微積分中值定理與導數(shù)的應用

微積分中值定理與導數(shù)的應用1節(jié)1第一頁，共七十頁，2022年，8月28日1節(jié)2§4.1中值定理一、羅爾中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理第二頁，共七十頁，2022年，8月28日羅爾中值定理則

①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);②

在開區(qū)間(a,b)上可導;③

f(a)=f(b).若f(x)

滿足：一、羅爾中值定理幾何意義注：1.

定理的條件：三個缺一不可.2.

定理的應用：導函數(shù)零點(根)的存在問題.1111-111例1例2Rolle,(法)1652-17193第三頁，共七十頁，2022年，8月28日例1.驗證f(x)x22x3在[-1,3]上滿足羅爾定理條件，找出滿足f

()=0的.注意到f(x)(x1)(x3),在[-1,3]上顯然連續(xù); f

(x)2x22(x1)

在(-1,3)上顯然可導； f(1)f(3)0

存在1(1,3)

使f

(1)0解

故f(x)滿足羅爾定理的條件其中a1

b3返回羅爾定理肯定了的存在性,一般沒必要知道究竟等于什么數(shù),只要知道存在即可.4第四頁，共七十頁，2022年，8月28日例2

不求導判斷函數(shù)f(x)(x1)(x2)(x3)的導數(shù)有幾個實根、及其所在范圍

解

而f

(x)是二次多項式僅有上述兩個根

f(1)f(2)f(3)0

∴

f(x)在[1,2][2,3]上滿足羅爾定理條件

∵f(x)在R上連續(xù)、可導且根據(jù)羅爾定理，有：羅爾定理是其他微分中值定理的基礎，該定理對判別方程根的存在性特別有效.5第五頁，共七十頁，2022年，8月28日所以最值不可能同時在端點取得.使有證對于有

由極限的保號性6第六頁，共七十頁，2022年，8月28日7第七頁，共七十頁，2022年，8月28日拉格朗日中值定理則

使得①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);②

在開區(qū)間(a,b)上可導.若f(x)

滿足：二、拉格朗日中值定理幾何意義注：2.拉格朗日公式的等價形式：拉格朗日公式1.拉氏定理是羅爾定理的推廣.Lagrange(法)1736-1813

8第八頁，共七十頁，2022年，8月28日分析定理的結論就轉化為函數(shù)利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù).將變?yōu)槭沟膯栴}.微分中值定理拉格朗日中值定理9第九頁，共七十頁，2022年，8月28日過街天橋上的微分中值定理北京的珠市口天橋三個公式：萬有引力定律、質能公式、拉格朗日中值公式微分中值定理講的是這么一個故事摘自“過路人的空間”

在一個遙遠的曲線的世界，所有的一切都是一條條漂亮的紫色曲線。每條曲線的起止點a、b之間連接著一條漂亮的橙色直線。微分中值定理告訴我們：在每條紫色曲線上都有一個神奇的點，從它那里做出的綠色切線，與橙色的ab連線平行。ba10第十頁，共七十頁，2022年，8月28日它表明了函數(shù)在兩點處的函數(shù)值的單調性及某些等式與不等式的證明.在微分學中占有極重要的地位.與導數(shù)間的關系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函數(shù)11第十一頁，共七十頁，2022年，8月28日證

例3

證明不等式

arctanx2arctanx1x2x1(x1x2)

設f(x)arctanx

arctanx2arctanx1x2x1

在[x1,x2]上應用拉格朗日定理，有

如果f(x)在某區(qū)間上可導,要分析函數(shù)在該區(qū)間上任意兩點的函數(shù)值有何關系,通常就想到微分中值定理.12第十二頁，共七十頁，2022年，8月28日例4證由上式得設由

關鍵

滿足拉格朗日中值定理的條件,證明函數(shù)不等式的慣用手段！13第十三頁，共七十頁，2022年，8月28日推論2設f和g

在區(qū)間I上可導，且,則在區(qū)間I上f(x)和g(x)只差一個常數(shù)，即是I上的常值函數(shù).推論1設f(x)在區(qū)間I上可導，且,則f(x)例5.證明：證明函數(shù)恒等式的慣用手段！14第十四頁，共七十頁，2022年，8月28日注意AB的斜率切線斜率15第十五頁，共七十頁，2022年，8月28日柯西中值定理①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);②

在開區(qū)間(a,b)上可導;若函數(shù)f和g滿足：③

g’(x)≠0,x∈(a,b).則

使三、柯西中值定理幾何意義注：幾何意義：考慮參變量方程v=f(x)u=g(x)例6.

設函數(shù)f在區(qū)間[a,b](a>0)上連續(xù),在(a,b)上可導，則存在∈(a,b),使Cauchy(法)1789-185916第十六頁，共七十頁，2022年，8月28日

前面對拉格朗日中值定理的證明,構造了

現(xiàn)在對兩個給定的函數(shù)

f(x)、g(x),構造即可證明柯西定理.輔助函數(shù)輔助函數(shù)

分析上式寫成

用類比法17第十七頁，共七十頁，2022年，8月28日拉格朗日中值定理柯西中值定理羅爾定理、拉格朗日定理及柯西中值定理之間的關系；f()=0.羅爾定理問題：證明存在∈(a,b),使得H(a,b,)=0化為求根問題將a,b與分離，找匹配形式18第十八頁，共七十頁，2022年，8月28日與題設矛盾！例7*.

設p(x)

是一個多項式,且方程p'(x)=0

沒有實根，證:則方程p(x)=0

至多有一個實根，且這個根的重數(shù)為1.1)設p(x)有兩個實根x1,x2，且x1<x2.多項式函數(shù)p(x)顯然在[x1,x2]上滿足羅爾定理的條件，故存在∈(x1,x2)使得p()=0.與題設矛盾！2)又設p(x)有一個k(k≥2)次重根x0.則故所以19第十九頁，共七十頁，2022年，8月28日§4.2洛必達法則一、0/0型未定式二、∞/∞

型未定式三、其他未定式L’Hospital法國數(shù)學家(1661-1705)20第二十頁，共七十頁，2022年，8月28日則注：1.此法可推廣到其他各類0/0型函數(shù)極限.①③②

f和g在某Uo(x0)內都可導且；若（A也可以是∞,±∞）一、0/0型未定式極限2.此法可以與等價代換、換元法等方法結合使用.3.只要滿足條件，可以反復、多次運用此法.洛必達法則21第二十一頁，共七十頁，2022年，8月28日例1.計算下列0/0型未定式極限：22第二十二頁，共七十頁，2022年，8月28日注：1.此法可推廣到其他各類∞/∞

型函數(shù)極限.二、∞/∞

型未定式極限2.此法可與等價代換、換元法等方法結合使用.3.只要滿足條件，可以反復、多次運用此法.則①③②

f和g在某Uo(x0)內都可導且；若（A也可以是∞,±∞）洛必達法則23第二十三頁，共七十頁，2022年，8月28日例2.計算下列∞/∞

型未定式極限：注：洛必達法則并非萬能公式,應驗證條件！24第二十四頁，共七十頁，2022年，8月28日三、其他未定式①型：②型：③型：例4.求求例5.化為0/0型或∞/∞型整理成1/0-1/0,經(jīng)通分化為0/0型④數(shù)列形式未定式：化為e0·∞型(

)改求函數(shù)極限求例6.25第二十五頁，共七十頁，2022年，8月28日例7.解:(根據(jù)洛必達法則)①②(根據(jù)二階導定義)26第二十六頁，共七十頁，2022年，8月28日§4.3函數(shù)的增減性

回顧：判斷函數(shù)的單調性方法——定義法是否有其它（更簡便的）辦法判斷函數(shù)的單調性？問題：27第二十七頁，共七十頁，2022年，8月28日定理

單調增加;單調減少.一、單調性的判別法28第二十八頁，共七十頁，2022年，8月28日證

拉格朗日中值定理(1)(2)

此定理不論對于開、閉、有限或無窮區(qū)間都正確.注29第二十九頁，共七十頁，2022年，8月28日例解定義域為問題如本例,函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調的,但在各個部分區(qū)間上單調．那么，如何找這些具有單調性的區(qū)間？30第三十頁，共七十頁，2022年，8月28日例單調區(qū)間為31第三十一頁，共七十頁，2022年，8月28日單調區(qū)間的尋找方法：定義若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內是單調的,然后判定區(qū)間內導數(shù)的符號.的分界點．二、單調區(qū)間求法則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調區(qū)間.導數(shù)等于零的點和不可導點,可能是單調區(qū)間32第三十二頁，共七十頁，2022年，8月28日例解定義域單調區(qū)間為33第三十三頁，共七十頁，2022年，8月28日例解單調區(qū)間為定義域34第三十四頁，共七十頁，2022年，8月28日區(qū)間內有限個或無窮多個離散點處導數(shù)為零,如,注不影響區(qū)間的單調性.單調增加.又如,內可導,且等號只在(無窮多個離散點)處成立,故內單調增加.35第三十五頁，共七十頁，2022年，8月28日f(x)在I上單調遞增定理設f(x)在區(qū)間I上可導，則(減).(

)證明函數(shù)不等式的慣用手段！證明函數(shù)不等式的慣用手段！總結：§4.3函數(shù)的增減性例

討論下列函數(shù)的單調性：f(x)在I上單調遞增注意設f(x)在區(qū)間I上可導，則(遞減).(

)且等號只在個別點處成立

36第三十六頁，共七十頁，2022年，8月28日例

證明證:設

∵當x>0時,故f在[0,+∞)單調遞增；當x<0時,在(-∞,0]單調遞減；即∴當x≠0時,有則f(0)=0.

例(另證).注意到及f′(0)=0.

37第三十七頁，共七十頁，2022年，8月28日定義

若函數(shù)f在某U(x0)有定義，且對一切x?Uo(x0)有則稱f在x0處取得極大值,稱點x0為極大值點.(小)(小)○·例：x3,x5x1,x2,x4注：極值

vs.最值1.局部vs.整體，2.極值不在端點，最值可以3.區(qū)間內的最值點是極值點多值vs.唯一極大值點：極小值點：非極值點：x6§4.4函數(shù)的極值38第三十八頁，共七十頁，2022年，8月28日極值的必要條件設f在U(x0)有定義,且在

x0可導.若點x0是f的極值點，則必有駐點注：極值點

vs.駐點1.可導的極值點是駐點,“可導”條件不可去，2.駐點不一定是極值點，例:f(x)=|x|;例：f(x)=x3.求極值點的步驟：①求不可導點、駐點②檢查上述點左右的取值，根據(jù)極值定義做判斷39第三十九頁，共七十頁，2022年，8月28日定理（極值的第一充分條件）設f(x)

在點x0

連續(xù)，在某

上可導，(1)若當時,當時，則x0

是

f

的極小值點；(2)若當時,當時，則x0

是

f

的極大值點；(3)若f在內不變號，則x0

不是

f

的極值點.（左減右增極?。ㄗ笤鲇覝p極大）40第四十頁，共七十頁，2022年，8月28日令f

(x)0

得駐點x1不可導點為x0

列表

f(x)

f

(x)無0↗↗↘0極大值x(0)01(1

)(01)解:例1.求函數(shù)的極值點與極值.即是極小值.41第四十一頁，共七十頁，2022年，8月28日(1)若則x0

是

f

的極小值點；設

定理（極值的第二充分條件）(2)若則x0

是

f

的極大值點；則若常無法判斷,注:例1(續(xù)).判斷x=1是否函數(shù)的極值點.例如，y=x3或x4，其中x0=0.42第四十二頁，共七十頁，2022年，8月28日設是方程的一解,若且則在(A)

取得極大值(B)

取得極小值(C)

在某鄰域內單調增加(D)

在某鄰域內單調減少提示得A練習利用方程,代入43第四十三頁，共七十頁，2022年，8月28日區(qū)間端點（區(qū)間內）極值點不可導點駐點最值點§

4.5

最大值與最小值，極值的應用問題已知：若

f在[a,b]上連續(xù),則f

在[a,b]上有最大(小)值.問題：如何找出最大(小)值點?求f

在[a,b]上最值的步驟：①列出區(qū)間端點、區(qū)間內不可導點及駐點，求對應點函數(shù)值；②以上函數(shù)值之最大(小)者，即f在[a,b]上的最大(小)值。44第四十四頁，共七十頁，2022年，8月28日解:例1.求在

上的最大值與最小值.函數(shù)的駐點x1,不可導點為x0,

所以f在處取得最大值0，在處取得最小值.45第四十五頁，共七十頁，2022年，8月28日問剪去小正方形的邊長為何值時，可使盒子的容積最大？剪去正方形四角同樣大小的正方形后制成一個無蓋盒子，例2.

解:設正方形的邊長為a,每個小正方形的邊長為x.而則盒子的容積為又所以為V(x)在區(qū)間內唯一駐點,所以為唯一的極大值點，此時盒子容積最大.46第四十六頁，共七十頁，2022年，8月28日問題?如何研究曲線的彎曲方向§

4.6

曲線的凹向與拐點47第四十七頁，共七十頁，2022年，8月28日§

4.6

曲線的凹向與拐點定義若函數(shù)f在區(qū)間I

上滿足:(1)曲線總在曲線上點的切線的上方，則稱f

在I

上上凹(凹)；(2)曲線總在曲線上點的切線的下方，則稱f

在I

上下凹(凸).48第四十八頁，共七十頁，2022年，8月28日定理若函數(shù)f在區(qū)間I

上二階可導，(1)若則f

在I

上上凹(凹)；(2)若則f

在I

上下凹(凸).定義曲線上凹、下凹的分界點稱作拐點.注:1.二階導為零、或二階不可導的點可能是拐點.2.二階導為零不一定是拐

點

，例：y=x4

,x0=0.49第四十九頁，共七十頁，2022年，8月28日

解

例1

求曲線yx42x31的凹向與拐點

y4x36x2

y12x212x12x(x1)

得x10

x21

令y0列表

所以曲線在(0)(1

)上是凹的,在(01)上是凸的.

y

yx(-,0)0(0,1)1(1,+)001(拐點)0(拐點)(01)和(10)是拐點

50第五十頁，共七十頁，2022年，8月28日

解

當x2時

y0y不存在

列表

因此曲線在(,2)上是凸的,在(2,)上是凹的,

拐點(2,0)

y

y

x

(-,2)2(2,+)不存在0(拐點)

例2

求曲線y(x

2)5/3

的凹向與拐點

51第五十一頁，共七十頁，2022年，8月28日上周內容回顧函數(shù)單調性單調遞增：單調遞減：（分界點:駐點、導數(shù)不存在的點）凹凸性與拐點凹：凸：拐點：兩側二階導數(shù)異號（可疑拐點:二階導數(shù)為0或不存在的點）52第五十二頁，共七十頁，2022年，8月28日上周內容回顧(1)極值可疑點:使導數(shù)為0

或不存在的點(2)第一充分條件過由正變負為極大值過符號不變?yōu)闃O小值(3)第二充分條件為極大值為極小值極值最值極值可疑點和邊界點中驗證過由負變正不是極值§

4.7函數(shù)圖形的作法第五十三頁，共七十頁，2022年，8月28日點M與某一直線L的距離趨于0,曲線的漸近線定義.

若曲線C上的點M沿著曲線無限地遠離原點時,則稱直線L為曲線C的漸近線.或“縱坐標差”思考：求曲線的漸近線？54第五十四頁，共七十頁，2022年，8月28日水平與鉛直漸近線若則曲線有水平漸近線若則曲線有垂直漸近線例求曲線的漸近線.解:為水平漸近線;為垂直漸近線.(垂直于x軸的漸近線)(平行于x軸的漸近線)55第五十五頁，共七十頁，2022年，8月28日

斜漸近線

斜漸近線若則曲線56第五十六頁，共七十頁，2022年，8月28日注如果57第五十七頁，共七十頁，2022年，8月28日例求曲線的漸近線.解:所以有鉛直漸近線及又因為曲線的斜漸近線.58第五十八頁，共七十頁，2022年，8月28日一、曲線的漸近線§

4.7函數(shù)圖形的作法定義如果曲線y=f(x)上的點沿著曲線趨于無窮遠時該點與直線L

的距離趨于0

則稱L

為曲線的漸近線.1)若或稱yb

為水平漸近線

稱xc

為鉛垂?jié)u近線

2)若或稱y=kx+b

為斜漸近線，

3)若其中，

注:水平漸近線是斜漸近線的特例.59第五十九頁，共七十頁，2022年，8月28日

解

因為所以x1是曲線的鉛垂?jié)u近線

因為所以yx1是曲線的斜漸近線

例1.

求曲線的漸近線

所以曲線沒有水平漸近線

60第六十頁，共七十頁，2022年，8月28日函數(shù)作圖基本步驟：1.求函數(shù)的定義域；3.求函數(shù)的某些特殊點，比如：4.確定函數(shù)的單調區(qū)間、極值點,凹向區(qū)間、拐點；5.考察漸近線；6.綜合上述結果,列表并作圖.與坐標軸的交點、不連續(xù)點、不可導點；二、函數(shù)圖形的作法2.考察函數(shù)的奇偶性、周期性；61第六十一頁，共七十頁，2022年，8月28日例2.解:f的定義域為x≠0，且知f無不可導點.令得故函數(shù)圖象過點與令=0,得駐點x=-2，令=0,得特殊點x=-3.f是非奇、非偶、非周期的連續(xù)函數(shù).凹/減凹/增極小值點凹/減拐點凸/減++++0--+0---f(0,+∞)(-2,0)-2(-3,-2)-3(-∞,-3)x列表確定函數(shù)單調區(qū)間、凹向及極值點和拐點：62第六十二頁，共七十頁，2022年，8月28日f的圖象過點：例2.解(續(xù)):由及得斜漸近線y=-2；由得鉛垂?jié)u近線x=0.補充函數(shù)圖象上的點：根據(jù)以上結果繪制函數(shù)圖象(左圖).凹減凹增凹減凸減f(0,+∞)(-2,0)(-3,-2)(-∞,-3)x63第六十三頁，共七十頁，2022年，8月28日真實圖象：草圖：64第六十四頁，共七十頁，2022年，8月28日眼睛1.8m,問觀察者在距墻多遠處看圖才最清楚(視角最大)?例.

一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于觀察者的解:

設觀察者與墻的距離為xm,則令得駐點根據(jù)問題的實際意義,觀察者最佳站位存在,駐點又唯一,因此觀察者站在距離墻2.4m

處看圖最清楚。65第六十五頁，共七十頁，2022年，8月28日定義

若函數(shù)f(x)可導，稱f'(x)為邊際函數(shù).C'(Q)----邊際成本,§4.8邊際分析與彈性分析介紹R'(Q)----邊際收益,例：設Q為產(chǎn)量.C=C(Q),

R=R(Q),

L=L(Q)為成本,收益,利潤在

x=x0

處，若注：C'(100)/R'(100)/L'(100)的經(jīng)濟意義:當Q=10