最優(yōu)控制內(nèi)容要點(diǎn)

1基本內(nèi)容最優(yōu)控制理論古典變分法極大值原理動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)控制系統(tǒng)最速控制系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制最省燃料控制系統(tǒng)最小能量控制系統(tǒng)……2最優(yōu)控制的理論研究

非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制；分布參數(shù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制（無(wú)限維系統(tǒng)的最優(yōu)控制）；隨機(jī)系統(tǒng)的最優(yōu)控制；多目標(biāo)系統(tǒng)的最優(yōu)控制（微分對(duì)策）；最優(yōu)自適應(yīng)控制；大系統(tǒng)的最優(yōu)控制；廣義系統(tǒng)的最優(yōu)控制；模糊最優(yōu)控制；次最優(yōu)控制；魯棒最優(yōu)控制；奇異最優(yōu)控制；最優(yōu)控制的數(shù)值方法；抽象代數(shù)工具（例如范疇理論和李群論）在最優(yōu)控制中的應(yīng)用；……最優(yōu)控制的應(yīng)用研究

航空航天；機(jī)械加工；化工過(guò)程；能源控制；汽車(chē)；機(jī)器人；生物系統(tǒng)；環(huán)境系統(tǒng)；社會(huì)與經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)；……3最優(yōu)控制問(wèn)題的一般描述①受控系統(tǒng)或過(guò)程的數(shù)學(xué)模型②容許控制的集合Uad

工程實(shí)際因素的限制。例如，控制飛機(jī)的舵偏角是受限制的，控制電機(jī)的電流是受限制的。

③邊界條件初態(tài)通常已知。目標(biāo)集S可以表示為④性能指標(biāo)反映和評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能優(yōu)劣的指標(biāo)。性能指標(biāo)值的大小依賴于控制作用的整體u(·)的選擇，而不是取決于控制u(t)在t時(shí)刻的值；因此J[u(·)]是控制函數(shù)u(·)的函數(shù)（稱為u(·)的泛函）。最優(yōu)控制問(wèn)題的四個(gè)要素：4最優(yōu)控制問(wèn)題可表述為：尋找一個(gè)容許控制u(t)，使受控系統(tǒng)從某個(gè)給定的初始狀態(tài)出發(fā)，在末端時(shí)刻達(dá)到目標(biāo)集，并且使性能指標(biāo)J[u(·)]達(dá)到極小值或極大值。如果問(wèn)題有解，則稱求得的容許控制為最優(yōu)控制，記為u*(t)

；在u*(t)作用下系統(tǒng)狀態(tài)方程的解稱為最優(yōu)軌線，記為x*(t)

；相應(yīng)的性能指標(biāo)值J[u*(·)]，稱為最優(yōu)指標(biāo)值。在數(shù)學(xué)上，最優(yōu)控制問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，是對(duì)受約束的泛函J[u(·)]求極值的問(wèn)題，其中的約束條件為系統(tǒng)的狀態(tài)方程、目標(biāo)集方程和容許控制域。

開(kāi)環(huán)控制與閉環(huán)控制：最優(yōu)控制的一類(lèi)形式是表示為時(shí)間變量t的函數(shù)，稱為程序控制或開(kāi)環(huán)控制。它的缺點(diǎn)是不能抑制擾動(dòng)。最優(yōu)控制的另一類(lèi)形式是狀態(tài)反饋，稱為綜合控制或閉環(huán)控制。其優(yōu)點(diǎn)是對(duì)抑制擾動(dòng)有利。5有約束條件的函數(shù)極值問(wèn)題--拉格朗日乘子法設(shè)具有個(gè)n變量的多元函數(shù)為X的各分量滿足下面的m個(gè)等式約束方程函數(shù)L有極值的必要條件為拉格朗日函數(shù)6習(xí)題1.求使且2.求原點(diǎn)到曲線的距離為最小。3.求函數(shù)極值，若7變分法性能指標(biāo)泛函的三種形式拉格郎日(Lagrange)形式(積分型)馬耶耳(Mayer)形式(末值型)波爾扎(Bolza)形式(混合型)在變分法中，當(dāng)性能指標(biāo)泛函的形式為L(zhǎng)agrange形式、Mayer形式和Bolza形式時(shí)，泛函取極值的問(wèn)題分別稱為L(zhǎng)agrange問(wèn)題、Mayer問(wèn)題和Bolza問(wèn)題。8無(wú)約束條件的變分問(wèn)題：tf

固定歐拉方程是二階微分方程，它的解包含兩個(gè)積分常數(shù)。這兩個(gè)積分常數(shù)要利用邊界條件x(t0)=x0和x(tf)=xf來(lái)確定。只有滿足歐拉方程同時(shí)又滿足邊界條件的函數(shù)，才能在滿足給定端點(diǎn)條件下使泛函達(dá)到它的極值。因此，求解變分或?qū)ふ曳汉臉O值函數(shù)問(wèn)題歸結(jié)為求解歐拉方程。對(duì)于端點(diǎn)時(shí)間固定，而端點(diǎn)狀態(tài)未規(guī)定的情況，則必要條件包括下面兩個(gè)方程（橫截條件）（歐拉方程）和9(1)固定端點(diǎn)問(wèn)題(2)固定始端、未定終端問(wèn)題(3)未定始端、固定終端問(wèn)題(4)未定端點(diǎn)問(wèn)題10橫截條件的討論

(1)固定端點(diǎn)問(wèn)題橫截條件變成預(yù)先規(guī)定的邊界條件x(t0)=x0和x(tf)=xf

(2)固定始端、未定終端問(wèn)題這時(shí)，可任意選擇。于是，橫截條件變成和11

(3)未定始端、固定終端問(wèn)題這時(shí)，可任意選擇。于是，相應(yīng)的橫截條件是

(4)未定端點(diǎn)問(wèn)題假設(shè)，互不相關(guān)，橫截條件可寫(xiě)成又知道和任意，于是得到橫截條件和和和12無(wú)約束條件的變分問(wèn)題：tf未定考慮最簡(jiǎn)單的泛函的極值。其中x(t)是t的二次可微函數(shù)；是變量x、和t的連續(xù)函數(shù)，并且有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，端點(diǎn)時(shí)間t0固定。假設(shè)終端時(shí)間tf未規(guī)定，但不是任意的，它受終端狀態(tài)xf約束，而xf又取決于給定的終端曲線c(tf)。c(tf)規(guī)定了終端狀態(tài)與終端時(shí)間之間的關(guān)系。終端狀態(tài)約束如圖所示。13x(t0)=x02．tf和x(tf)受c(tf)曲線約束1．tf自由，x(tf)自由x(t0)=x0(確定末端時(shí)間)(確定末端狀態(tài))3．tf自由，x(tf)固定x(t0)=x0和x(tf*)=xf無(wú)約束條件的變分問(wèn)題：tf未定在邊界處應(yīng)滿足的條件泛函取極值的必要條件為：14歐拉方程和橫截條件的矢量形式假設(shè)性能泛函把它寫(xiě)成矢量形式，則有對(duì)于初始狀態(tài)固定，終端受約束的可動(dòng)邊界問(wèn)題，可得歐拉方程和橫截條件的矢量形式（歐拉方程）（橫截條件）15有等式約束的變分問(wèn)題如果給出性能泛函其中x=[x1

x2…xn]T是n維矢量，要求在矢量微分方程的約束下求泛函J的極值，其中(m<n)引入矢量拉格郎日乘子λ(t)=[λ1(t)λ2(t)…λm(t)]T將微分方程約束條件結(jié)合到性能泛函中構(gòu)成一個(gè)新泛函，即16于是，在微分方程組約束下求泛函的條件極值問(wèn)題，只需用拉格朗日乘子法將有約束條件問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束條件問(wèn)題來(lái)解決。假設(shè)函數(shù)x1(t)，x2(t)，…，xn(t)，λ1(t)，λ2(t)，…，λm(t)使泛函J'取極值，那么這n+m個(gè)函數(shù)必須滿足下面n+m個(gè)歐拉方程：或?qū)懗墒噶啃问皆谶@里我們把輔助泛函J'作為依賴于n+m個(gè)自變量函數(shù)x1，x2，…，xn，λ1，λ2，…，λm的泛函來(lái)看待。17習(xí)題1、求的極值曲線。其中(1)(2)2、y(1)=1，y(2)自由，求使取極值的y*(x)。3、y(0)=1，y(π/4)自由，求使取極值的y*(x)。184、給定系統(tǒng)取極小值的u*(t)。求使5、試求從(0，1)引向直線的最短曲線的函數(shù)。6、利用一階變分的定義取極值的的必要條件。及變分學(xué)基本引理，推導(dǎo)泛函19極小值原理

無(wú)不等式約束的波爾札問(wèn)題：tf未規(guī)定那么，如果u*(t)、x*(t)、tf*分別是最優(yōu)控制、最優(yōu)軌線和最優(yōu)終端時(shí)間，則它們同λ*(t)一起在區(qū)間[t0，tf]上必須滿足：給定系統(tǒng)微分方程和性能泛函假設(shè)t0固定，tf未規(guī)定。純量函數(shù)Φ和L連續(xù)可微，初始狀態(tài)x(t0)未規(guī)定，終端狀態(tài)受約束。定義哈米爾登函數(shù)20(3)控制方程(5)如果哈米爾登函數(shù)H和函數(shù)Φ

、N都不顯含t，則(4)橫截條件(1)系統(tǒng)方程(2)伴隨方程21哈米爾登函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)哈米爾登函數(shù)哈米爾登函數(shù)沿著最優(yōu)軌線有若H不顯含t，則可得或H＝常數(shù)哈米爾登函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)：如果哈米爾登函數(shù)H不顯含t，那么，它沿著最優(yōu)軌線等于常數(shù)。22有不等式約束的波爾札問(wèn)題那么，如果u*(t)、x*(t)、tf*分別是最優(yōu)控制、最優(yōu)軌線和最優(yōu)終端時(shí)間，則它們同λ*(t)一起在區(qū)間[t0，tf]上必須滿足：定義哈米爾登函數(shù)極小值原理可以敘述如下：系統(tǒng)微分方程初始狀態(tài)狀態(tài)矢量x(t)是分段光滑函數(shù)，控制矢量u(t)是分段連續(xù)函數(shù)。u(t)屬于m維空間中的有界閉集，受不等式約束。終端狀態(tài)約束式中t0固定，tf未規(guī)定。性能泛函23(1)系統(tǒng)方程(2)伴隨方程規(guī)范方程組、正則方程組、哈米爾登方程組(3)極值條件(4)橫截條件24如果哈米爾登函數(shù)不顯含t

，終端時(shí)間未規(guī)定，且函數(shù)Φ

、N都不顯含t，則(5)如果哈米爾登函數(shù)H不顯含t，且終端時(shí)間固定，則25(1)容許控制條件放寬了與經(jīng)典變分法相比，極小值原理的重要意義極值條件適用于控制受約束的情況。(2)最優(yōu)控制使哈密頓函數(shù)取全局極小值經(jīng)典變分法極小值原理(3)擴(kuò)大了應(yīng)用范圍極小值原理不要求哈密頓函數(shù)對(duì)控制向量的可微性。(4)給出最優(yōu)解的必要條件而非充分條件如果由實(shí)際工程問(wèn)題的物理意義可以判定解是存在的，而由極小值原理求出的控制又是惟一的，則該控制為要求的最優(yōu)控制。26離散極小值原理系統(tǒng)差分方程初始狀態(tài)x(k0)固定終端狀態(tài)約束

N[x(N),N)=0，N為固定整數(shù)性能指標(biāo)J取極值的必要條件是：1)2)3)4)定義哈米爾登函數(shù)27習(xí)題1、已知取極小值。求u*(t)使為最小。2、已知，，求，及使(1)(2)為極小。3、已知，，求，使284、已知取極大值。求u*(t)使5、已知取極小值。求及非換接形式的u*(t)使29為極大。6、已知，，，求使，為極小。7、已知，，求使30離散動(dòng)態(tài)規(guī)劃

不變嵌入原理的含意是：為解決一個(gè)特定的最優(yōu)決策問(wèn)題而把原問(wèn)題嵌入到一系列相似的但易于求解的問(wèn)題中去。對(duì)于多級(jí)決策過(guò)程來(lái)說(shuō)，就是把原來(lái)的多級(jí)決策過(guò)程問(wèn)題轉(zhuǎn)換成一系列單級(jí)決策過(guò)程問(wèn)題。顯然，單級(jí)問(wèn)題要比多級(jí)問(wèn)題容易處理。

最優(yōu)性原理的含意是：在一個(gè)多級(jí)決策問(wèn)題中最優(yōu)決策具有這樣的性質(zhì)：不管初始級(jí)、初始狀態(tài)和初始決策如何，當(dāng)把其中任何一級(jí)和狀態(tài)作為初始級(jí)和初始狀態(tài)時(shí)，余下的決策對(duì)此初始狀態(tài)必定構(gòu)成一個(gè)最優(yōu)決策。這就是說(shuō)，如果有一個(gè)初始狀態(tài)為x(0)的N級(jí)過(guò)程，其最優(yōu)決策序列為u*(0)，u*(1)，u*(2)，…，u*(N一1)，那么，對(duì)于以x(k)為初始狀態(tài)的N一k級(jí)過(guò)程來(lái)說(shuō)，u*(k)，u*(k+1)，…，u*(N一1)也是一個(gè)最優(yōu)決策序列。31考慮系統(tǒng)：性能指標(biāo)J的下標(biāo)Ｎ表示由u

(0)到u

(N-1)控制N步。問(wèn)題的提法是：求控制序列u*(0)，u*(1)，u*(2)，…，u*(N-1)使JN取極大(或極小)。離散動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本遞推方程且在解離散系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題時(shí)，應(yīng)用離散動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本遞推方程，可以由最后一步開(kāi)始，把一個(gè)N步控制問(wèn)題化為N個(gè)一步控制的問(wèn)題。32連續(xù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃哈米爾登—雅可比—貝爾曼方程(HJB方程)非線性系統(tǒng)性能指標(biāo)式中端點(diǎn)時(shí)間t０、tf固定，終端狀態(tài)x(tf)未規(guī)定。我們的任務(wù)是從容許控制的集合中求出最優(yōu)控制u*(t)，使性能指標(biāo)J取極小。則相應(yīng)的邊界條件為或33習(xí)題1、下圖為城市交通線路(網(wǎng)絡(luò))，x0為始發(fā)站，求經(jīng)過(guò)中間的三個(gè)車(chē)站到達(dá)終點(diǎn)的三個(gè)車(chē)站中的任何一個(gè)的線路所用的時(shí)間最小，并標(biāo)出最優(yōu)值函數(shù)。778x034663324452、取最小值。343、取最小值。4、，t1給定，q，r均為常數(shù)，使取最小值。試證最優(yōu)值函數(shù)滿足方程令時(shí)，試證p(t)滿足，p(t1)=0當(dāng)35線性最優(yōu)控制其中x(t)為n維狀態(tài)向量，u(t)為m維控制向量，y(t)為p維輸出向量；A(t)，B(t)，C(t)分別為n×n，n×m，和p×n維矩陣，它們是時(shí)間的分段連續(xù)函數(shù)。求出一控制u(t)，使如下性能指標(biāo)取極小值給定線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程令e(t)=x(t)，則問(wèn)題化為：用盡可能小的控制能量，使?fàn)顟B(tài)x(t)保持在零值附近，因而稱之為狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題。令e(t)=y(t)，則問(wèn)題歸結(jié)為：用盡可能小的控制能量，使輸出y(t)保持在零值附近，因而稱之為輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題。令e(t)=yr(t)-y(t)，其中yr(t)是系統(tǒng)的理想輸出，則問(wèn)題歸結(jié)為：用盡可能小的控制能量，使輸出跟蹤yr(t)的變化，因而稱之為跟蹤問(wèn)題。36狀態(tài)調(diào)節(jié)器系統(tǒng)狀態(tài)方程性能指標(biāo)其中t0和tf固定；F是半正定對(duì)稱定常矩陣；Q(t)是半正定對(duì)稱時(shí)變矩陣；R(t)是正定對(duì)稱時(shí)變矩陣。最優(yōu)控制律且性能指標(biāo)的最小值為黎卡提(Riccati)矩陣(P(t)是對(duì)稱非負(fù)定時(shí)變矩陣)微分方程末端約束P(tf)=F37輸出調(diào)節(jié)器性能指標(biāo)給定可觀測(cè)線性時(shí)變系統(tǒng)其中t0和tf固定；F是半正定對(duì)稱定常矩陣；Q(t)是半正定對(duì)稱時(shí)變矩陣；R(t)是正定對(duì)稱時(shí)變矩陣。最優(yōu)控制矩陣P(t)滿足黎卡提(Riccati)微分方程和邊界條件P(tf)=CT(tf)FC(tf)38定常調(diào)節(jié)器給定完全能控線性定常系統(tǒng)和性能指標(biāo)Q是半正定對(duì)稱常數(shù)矩陣；R是正定對(duì)稱常數(shù)矩陣。P(正定對(duì)稱常數(shù)矩陣)滿足黎卡提(Riccati)線性矩陣代數(shù)方程最優(yōu)控制性能指標(biāo)的最小值為39定常調(diào)節(jié)器的最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的根據(jù)李亞普諾夫穩(wěn)定性理論，按全狀態(tài)負(fù)反饋工作的線性調(diào)節(jié)器閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)有無(wú)窮大增益裕量，有約600相角裕量。最優(yōu)閉環(huán)傳遞函數(shù)對(duì)參數(shù)變化的靈敏度小于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)對(duì)參數(shù)變化的靈敏度。40線性伺服系統(tǒng)性能指標(biāo)給定線性時(shí)變系統(tǒng)其中t0和tf固定；F是半正定對(duì)稱定常矩陣；Q(t)是半正定對(duì)稱時(shí)變矩陣；R(t)是正定對(duì)稱時(shí)變矩陣。e(t)表示誤差，即e(t)=z(t)－y(t)，z(t)是參考輸入。最優(yōu)控制矩陣P(t)滿足黎卡提(Riccati)微分方程和邊界條件P(tf)=CT(tf)FC(tf)驅(qū)動(dòng)函數(shù)g(t)滿足和邊界條件g(tf)=CT(tf)Fz(tf)41習(xí)題1、取極小值的最優(yōu)求使，其中反饋控制，又問(wèn)是否漸近穩(wěn)定？試用兩種以上方法求反饋控制u*使J取小值。2、，，，42試求反饋控制u*使J取小值。3、，，，(1)試求反饋控制u*使J取小值。4、(2)求試m、n使閉環(huán)系統(tǒng)的特征值(極點(diǎn))為(-2，-2)。43最短時(shí)間問(wèn)題非線性系統(tǒng)控制變量不等式約束性能指標(biāo)或?qū)憺楣谞柕呛瘮?shù)44則最優(yōu)控制律45如果對(duì)每一個(gè)j，在區(qū)間[t0，tf]上除有限個(gè)孤立的點(diǎn)t1j，t2j，…，外，都有。只有當(dāng)t=t1j，t2j，…，時(shí)才有。則稱最優(yōu)控制問(wèn)題是非奇異或正常的。如果對(duì)每一個(gè)j，在區(qū)間[t0，tf]上存在一個(gè)或若干個(gè)子區(qū)間[t1j，t2j]對(duì)于某個(gè)或某幾個(gè)控制分量uj有則稱最優(yōu)控制問(wèn)題是奇異的。，對(duì)一切46

奇異最優(yōu)控制問(wèn)題并不意味著最優(yōu)控制不存在，僅僅表明不能從哈米爾登函數(shù)對(duì)u(t)取極小這個(gè)條件來(lái)確定最優(yōu)控制u*(t)，要確定奇異區(qū)間里的最優(yōu)控制u*(t)，還必需利用極小值原理的其它必要條件。奇異最優(yōu)控制問(wèn)題是值得專門(mén)研究的最優(yōu)控制問(wèn)題。對(duì)于最優(yōu)控制問(wèn)題，如果：1)哈米爾登函數(shù)是控制矢量的線性函數(shù)，或者說(shuō)，控制矢量在系統(tǒng)方程和性能指標(biāo)中是以線性形式出現(xiàn)的，2)控制變量有上下界，3)最優(yōu)控制是非奇異的，那么，最優(yōu)控制律uj*(t)將是時(shí)間的分段恒值函數(shù)。它在的點(diǎn)上產(chǎn)生跳變。這就是砰－砰控制原理。47線性定常系統(tǒng)的最速控制問(wèn)題給定完全能控的線性時(shí)不變系統(tǒng)控制變量不等式約束性能指標(biāo)必要條件（規(guī)范方程）邊界條件x(0)=x0，x(tf)=0控制律48

開(kāi)關(guān)次數(shù)定理對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)如果最短時(shí)間問(wèn)題是平凡的，控制為砰－砰控制，且矩陣A的特征值全部為實(shí)數(shù)，則最優(yōu)控制的切換次數(shù)不大于n-1。n為系統(tǒng)的階數(shù)。

奇異性判定最小時(shí)間線性定常系統(tǒng)為正常系統(tǒng)的充要條件是控制矩陣B的所有列向量bj滿足最優(yōu)狀態(tài)反饋控制律可表示成式中hj[x*(t)]稱為開(kāi)關(guān)函數(shù)。如果求出了開(kāi)關(guān)函數(shù)，便可以構(gòu)成采用狀態(tài)反饋的閉環(huán)控制。49例題

例

求從原點(diǎn)（0，0，0）至平面

的最短距離。解原點(diǎn)至空間任何一點(diǎn)的距離的平方為

要使極小，而點(diǎn)必須在所規(guī)定的平面上。50這是一個(gè)條件極值問(wèn)題。作拉格朗日函數(shù)

極值的必要條件為51

聯(lián)立求解上面四個(gè)方程可得

可能的極值點(diǎn)坐標(biāo)為52根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)可以判斷極小值存在且是唯一的。故上面的即是極小點(diǎn)的坐標(biāo)。將極小點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)中，即可求出最短距離的平方為此問(wèn)題的約束方程是、、的線性函數(shù)，因此容易用“消去法”來(lái)求極值點(diǎn)。例如，從中解出，將它用、表示，于是問(wèn)題就化為求二元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題。讀者可自行驗(yàn)證這樣做的結(jié)果與拉格朗日乘子法的結(jié)果是一樣的。53例求由y(0)＝1出發(fā)，終端落到y(tǒng)=2－x上且使最小的y*(x)。物理意義是：求起點(diǎn)至目標(biāo)集直線上最短路徑y(tǒng)*(x)，也就是求勻速運(yùn)動(dòng)的物體，起點(diǎn)至目標(biāo)集直線上最小時(shí)間的路徑y(tǒng)*(x)。解被積函數(shù)Euler方程是解Euler方程得54正交性條件即則可解得55例已知求，使

取極值。解泛函的被積函數(shù)等價(jià)為Euler方程組是用變分法解最優(yōu)控制問(wèn)題56代入原約束(狀態(tài)方程)有從而可得再由可得，故(開(kāi)環(huán)最優(yōu)控制)57解哈密爾頓函數(shù)例