第 7 章 模糊邏輯與模糊推理(7.1.4 模糊運(yùn)算與模糊推理)

模糊邏輯與模糊推理SchoolofInformationScience&TechnologyDalianMaritimeUniversity2011-10-29目錄第7章模糊邏輯與模糊推理7.1.1模糊邏輯的歷史7.1.2模糊集7.1.3隸屬函數(shù)7.1.4模糊運(yùn)算與模糊推理7.1.5模糊系統(tǒng)1.模糊運(yùn)算與經(jīng)典集合的并、交、補(bǔ)的運(yùn)算相對(duì)應(yīng)，模糊集合也有相似的運(yùn)算。模糊并、模糊交、模糊補(bǔ)1）模糊子集 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有的ξ，均有，則稱(chēng)模糊集合A被包含在模糊集合B中，或稱(chēng)A是B的子集，或稱(chēng)模糊集合A小于或等于模糊集B。記為模糊子集例子模糊控制器的語(yǔ)言變量是指其輸入和輸出變量，在輸入變量或輸出變量的論域上，往往需要為語(yǔ)言變量選取多個(gè)語(yǔ)言變量值?！罢蟆?、“正中”、“正小”、“幾為零”、“負(fù)大”、“負(fù)中”、“負(fù)小”等，它們就分別是一個(gè)模糊子集。以人們通常概念上（而不是法定意義的“大于18周歲”）的“成年人”作為一個(gè)模糊集合，那么就可用“青年人”、“壯年人”、“中年人”和“老年人”作為“成年人”的語(yǔ)言值。而這幾個(gè)語(yǔ)言值都分別是“成年人”模糊集合的模糊子集。模糊子集的范疇比語(yǔ)言值更廣，但使用更多的是模糊集合的語(yǔ)言值。2）模糊并（一）兩個(gè)模糊集合A和B的“并”為模糊集合C。寫(xiě)成C＝AUB，或C＝AorB。C與A和B的隸屬函數(shù)的關(guān)系為由模糊子集的關(guān)系，可以很容易地理解模糊并的算子為max，即兩者取其大。圖7.19兩個(gè)模糊集A與B圖7.20AUB3）模糊交（一）兩個(gè)模糊集合A和B的“交”為模糊集合C。寫(xiě)成C=A∩B，或C＝AandB。C與A和B的隸屬函數(shù)的關(guān)系為

由模糊子集的關(guān)系，可以很容易地理解模糊交的算子為min，即兩者取其小。

圖7.19兩個(gè)模糊集A與B圖7.21A∩B4）模糊補(bǔ)模糊集合A的補(bǔ)表示為－A或（非A）。模糊補(bǔ)的隸屬函數(shù)定義為圖7.19兩個(gè)模糊集A與B圖7.22－B設(shè)求A∪B，A∩B則例子：模糊交集和并集試證普通集合中的互補(bǔ)律在模糊集合中不成立：證：設(shè)，則例子：模糊補(bǔ)集的互補(bǔ)律1．冪等律A∪A=A，A∩A=A2．交換律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A3．結(jié)合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)模糊集的運(yùn)算法則（1）4．吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A5．分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)6．復(fù)原律模糊集的運(yùn)算法則（2）7．對(duì)偶律8．兩極律A∪E=E，A∩E=AA∪Ф=A，A∩Ф=Ф模糊集的運(yùn)算法則（3）模糊交集與T范式模糊集合A和B的交集可由一個(gè)二元映射T指定，它將兩個(gè)隸屬函數(shù)按如下方式結(jié)合起來(lái)二元運(yùn)算T可代表和的乘積。這些模糊交集算子通常被歸為T(mén)范式（三角范式）算子。

二元映射的性質(zhì)如果一個(gè)T范式算子是一個(gè)二元映射（·，·），則應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足如下要求：有界性T(0，0)=0，T(a，1)=T(1，a)=a單調(diào)性T(a，b)≤T(c，d)，ifa≤candb≤d交換律T(a，b)=T(b，a)結(jié)合律T(a，T(b，c))=T(T(a，b)，c)

推論：一個(gè)明確的集合具有適當(dāng)?shù)囊话阈约螦或B中隸屬值的減少不會(huì)導(dǎo)致A，B交集中隸屬度的增加運(yùn)算符對(duì)模糊集合的順序是無(wú)關(guān)緊要的表示可以按任意的順序?qū)θ我舛鄠€(gè)集合進(jìn)行模糊交運(yùn)算模糊并與T協(xié)范式

模糊并的運(yùn)算由一個(gè)指定的二元映射S產(chǎn)生，即二元運(yùn)算S可以表示

和

的加法。這些模糊并算子通常被歸為T(mén)協(xié)范式(或S范式)運(yùn)算符。T協(xié)范式（或S范式）算子是一個(gè)二元映射S(·，·)，則它必須滿(mǎn)足：有界性S(1，1)=1，S(a，0)=S(0，a)=a單調(diào)性

S(a，b)≤S(c，d)，ifa≤candb≤d交換律

S(a，b)=S(b，a)結(jié)合律

S(a，S(b，c))=S(S(a，b)，c)T范式和T協(xié)范式人們已經(jīng)提出了多參數(shù)的T范式和雙T協(xié)范式。每一種都提供了一種在函數(shù)中改變?cè)鲆娴姆椒ǎ虼怂梢跃哂泻軓?qiáng)的限制性，也可以具有很強(qiáng)的容許性。5）模糊交（二）----模糊乘規(guī)則模糊乘規(guī)則的前提是由n個(gè)單變量語(yǔ)句的模糊交（AND）構(gòu)成它產(chǎn)生一個(gè)新多變量隸屬函數(shù)，記為，它定義在初始的n維輸入空間上，其輸出如下：式中，是一類(lèi)稱(chēng)為三角范式(TriangularNorm)的函數(shù)5）模糊交（二）三角范式提供了大量函數(shù)以實(shí)現(xiàn)模糊交min算子乘法(Product)算子一個(gè)二維的模糊隸屬函數(shù)由兩個(gè)三角(2階B樣條)單變量隸屬函數(shù)的乘積構(gòu)成，形狀如圖7.23所示。5）模糊交（二）圖7.23兩個(gè)三角單變量隸屬函數(shù)乘積構(gòu)成的二維模糊隸屬函數(shù)5）模糊交（二）多變量隸屬函數(shù)的形狀決定于單變量隸屬函數(shù)的形狀以及三角范式的算子。用乘法算子構(gòu)成的多變量隸屬函數(shù)所保留的信息，比用min算子實(shí)現(xiàn)模糊“AND”時(shí)所保留的信息要多。因?yàn)楹笳邇H保留了一段信息，而乘法算子結(jié)合了n段信息。當(dāng)完整地定義了一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，采用乘法算子還允許將誤差信息反向傳播回網(wǎng)絡(luò)中。一般情況下，其輸出結(jié)果是一個(gè)更平滑的曲面。5）模糊交（二）當(dāng)每一個(gè)語(yǔ)句表達(dá)式都用單變量B樣條和高斯模糊隸屬函數(shù)表示時(shí)，多變量隸屬函數(shù)是一個(gè)簡(jiǎn)單的n維B樣條或高斯基函數(shù)。當(dāng)所有可能的模糊交集都由n個(gè)模糊隸屬函數(shù)集合得到時(shí)，它隱含地在初始輸入空間上（多變量模糊隸屬函數(shù)也在這個(gè)初始輸入空間上定義）產(chǎn)生一個(gè)n維網(wǎng)格，如圖7.24所示。5）模糊交（二）圖7.24由兩個(gè)三角模糊集構(gòu)成的二維模糊集5）模糊交（二）在圖7.24中，一個(gè)完整的二維模糊隸屬函數(shù)集合由兩個(gè)三角單變量模糊集合產(chǎn)生。圖中的實(shí)心圓表示其中心，虛線(xiàn)區(qū)表示兩個(gè)單變量集合如何用交集算子結(jié)合起來(lái)。當(dāng)模糊交集由每一個(gè)可能的單變量模糊輸入集的結(jié)合得到時(shí)，多變量隸屬函數(shù)的數(shù)目是輸入變量數(shù)目的指數(shù)函數(shù)（ExponentialFunction）。此時(shí)稱(chēng)這種模糊系統(tǒng)是完備的。對(duì)每一個(gè)輸入，至少存在一個(gè)具有非0隸屬度的多變量模糊集。只要從上圖中移去一個(gè)多變量模糊集，則意味著模糊規(guī)則庫(kù)不再是完備的（因?yàn)樵谝迫ゼ系闹行模總€(gè)基函數(shù)的隸屬度為0）。5）模糊交（二）假設(shè)一個(gè)系統(tǒng)有4個(gè)輸入變量，一個(gè)輸出變量，每個(gè)變量各有7個(gè)語(yǔ)言值，則一個(gè)完備的模糊網(wǎng)絡(luò)將會(huì)有

＝16807個(gè)中心點(diǎn)。除非用特定的方法構(gòu)造模糊網(wǎng)絡(luò)的輸入，否則這些系統(tǒng)將會(huì)遇到所謂的“維數(shù)災(zāi)難（CurseofDimensionality）”，這限制了它們用于小維數(shù)的建模與控制問(wèn)題。6）模糊并（二）如果h個(gè)多變量模糊輸入集合映射到q個(gè)單變量模糊輸出集合上，則對(duì)hq個(gè)邏輯關(guān)系，存在hq個(gè)相對(duì)應(yīng)的疊加的n+1維隸屬函數(shù)。這hq個(gè)邏輯關(guān)系被各個(gè)隸屬函數(shù)并(OR)相結(jié)合，構(gòu)成一個(gè)模糊規(guī)則庫(kù)R。該運(yùn)算定義如下：式中，為一類(lèi)稱(chēng)為三角協(xié)范式的函數(shù)。三角協(xié)范式同樣提供了大量的適用函數(shù)max算子加法算子6）模糊并（二）用max算子可以保證在輸入輸出空間每一特定的點(diǎn)上，只有一個(gè)規(guī)則對(duì)輸出有作用。各個(gè)作用之和可以保證若干規(guī)則影響相關(guān)曲面(RelationalSurface）

。但是，在理論上用加法不能保證合理性，因?yàn)樗a(chǎn)生的輸出可能大于1。當(dāng)輸入輸出單變量隸屬函數(shù)構(gòu)成單位分解、乘法算子用于交集和蘊(yùn)涵，并且規(guī)則信度向量歸一時(shí)，這就不是什么問(wèn)題了，因?yàn)橄到y(tǒng)是自標(biāo)準(zhǔn)的。6）模糊并（二）當(dāng)用不同的反模糊化過(guò)程執(zhí)行蘊(yùn)涵標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)，在蘊(yùn)涵中同樣可以使用加法算子，即使它產(chǎn)生的值大于1。所有各相關(guān)隸屬函數(shù)的模糊并，在輸入輸出空間中構(gòu)成一條嶺線(xiàn)，它表示各輸入輸出對(duì)是如何相聯(lián)系的，并且當(dāng)給定一個(gè)特定的輸入測(cè)量時(shí)，它可用于推斷模糊輸出隸屬函數(shù)。這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為模糊推理。一個(gè)典型的模糊相關(guān)關(guān)系如圖7.25所示。6）模糊并（二）圖7.25模糊輸入輸出相關(guān)關(guān)系6）模糊并（二）在圖7.25中，在每一個(gè)變量上定義了4個(gè)三角模糊集（2階B樣條），代數(shù)函數(shù)用于實(shí)現(xiàn)邏輯運(yùn)算。它們產(chǎn)生一個(gè)模糊相關(guān)關(guān)系曲面，在規(guī)則中心點(diǎn)之間是分段線(xiàn)性的，而且從等高線(xiàn)圖可以清晰地看出輸入和輸出關(guān)系的總趨勢(shì)。2.模糊規(guī)則與模糊推理在模糊推理中，經(jīng)常碰到模糊if-then規(guī)則，簡(jiǎn)稱(chēng)模糊規(guī)則。1)模糊規(guī)則模糊if-then規(guī)則又稱(chēng)模糊隱含或模糊條件語(yǔ)句。if-then規(guī)則語(yǔ)句用以闡明包含模糊邏輯的條件語(yǔ)句。一個(gè)單獨(dú)的模糊if-then規(guī)則形式如下：

ifxisAthenyisB其中，A和B是由模糊集合分別定義在x，y范圍（論域）上的語(yǔ)言值。模糊規(guī)則中if部分“xisA”被稱(chēng)為規(guī)則的前提或假設(shè)then部分“yisB”被稱(chēng)為結(jié)果或結(jié)論1）模糊規(guī)則實(shí)質(zhì)上，該表達(dá)式描述了變量x與y之間的關(guān)系。因此，可以把if-then規(guī)則定義為乘積空間中的二元模糊關(guān)系。1）模糊規(guī)則例如，要購(gòu)買(mǎi)一個(gè)軟件，其價(jià)格由其用戶(hù)界面和軟件功能決定。若單獨(dú)考慮其價(jià)格，則ifinterfaceisgoodthenchargeishigh注意：“good”用一個(gè)0和1之間的數(shù)字表示，因此所謂的前提是一個(gè)解析，它返回一個(gè)0和1之間的單值。

“high”由一個(gè)模糊集合表示，因此所謂的結(jié)果是一個(gè)分配，它分配整個(gè)模糊集合B到輸出變量y。在if-then規(guī)則中，當(dāng)“is”分別出現(xiàn)在前提和結(jié)果中時(shí)，其意義完全不同。就如在MATLAB術(shù)語(yǔ)中，使用關(guān)系運(yùn)算符“＝＝”和使用變量賦值符號(hào)“＝”時(shí)，其意義也完全不同。1）模糊規(guī)則書(shū)寫(xiě)這個(gè)規(guī)則時(shí)，避免混淆的寫(xiě)法是

ifinterface＝＝goodthencharge＝high一般地，if-then規(guī)則輸入是輸入變量的當(dāng)前值(在此是“interface”)，輸出是一個(gè)模糊集合的整體(在此是“high”)。1）模糊規(guī)則在模糊推理中，一個(gè)規(guī)則的前提可以有多個(gè)部分。ifinterfaceisgoodandperformanceisgoodthenchargeishigh在這種情況下，前提的所有部分都同時(shí)使用前面描述的邏輯算子進(jìn)行計(jì)算，并分配為一個(gè)單值。規(guī)則的結(jié)果同樣也有多重部分：ifinterfaceisbadthenchargeislowandcashinorderislow在這種情況下，所有的結(jié)果都同等地被前提影響。1）模糊規(guī)則而前提是怎樣影響結(jié)果的呢?在模糊邏輯中，模糊推理的結(jié)果將一個(gè)模糊集合分配到輸出中，然后模糊規(guī)則按前提中指定的程度修改模糊集合。最常用的修改輸出模糊集的方法，是用min函數(shù)進(jìn)行截?cái)嗷蛴胮rod函數(shù)進(jìn)行縮放。對(duì)于更多個(gè)變量的輸入輸出關(guān)系，令一個(gè)規(guī)則將第i個(gè)多變量模糊輸入集合

映射到第j個(gè)單變量輸出集合

上，并以

表示其信度，這種關(guān)系稱(chēng)為模糊蘊(yùn)涵或簡(jiǎn)稱(chēng)蘊(yùn)涵。1）模糊規(guī)則

例如，則元素x和元素y的相關(guān)程度用一個(gè)定義在乘法空間

上的n+1維隸屬函數(shù)表示：式中

為二元三角范式，通常用min算子或乘法算子。當(dāng)?shù)趇j個(gè)模糊規(guī)則的輸入為ξ時(shí)，模糊集

表示輸出為y的信度。

在這些應(yīng)用中，模糊蘊(yùn)涵可以認(rèn)為是輸入集合和輸出集合的一個(gè)交集。2）模糊規(guī)則的信度模糊推理系統(tǒng)的知識(shí)庫(kù)中包括了模糊隸屬函數(shù)的定義、模糊邏輯算子和(hXq)模糊規(guī)則信度矩陣(RuleConfidencesMatrix)C。在模糊規(guī)則可信度矩陣C中h為多變量模糊輸入集的個(gè)數(shù)q為單變量模糊輸出集的個(gè)數(shù)規(guī)則信度矩陣中的每一個(gè)元素表示第i個(gè)多變量模糊輸入集合與第j個(gè)單變量模糊輸出集合相關(guān)的強(qiáng)度或稱(chēng)信度。當(dāng)某個(gè)規(guī)則信度為0，則表示輸出集合對(duì)特定的模糊輸入集合的輸出沒(méi)有作用。當(dāng)一個(gè)規(guī)則的信度大于0，則無(wú)論何時(shí)，只要輸入部分地滿(mǎn)足規(guī)則的前提，輸出集合就將影響系統(tǒng)輸出。2）模糊規(guī)則的信度模糊規(guī)則的信度與模糊規(guī)則的權(quán)之間有著密切的關(guān)系，后面將對(duì)此作出解釋。一旦定義了一個(gè)模糊集合，則規(guī)則信度就已封裝一個(gè)特定過(guò)程的專(zhuān)家知識(shí)，它們形成一個(gè)簡(jiǎn)便的用于訓(xùn)練的參數(shù)集合。2）模糊規(guī)則的信度規(guī)則信度與模糊集合的形狀或類(lèi)型和模糊邏輯算子無(wú)關(guān)。模糊集合和邏輯算子分別獨(dú)立地存儲(chǔ)于知識(shí)庫(kù)中。在自組織控制器中廣泛使用的離散模糊系統(tǒng)構(gòu)造了一個(gè)相關(guān)矩陣，它完整地表征了系統(tǒng)的知識(shí)庫(kù)，并隱含地包括了模糊集的形狀、邏輯算子和規(guī)則信度的信息。人們希望將模糊知識(shí)按前面描述過(guò)的分布形式存儲(chǔ)起來(lái)，這將使得人們易于理解不同的實(shí)現(xiàn)方法是如何影響系統(tǒng)輸出的。2）模糊規(guī)則的信度規(guī)則信度向量c，與每個(gè)多變量模糊輸入集合相關(guān)互聯(lián)，它表征對(duì)特定輸入集合的系統(tǒng)輸出的估計(jì)。一般地，規(guī)則信度向量是標(biāo)準(zhǔn)的（歸一的），它表示，對(duì)于一個(gè)特定的輸入集合，存在關(guān)于系統(tǒng)輸出的全部知識(shí)。當(dāng)規(guī)則庫(kù)中的知識(shí)發(fā)生變化時(shí)，參數(shù)易于更新。在許多自適應(yīng)模糊系統(tǒng)中，更改模糊輸出隸屬函數(shù)的方法是轉(zhuǎn)移其中心，它等于重新定義設(shè)計(jì)者對(duì)語(yǔ)句表述的主觀解釋。2）模糊規(guī)則的信度在完成訓(xùn)練之后，由于模糊集的形式與其初始定義不一致，不能認(rèn)為這些自適應(yīng)模糊系統(tǒng)是有效的。當(dāng)獨(dú)立地使用和存儲(chǔ)規(guī)則信度時(shí)，適應(yīng)一個(gè)規(guī)則作用的強(qiáng)度并重新獲得其初始的模糊語(yǔ)義解釋是可能的。設(shè)有一組同學(xué)X，X={張三，李四，王五}，他們的功課為Y，Y={英語(yǔ)，數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)}。他們的考試成績(jī)?nèi)缦卤恚貉a(bǔ)充：模糊關(guān)系取隸屬函數(shù)，其中u為成績(jī)。如果將他們的成績(jī)轉(zhuǎn)化為隸屬度，則構(gòu)成一個(gè)x×y上的一個(gè)模糊關(guān)系R，見(jiàn)下表。表：考試成績(jī)表的模糊化

將上表寫(xiě)成矩陣形式，得：補(bǔ)充：模糊關(guān)系該矩陣稱(chēng)作模糊矩陣，其中各個(gè)元素必須在[0，1]閉環(huán)區(qū)間上取值。矩陣R也可以用關(guān)系圖來(lái)表示，如圖所示。圖R的關(guān)系圖補(bǔ)充：模糊關(guān)系設(shè)有n階模糊矩陣A和B，，，且。則定義如下幾種模糊矩陣運(yùn)算方式：補(bǔ)充：模糊矩陣運(yùn)算補(bǔ)充：模糊矩陣運(yùn)算例

設(shè)補(bǔ)充：模糊矩陣運(yùn)算例子模糊矩陣的合成類(lèi)似于普通矩陣的乘積。將乘積運(yùn)算換成“取小”，將加運(yùn)算換成“取大”即可。設(shè)矩陣A是x×y上的模糊關(guān)系，矩陣B是y×z上的模糊關(guān)系，則C=AοB稱(chēng)為A與B矩陣的合成，合成算法為：補(bǔ)充：模糊矩陣的合成例設(shè)，，則A和B的合成為：其中補(bǔ)充：模糊矩陣的合成例子補(bǔ)充：模糊矩陣的合成例子3）模糊推理推理是對(duì)于一個(gè)特定表述的解釋過(guò)程，它利用所有的有用知識(shí)以產(chǎn)生最佳的輸出估計(jì)。在模糊系統(tǒng)中，利用推理機(jī)制完成當(dāng)前模糊輸入集

與所有模糊規(guī)則前提的模式匹配，并結(jié)合其響應(yīng)，產(chǎn)生一個(gè)單獨(dú)的模糊輸出集3）模糊推理這個(gè)過(guò)程定義如下：式中，對(duì)于所有可能的ξ值，都應(yīng)用三角協(xié)范式。應(yīng)用三角范式的目的，是計(jì)算對(duì)一個(gè)特定的ξ值，兩個(gè)隸屬函數(shù)之間的匹配。當(dāng)和被分別用作積分（和）算子與乘法算子時(shí)，上式要求對(duì)任意模糊輸入集合，在輸入域D上n維可積。3）模糊推理對(duì)模糊輸出集的計(jì)算依賴(lài)于模糊輸入集相關(guān)曲面實(shí)際的推理算子只要在模糊輸入集和規(guī)則庫(kù)前提之間存在重疊，則在某種意義上，模糊系統(tǒng)具有歸納(Generalise)能力。對(duì)相鄰表述信息進(jìn)行歸納是模糊邏輯的功能之一。在本節(jié)中研究的模糊系統(tǒng)是相當(dāng)重要的，因?yàn)閷?duì)它的逼近能力能同時(shí)進(jìn)行理論上的分析與決策。這對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)具有重要的意義。3）模糊推理一般地，模糊推理可以分為4步：(1)計(jì)算隸屬度，將已知事實(shí)與模糊規(guī)則的前提進(jìn)行比較，求出相對(duì)每一前提隸屬函數(shù)的隸屬度；(2)求激勵(lì)強(qiáng)度，或稱(chēng)求總前提的滿(mǎn)足程度，用模糊并或模糊交算子，把相對(duì)于前提隸屬函數(shù)的隸屬度結(jié)合起來(lái)，求出對(duì)總前提的滿(mǎn)足程度；(3)應(yīng)用模糊規(guī)則，將激勵(lì)強(qiáng)度施加于模糊規(guī)則結(jié)果的隸屬函數(shù)，以產(chǎn)生一個(gè)定性的隸屬函數(shù)；(4)進(jìn)行模糊聚類(lèi)，獲得最終輸出的隸屬度。模糊推理的輸出結(jié)果是一個(gè)模糊集，而模糊控制器的輸出必須是一個(gè)確定的數(shù)值。這就是涉及到推理結(jié)果的反模糊化問(wèn)題。3）模糊推理通常對(duì)模糊推理結(jié)果有下面幾種反模糊化方法。(1)簡(jiǎn)單平均法

(2)最大隸屬函數(shù)法選擇y使用上式確定的y有時(shí)不唯一。對(duì)此問(wèn)題的解決方法是，取使上式成立的多個(gè)結(jié)果的平均值作為。3）模糊推理(3)重力中心法在此要求分子與分母的積分都存在。重力中心法考慮到了的形狀，采用了較多的信息，是比較常用的方法。(4)水平重力中心法通過(guò)模糊推理得到的結(jié)果是一個(gè)模糊集合。但在實(shí)際模糊控制中，必須要有一個(gè)確定值才能控制或驅(qū)動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)。將模糊推理結(jié)果轉(zhuǎn)化為精確值的過(guò)程稱(chēng)為反模糊化。常用的反模糊化有三種：補(bǔ)充資料：反模糊化

補(bǔ)充資料：(1)最大隸屬度法

選取推理結(jié)果模糊集合中隸屬度最大的元素作為輸出值，即，。

如果在輸出論域V中，其最大隸屬度對(duì)應(yīng)的輸出值多于一個(gè)，則取所有具有最大隸屬度輸出的平均值，即：N為具有相同最大隸屬度輸出的總數(shù)。最大隸屬度法不考慮輸出隸屬度函數(shù)的形狀，只考慮最大隸屬度處的輸出值，因此，難免會(huì)丟失許多信息。它的突出優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單。在一些控制要求不高的場(chǎng)合，可采用最大隸屬度法。為了獲得準(zhǔn)確的控制量，就要求模糊方法能夠很好的表達(dá)輸出隸屬度函數(shù)的計(jì)算結(jié)果。重心法是取隸屬度函數(shù)曲線(xiàn)與橫坐標(biāo)圍成面積的重心為模糊推理的最終輸出值，即補(bǔ)充資料：(2)重心法對(duì)于具有m個(gè)輸出量化級(jí)數(shù)的離散域情況

與最大隸屬度法相比較，重心法具有更平滑的輸出推理控制。即使對(duì)應(yīng)于輸入信號(hào)的微小變化，輸出也會(huì)發(fā)生變化。補(bǔ)充資料：(3)加權(quán)平均法

工業(yè)控制中廣泛使用的反模糊方法為加權(quán)平均法，輸出值由下式?jīng)Q定其中系數(shù)的選擇根據(jù)實(shí)際情況而定。不同的系數(shù)決定系統(tǒng)具有不同的響應(yīng)特性。當(dāng)系數(shù)取隸屬度時(shí)，就轉(zhuǎn)化為重心法。

反模糊化方法的選擇與隸屬度函數(shù)形狀的選擇、推理方法的選擇相關(guān)，Matlab提供五種解模糊化方法：（1）centroid：面積重心法；（2）bisector：面積等分法；（3）mom：最大隸屬度平均法；（4）som：最大隸屬度取小法；（5）lom：大隸屬度取大法；在Matlab中，可通過(guò)setfis()設(shè)置解模糊化方法，通過(guò)defuzz()執(zhí)行反模糊化運(yùn)算。Matlab提供五種解模糊化方法

例如，重心法通過(guò)下例程序來(lái)實(shí)現(xiàn)：x=-10:1:10;mf=trapmf(x,[-10,-8,-4,7]);xx=defuzz(x,mf,’centroid’);

在模糊控制中，重心法可通過(guò)下例語(yǔ)句來(lái)設(shè)定：a1=setfis(a,'DefuzzMethod','centroid')其中a為模糊規(guī)則庫(kù)。將含有模糊概念的語(yǔ)法規(guī)則所構(gòu)成的語(yǔ)句稱(chēng)為模糊語(yǔ)句。根據(jù)其語(yǔ)義和構(gòu)成的語(yǔ)法規(guī)則不同，可分為以下幾種類(lèi)型：（1）模糊陳述句：語(yǔ)句本身具有模糊性，又稱(chēng)為模糊命題。如：“今天天氣很熱”。（2）模糊判斷句：是模糊邏輯中最基本的語(yǔ)句。語(yǔ)句形式：“是a”，記作（a），且a所表示的概念是模糊的。如“張三是好學(xué)生”。（3）模糊推理句：語(yǔ)句形式：若是，則是。則為模糊推理語(yǔ)句。如“今天是晴天，則今天暖和”。補(bǔ)充：模糊語(yǔ)句常用的有兩種模糊條件推理語(yǔ)句：IfAthenBelseC；IfAANDBthenC下面以第二種推理語(yǔ)句為例進(jìn)行探討，該語(yǔ)句可構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單的模糊控制器，如圖所示。補(bǔ)充：模糊推理圖：二輸入單輸出模糊控制器其中A，B，C分別為論域x，y，z上的模糊集合，A為誤差信號(hào)上的模糊子集，B為誤差變化率上的模糊子集，C為控制器輸出上的模糊子集。常用的模糊推理方法有兩種：Zadeh法和Mamdani法。Mamdani推理法是模糊控制中普遍使用的方法，其本質(zhì)是一種合成推理方法。定義：若有兩個(gè)模糊集A和B，其論域分別為X和Y，則定義在積空間上的模糊集合為的直積，隸屬函數(shù)表達(dá)為：或補(bǔ)充：模糊推理模糊推理語(yǔ)句“IfAANDBthenC”確定了三元模糊關(guān)系R，即：R=(A×B)T1

。C其中(A×B)T1為模糊關(guān)系矩陣(A×B)(m×n)構(gòu)成的m×n列向量，n和m分別為A和B論域元素的個(gè)數(shù)?；谀：评硪?guī)則，根據(jù)模糊關(guān)系R，可求得給定輸入A1和B1對(duì)應(yīng)的輸出C1：C1=（A1×B1）T2。

R補(bǔ)充：模糊推理例3-9

設(shè)論域x={a1，a2，a3}，y={b1，b2，b3}，z={c1，c2，c3}，已知，。試確定“IfAANDBthenC”所決定的模糊關(guān)系R，以及輸入為,時(shí)的輸出C1。補(bǔ)充：模糊推理例子解：將A×B矩陣擴(kuò)展成如下列向量：

補(bǔ)充：模糊推理例子當(dāng)輸入為A1和B1時(shí)，有：將A1×B1矩陣擴(kuò)展成如下行向量：最后得:即：補(bǔ)充：模糊推理例子補(bǔ)充：又一個(gè)模糊推理例子

合成推理規(guī)則舉例若人工調(diào)節(jié)爐溫，有如下的經(jīng)驗(yàn)規(guī)則：“如果爐溫低，則應(yīng)施加高電壓”。試問(wèn)當(dāng)爐溫為“非常低”時(shí)，應(yīng)施加怎樣的電壓。已知：x和y分別表示模糊語(yǔ)言變量“爐溫”和“電壓”，x和y的論域?yàn)?/p>

計(jì)算模糊蘊(yùn)含關(guān)系

計(jì)算輸出量的模糊集模糊向量的轉(zhuǎn)置3.Mamdani型推理與Sugeno型推理到目前為止，所討論的模糊推理過(guò)程都是Mamdani模糊推理方法。本書(shū)內(nèi)容都是在采用Mamdani推理的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。Mamdani推理方法是使用最多，同時(shí)也比較簡(jiǎn)便的模糊推理方法。但在文獻(xiàn)中時(shí)常見(jiàn)到使用Sugeno型模糊推理的例子，在此對(duì)其做一簡(jiǎn)單介紹。Sugeno型推理方法又稱(chēng)為T(mén)akagi-Sugeno-Kang方法，它于1985年首次提出。它在許多方面與Mamdani方法是相似的。在模糊推理進(jìn)程的前兩個(gè)部分，即輸入模糊化和應(yīng)用模糊算子，兩者是完全相同的。3.Mamdani型推理與Sugeno型推理在Sugeno型模糊推理和Mamdani型模糊推理之間主要的不同是，對(duì)Sugeno型模糊推理，輸出隸屬函數(shù)只能是線(xiàn)性的或者是常量。3.Mamdani型推理與Sugeno型推理如前所述，Mamdani型推理要求輸出的隸屬函數(shù)為一個(gè)模糊集。在完成聚類(lèi)過(guò)程之后，對(duì)每個(gè)需要被反模糊化的輸出變量，存在一個(gè)模糊集合。而在許多情況下，使用一個(gè)模糊單點(diǎn)而不是一個(gè)分布模糊集作為輸出隸屬函數(shù)更為有效。模糊單點(diǎn)的數(shù)學(xué)表示如下：3.Mamdani型推理與Sugeno型推理圖7.26中表征了身高為“1.6米”的模糊單點(diǎn)。這個(gè)模糊單點(diǎn)被稱(chēng)為單元輸出隸屬函數(shù)，它可以被視為一個(gè)預(yù)反模糊化集合。它極大地降低了更一般的、