù)學基礎(chǔ)－微分幾何CAGD中矢量、點與直線矢量具有長度以及方向服從相等、相加、反向、相減、數(shù)乘分為絕對矢量（點）與相對矢量（矢量與矢量間的相互關(guān)系）固定矢量與變矢量若變矢量隨某一參數(shù)或變量而變化，則稱其為該變量或參數(shù)的矢函數(shù)相對矢量相加減得相對矢量，絕對矢量加或減相對矢量得絕對矢量，絕對矢量相加減則不能判定兩點連線的數(shù)學表示兩點之間的線性插值一般形式曲線與曲面的參數(shù)表示解析幾何的參數(shù)表示微分幾何的參數(shù)矢函數(shù)表示CAGD的基表示的參數(shù)矢函數(shù)形式基函數(shù)決定了曲線的整體性質(zhì)，當基函數(shù)確定后，就決定了系數(shù)矢量是絕對矢量還是相對矢量，也就決定了所表示曲線的形狀。矢函數(shù)形式曲線方程的物理意義矢函數(shù)形式曲線方程：p=p(u)點動成線，如果將u視為時間，則p(u)可看作一質(zhì)點隨時間的變化運動的軌跡。其關(guān)于u的一階導矢與二階導矢分別就是質(zhì)點的速度矢量和加速度矢量。有可能質(zhì)點的運動軌跡即曲線相同，但速度矢量和加速度矢量不同。曲線與曲面的參數(shù)表示在微分幾何里，把曲面表示成雙參數(shù)u和v的矢函數(shù)：在CAGD里，曲面大都采用基表示的一種特殊矢函數(shù)形式：基表示的矢函數(shù)形式的優(yōu)點總是能夠獲取幾何不變性易于界定形狀的范圍易于表示空間曲線易于計算形狀上的點易于處理無窮大斜率提供對曲線、曲面形狀控制的較多的自由度曲線的表示給定一個具體的單參數(shù)的矢函數(shù)，即給定一個具體的參數(shù)曲線方程，稱之為給定了一個曲線的參數(shù)化(parametrization)，它即決定了所表示曲線的形狀，也決定了該曲線上的點與其參數(shù)域內(nèi)的點(即參數(shù)值)間的一種對應關(guān)系。當曲線取任意參數(shù)時，參數(shù)域內(nèi)線段長度之比即不等于曲線上對應線段長度之比，也不等于對應曲線段的弦長之比。僅在曲線取自身弧長的線性函數(shù)為參數(shù)時，參數(shù)域內(nèi)線段長度之比即才等于曲線上對應線段長度之比。曲線上的點與參數(shù)域上的點一一對應關(guān)系不成立的點為奇點，如自交點。曲線的導矢曲線的導矢對曲線各分量分別對參數(shù)求導GADG中曲線的導矢幾何意義為曲線的切矢，是相對矢量正則曲線曲線的弧長公式自然參數(shù)方程曲線取自身弧長為參數(shù)曲線論的基本公式、曲率與撓率（Frenet）活動標架Frenet-Serret公式（基本公式）Frenet活動標架將曲線在一點處的三個單位矢量用來作為坐標軸方向的基矢量，則在該點處構(gòu)成一個局部坐標系。當參數(shù)連續(xù)變化時，該坐標系就連續(xù)發(fā)生平移和旋轉(zhuǎn)，成為曲線上的一個活動坐標系，稱為Frenet活動標架。有了活動標架，則曲線在任一點處臨近的幾何行為或幾何性質(zhì)就可以在該點處的活動標架內(nèi)考察，該點處的任一個矢量就可表示成活動標架上三個基矢量的線性組合。三個基本矢之間的關(guān)系都是單位矢量相互垂直組成的體積為1曲率與撓率曲率k的幾何意義為曲線的單位切矢對于弧長的轉(zhuǎn)動率，因單位切矢對于弧長的一階導矢其模長等于曲率，故稱為曲率矢，與主法矢同向。撓率的絕對值等于副法線方向?qū)τ诨￠L的轉(zhuǎn)動率，其大于、等于、小于0分別表示曲線為右旋空間曲線、平面曲線和左旋空間曲線。曲線的弧長、曲率、撓率是幾何不變量，三個基矢量是幾何不變矢，與參數(shù)選取無關(guān)。曲面論公式范圍奇點曲面的參數(shù)化u線與v線u向切矢與v向切矢曲面的單位法矢曲面表示曲面方程：p=p(u,v)曲面范圍：用兩個參數(shù)的變化區(qū)間所表示的uv參數(shù)平面上的矩形區(qū)域u1≤u≤u2，v1≤u≤v2給出。奇點：一一對應關(guān)系不成立的點，以及切平面法矢為零的點曲面的參數(shù)化給定一個具體的曲面方程，稱為給定了一個曲面的參數(shù)化。它即決定了所表示曲面的形狀，也決定了該曲面上的點與參數(shù)域內(nèi)的點的對應關(guān)系。曲面的參數(shù)化不是唯一的。如果固定其中一個參數(shù)，則曲面退化為單參數(shù)的矢函數(shù)，表示曲面上的一條等參數(shù)線。曲面的參數(shù)化曲面上一點的u線與v線曲面的u向切矢與v向切矢曲面上一點的單位法矢曲面的等距面曲面上的曲線及曲率性質(zhì)曲面上的曲線切矢曲率矢法曲率曲面的曲率性質(zhì)曲面上過一點具有相同切線方向的曲線有無數(shù)條，但這些曲線的曲率矢都位于該點處的法平面內(nèi)過曲面上一點具有相同切線方向的所有曲線在該點都具有相同的法曲率（非曲率矢）曲面上一點的法曲率總是沿著某一方向的法曲率，曲面上一點有無數(shù)個方向，就有無數(shù)個法曲率，其中的最值為主曲率高斯曲率（兩主曲率的乘積，決定雙曲點、拋物點、橢圓點）與平均曲率（兩主曲率的均值）曲線曲面的幾何不變性基表示的曲線曲面的規(guī)范性劃分規(guī)范基表示部分規(guī)范基表示非規(guī)范基表示基表示中系數(shù)矢量的類型判定：凡與規(guī)范基或部分規(guī)范基表示中具有規(guī)范性的那些基函數(shù)相聯(lián)系的系數(shù)矢量為絕對矢量，否則為相對矢量。非規(guī)范基表示中的系數(shù)矢量不能判定究竟是絕對矢量還是相對矢量。曲線曲面的幾何不變性概念曲線曲面的數(shù)學表示及其所表達的形狀不依賴于坐標系規(guī)范基表示具有幾何不變性，僅需將原表示中的系數(shù)矢量作相同的坐標變換即可獲得變換后的曲線與曲面部分規(guī)范基表示具有幾何不變性，需將原表示中的絕對系數(shù)矢量作相同的坐標變換，而相對矢量僅作旋轉(zhuǎn)變換非規(guī)范基不具有幾何不變性對非規(guī)范基表示的規(guī)范化處理在非規(guī)范基表示中加入零矢量，該項的基函數(shù)取為與其它所有基函數(shù)和為1則成為規(guī)范基表示；如取為與其它部分基函數(shù)和為1則成為部分規(guī)范基表示。參數(shù)化與參數(shù)變換重新參數(shù)化將曲線從表示為參數(shù)u的矢函數(shù)變成表示為參數(shù)t的矢函數(shù)參數(shù)變換后曲線關(guān)于新老參數(shù)的一階導矢平行，二階導如何？域變換u與t間的關(guān)系為線性函數(shù)，在對老參數(shù)的k階導矢相比，方向不變，僅模長改變。曲線經(jīng)重新參數(shù)化后，其形狀不變，但對應關(guān)系發(fā)生變化（域變換除外）用不同的方程描述同一條曲線，其間差別在于曲線上的點與參數(shù)域內(nèi)的點的對應關(guān)系不同，僅在方向不變的域變換下，這種對應關(guān)系不變。曲面的重新參數(shù)化給定一正則曲面p=p(u,v)，其中(u,v)?R，令：滿足Jacobi行列式不為零的條件：則得到參數(shù)曲面：此過程稱之為曲面的重新參數(shù)化。Jacobi行列式不為零的條件保證變換后的曲面也是正則的。第三章參數(shù)多項式

插值與逼近3.1基本概念插值（interpolation）插值曲線被插曲線曲線插值法插值曲面被插曲面曲面插值法逼近（approximation）逼近曲線被逼曲線曲線逼近法逼近曲面被逼曲面曲面逼近法插值與逼近統(tǒng)稱為擬合（fitting）多項式基采用多項式函數(shù)作為基函數(shù)即為多項式基，得到的曲面為參數(shù)多項式曲線、曲面多項式基的優(yōu)點：無窮次可微，易計算函數(shù)值及各階導數(shù)值n次多項式的全體構(gòu)成n次多項式空間，其中任意一組n+1個線性無關(guān)的多項式都可作為一組基采用冪基的參數(shù)多項式曲線數(shù)據(jù)點的參數(shù)化給每個數(shù)據(jù)點賦予相應的參數(shù)值，使其形成一個嚴格遞增的序列，該序列稱為關(guān)于參數(shù)的一個分割，每個參數(shù)值稱為節(jié)點，以上過程稱為對數(shù)據(jù)點實行參數(shù)化，它規(guī)定了這些數(shù)據(jù)點與參數(shù)域相應點的對應關(guān)系同一組數(shù)據(jù)點，采用同樣的插值法，而數(shù)據(jù)點的參數(shù)化不同，將獲得不同的插值曲線數(shù)據(jù)點的參數(shù)化方法均勻參數(shù)化法積累弦長參數(shù)化法向心參數(shù)化法修正弦長參數(shù)化法規(guī)范化處理多項式插值曲線及其特點曲線方程的待定系數(shù)矢量個數(shù)等于給定的插值條件即數(shù)據(jù)點的數(shù)目冪基多項式插值曲線及插值條件拉格朗日(Lagrange)多項式插值曲線及插值條件最小二乘逼近插值條件（數(shù)據(jù)點）多于待定系數(shù)矢量插值條件矩陣形式解（法方程，Gaussian正交方程組）參數(shù)三次曲線能表示空間曲線的次數(shù)最低的多項式曲線，方程：三次埃爾米特基及其性質(zhì)參數(shù)三次曲線的幾何特征兩數(shù)據(jù)點分別是曲線段的兩端點，首末端切矢決定曲線段的形狀三次埃爾米特插值的域變換對域變換的依賴性：基與系數(shù)矢量都有變化由部分規(guī)范性需對幾何變換進行特殊處理雙線性插值曲面張量積曲面方程準線不一定位于曲面上，母線運動形成曲面的一族等參數(shù)線，同時形成了曲面曲面數(shù)據(jù)點的參數(shù)化曲面數(shù)據(jù)點的參數(shù)化是給每一數(shù)據(jù)點賦予一對參數(shù)值一般采用雙向平均規(guī)范積累弦長參數(shù)化參數(shù)（孔斯）雙三次曲面片差值于四個角點、四個角點處雙向偏導矢扭矢以及混合偏導矢參數(shù)（孔斯）雙三次曲面片弗格森雙三次曲面片定義在任意子矩形域上的參數(shù)雙參數(shù)曲面片第四章參數(shù)樣條曲線曲面函數(shù)曲線的光滑度用對其變量的可微性度量參數(shù)曲線的光滑度參數(shù)連續(xù)性與曲線的光順程度不一致幾何連續(xù)性反映曲線的光順程度不一致參數(shù)多項式組合曲線的連續(xù)性取決于各段間公共連接點處的連續(xù)性參數(shù)曲面的連續(xù)性（跨界切矢）參數(shù)連續(xù)性幾何連續(xù)性分片為雙參數(shù)多項式的張量積組合曲面，其參數(shù)連續(xù)性取決于公共邊界處的連續(xù)性C1分段三次埃爾米特插值給定數(shù)據(jù)點、切矢及參數(shù)分割，構(gòu)造一條C1分段三次多項式曲線，其分段表達式：切矢的確定方法弗密爾法（FMILL）貝塞爾法（Bessel）秋間法（Akima）優(yōu)良的局部支撐性質(zhì)采用相異的切矢模長，相同的切線方向獲得一階幾何連續(xù)性三切矢連續(xù)性方程：C2分段三次埃爾米特插值即參數(shù)三次樣條插值曲線必須滿足的連續(xù)性條件，由，得參數(shù)三次樣條曲線參數(shù)三次樣條曲線的提出彈性細梁的應變能問題的簡化假定，有邊界條件封閉曲線且整體C2連續(xù)則無需邊界條件曲線兩端點處的附加方程－邊界條件的確定方法切矢條件自由端點條件4.3.7參數(shù)三次樣條曲線的性質(zhì)唯一性由數(shù)據(jù)點、邊界條件、參數(shù)分割唯一決定收斂性插值曲線隨所取數(shù)據(jù)點增多將收斂被插曲線計算穩(wěn)定改動一點或端點處邊界條件對曲線的影響將隨與該點距離的增大而迅速衰減整體性改動一點或端點處邊界條件對整條曲線產(chǎn)生影響靈活性差由唯一性決定不易控制由整體性造成參數(shù)三次樣條曲線的光順性二階幾何連續(xù)（位置、切線方向、曲率矢）、不存在奇點與多余拐點曲率變化較小應變能變化較小撓率變化較小弗格森樣條曲面（組合）給定呈拓撲點陣，雙方向參數(shù)分割取整數(shù)序列，構(gòu)造弗格森樣條曲面步驟如下：（1）對各行列數(shù)據(jù)點構(gòu)造弗格森樣條曲線生成曲面的網(wǎng)格骨架。（2）生成定義于子矩形域上分片形式的弗格森雙三次樣條曲面弗格森樣條曲面在公共邊界處僅能達到一階連續(xù)孔斯雙三次樣條曲面將各角點混合偏導矢為非零矢量獲得二階參數(shù)連續(xù)各角點混合偏導矢需滿足的條件參數(shù)雙三次樣條曲面給定呈拓撲點陣，雙方向參數(shù)分割取任意遞增序列，分片參數(shù)雙三次曲面片貝齊爾曲線及其性質(zhì)貝齊爾曲線的數(shù)學表示控制頂點伯恩斯坦基函數(shù)伯恩斯坦基函數(shù)的性質(zhì)定義式非負性規(guī)范性端點性質(zhì)對稱性函數(shù)遞推導數(shù)遞推最大值升階公式積分貝齊爾曲線的性質(zhì)零次貝齊爾曲線為一個點一次貝齊爾曲線是連接兩頂點的直線首末端點分別是首末頂點曲線在首末端點的k階導矢僅與多邊形首末k條邊有關(guān)幾何不變與仿射不變對稱性凸包性變差減少性移動第j個控制頂點將對曲線上參數(shù)為j/n的點處影響最大貝齊爾曲線的線性運算貝齊爾曲線的計算（曲線上點、導矢、分割、升階）通過曲線的顯式表示計算德卡斯特里奧算法貝齊爾曲線的遞推定義拋物線的三切線定理n次貝齊爾曲線可定義為分別由前后n個控制頂點定義的兩n-1次貝齊爾曲線的線性組合：德卡斯特里奧遞推算法遞推公式中間控制頂點中間控制頂點的顯式定義當參數(shù)從0變化到1時，第k級遞推的每個中間頂點都各掃描出一條由原始頂點bj+i定義的k次中間貝齊爾曲線，這些中間頂點再經(jīng)n-k級遞推后就得到了由原始頂點定義的n次貝齊爾曲線。貝齊爾曲線的導矢一階導矢高階導矢由德卡斯特里奧算法求一、二階導矢貝齊爾曲線的分割求解由曲線上一點分割曲線后形成的兩曲線段貝齊爾曲線的任意分割求解介于貝齊爾曲線上任意兩點之間的曲線段，由兩個一分為二的過程實現(xiàn)貝齊爾曲線的延拓求解曲線定義域外一點所在曲線段，由對原控制多邊形各邊進行線性外插，并進行ｎ級遞推（廣義德卡斯特里奧算法）實現(xiàn)貝齊爾曲線的升階名義次數(shù)真實次數(shù)升階公式用途：無限次的升階將使控制多邊形收斂為曲線本身增加曲線的柔性構(gòu)造曲面張量積貝齊爾曲面貝齊爾曲面的顯式定義曲線沿空間的運動軌跡形成張量積曲面曲面的控制頂點，控制網(wǎng)格，次數(shù)曲面的u線為m次貝齊爾曲線，v線為n次貝齊爾曲線德卡斯特里奧遞推定義

以u參數(shù)對n+1個u向控制多邊形進行曲線的m次遞推，再對得到的n+1個頂點構(gòu)成的中間多邊形以v參數(shù)進行n次遞推，得到的點為曲面上的點貝齊爾曲面的性質(zhì)p(0,0)=b0,0，p(1,0)=bm,0，p(0,1)=b0,n，p(1,1)=bm,n曲面網(wǎng)格的最外一圈頂點定義貝齊爾曲面的四條邊界；曲面邊界的跨界切矢只與該邊界的頂點及相鄰一排頂點有關(guān)；跨界二階導矢只與該邊界的頂點及相鄰兩排頂點有關(guān)幾何不變與仿射不變凸包性質(zhì)移動頂點bi,j將對點p(i/m,j/n）影響最大偏導矢與法矢偏導矢法矢2.10B樣條曲線曲面（一）2.10.1B樣條與B樣條曲線的基本概念2.10.2B樣條曲線與貝齊爾曲線的差別2.10.3B樣條的遞推定義2.10.4B樣條的性質(zhì)2.10.5B樣條曲線的其他性質(zhì)2.10.6B樣條曲線的分類2.10.7B樣條基的遞推計算2.10.1B樣條與B樣條曲線的基本概念B樣條曲線方程控制頂點B樣條基函數(shù)節(jié)點矢量2.10.2B樣條曲線與貝齊爾曲線的差別基函數(shù)次數(shù)與控制頂點數(shù)間的關(guān)系貝齊爾曲線的基函數(shù)為多項式函數(shù)，B樣條曲線的基函數(shù)為多項式樣條貝齊爾曲線是參數(shù)多項式曲線，B樣條曲線是參數(shù)樣條曲線貝齊爾曲線缺乏局部性質(zhì)，B樣條曲線具有局部性質(zhì)2.10.3B樣條的遞推定義截尾冪函數(shù)的差商定義德布爾－考克斯遞推定義

B樣條的遞推定義B樣條的支撐區(qū)間節(jié)點矢量為各B樣條支撐區(qū)間的并集0次B樣條與一次B樣條遞推公式的意義k次B樣條是兩個k-1次B樣條的凸線性組合，其兩個系數(shù)的分母為兩k-1次B樣條支撐區(qū)間的長度，分子為其參數(shù)將其自身支撐區(qū)間劃分成的兩部分長度。2.10.4B樣條的性質(zhì)遞推性規(guī)范性局部支撐性質(zhì)可微性在節(jié)點區(qū)間內(nèi)部無限次可微，在節(jié)點處k-r次可微。B樣條曲線的局部性質(zhì)k次B樣條曲線上參數(shù)為的一點p(u)至多與k+1個控制頂點有關(guān)，與其他控制頂點無關(guān)；移動該曲線的第i個控制頂點di至多將影響到定義在第i個k次B樣條支撐區(qū)間（ui，ui+k+1）上那部分曲線的形狀，對曲線的其余部分不發(fā)生影響。B樣條曲線的定義域定義域B樣條曲線的分段表示B樣條曲線的局部性質(zhì)與定義域例給定控制頂點di(i=0,1,…,8)，求所定義Ｂ樣條曲線的有關(guān)量？(1)節(jié)點矢量(2)曲線定義域(3)曲線段數(shù)(4)定義在[u6,u7]上曲線段由哪些控制頂點定義？(5)移動頂點d3將影響哪些曲線段的形狀？d7又如何?(6)計算[u6,u7]上的三次樣條基及該段曲線將涉及哪些節(jié)點?2.10.5B樣條曲線的其他性質(zhì)可微性與參數(shù)連續(xù)性ｋ次Ｂ樣條曲線在定義域內(nèi)非零節(jié)點區(qū)間內(nèi)部無限次可微,在定義域內(nèi)節(jié)點處則是k-r次可微。比貝齊爾曲線更強的凸包性順序k+1個頂點相重時，該曲線段退化到這一重合點；順序k+1個頂點共線時，該樣條曲線段為一直線段。磨光性質(zhì)次數(shù)越高，B樣條曲線距離定義它的控制多邊形越遠，曲線越光滑。幾何不變性與仿射不變性重節(jié)點對B樣條的影響節(jié)點重復度每增加１，B樣條的支撐區(qū)間中減少一個非零節(jié)點區(qū)間，B樣條在該重節(jié)點處可微性降一次均勻B樣條基在曲線定義域內(nèi)各節(jié)點區(qū)間圖形相同內(nèi)節(jié)點均勻分布，端節(jié)點具有重復度k+1的情況為準均勻由節(jié)點矢量定義的k次B樣條基為k次伯恩斯坦基2.10.6B樣條曲線的分類0次B樣條曲線就是控制頂點點列1次B樣條曲線為控制多邊形B樣條曲線的分類均勻所有節(jié)點沿參數(shù)軸均布準均勻端節(jié)點重復度k+1，內(nèi)節(jié)點均布分段貝齊爾端節(jié)點重復度k+1，內(nèi)節(jié)點重復度kn/k為正整數(shù)一般非均勻所有節(jié)點任意分布端節(jié)點重復度不大于k+1，內(nèi)節(jié)點重復度不大于k端節(jié)點重復度應為k+1，定義域應為[0,1]均勻B樣條曲線B樣條基的圖形二次均勻B樣條曲線特點計算簡單端點幾何性質(zhì)不明準均勻B樣條曲線端節(jié)點重復度k+1，內(nèi)節(jié)點均布具有同次貝齊爾曲線的端點幾何性質(zhì)分段貝齊爾曲線所有內(nèi)節(jié)點重復度取k，首末端節(jié)點重復度取k+1由一組順序首尾相接且同為k次的貝齊爾曲線組成，曲線各段相對獨立通過插入節(jié)點可將其他類型B樣條曲線轉(zhuǎn)換為分段貝齊爾曲線n需為k的整數(shù)倍難以達到高階幾何連續(xù)非均勻B樣條曲線端節(jié)點重復度取k+1，定義域取規(guī)范參數(shù)域節(jié)點矢量的確定將分段連接點連接形成的多邊形，使用積累弦長參數(shù)化方法同時進行規(guī)范化處理將分段連接點與控制