桿的內(nèi)力課件

第六章桿件的內(nèi)力1ChapterSixInternalForces26.1內(nèi)力定義和符號(hào)規(guī)定6.2內(nèi)力方程及內(nèi)力圖6.3梁的平衡微分方程及其應(yīng)用本章內(nèi)容小結(jié)本章基本要求背景材料綜合訓(xùn)練3準(zhǔn)確理解桿件內(nèi)力的定義和符號(hào)規(guī)定。能利用截面法建立內(nèi)力方程，能迅速求出指定截面的內(nèi)力。深入理解梁中彎矩、剪力和分布荷載之間的微分關(guān)系，并能利用這些關(guān)系熟練地畫(huà)出梁的剪力彎矩圖。本章基本要求56.1內(nèi)力

(internalforces)定義和符號(hào)規(guī)定內(nèi)力是分布力系。但是可以將復(fù)雜的分布力系簡(jiǎn)化為形心上的主矢和主矩。這種主矢和主矩對(duì)于該橫截面引起何種變形效應(yīng)？1.內(nèi)力的定義6xyzFxxyzxyzFxxyzxyzFyxyzFyxyzxyzFzxyzFzxyzxyzMxxyzMxxyzxyzMyxyzMyxyzxyzMzMzxyzxyzxyz主矢主矩Fx

軸力

FN

(axialforce)Fy

剪力

FSy

(shearingforce)Fz

剪力

FSzMx

扭矩

T(torque)

My

彎矩

My

(bendingmoment)Mz

彎矩

Mz6.1內(nèi)力

(internalforces)定義和符號(hào)規(guī)定1.內(nèi)力的定義73.內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定內(nèi)力符號(hào)規(guī)定的原則在一個(gè)橫截面上，同一種內(nèi)力只能有唯一的符號(hào)。內(nèi)力的符號(hào)是根據(jù)它所引起桿件的變形趨勢(shì)規(guī)定的。在一個(gè)橫截面的兩側(cè)，軸力的“方向”是相反的。應(yīng)該用什么方式來(lái)確定軸力和其它內(nèi)力的符號(hào)？9軸力的正號(hào)使微元區(qū)段有伸長(zhǎng)趨勢(shì)的軸力為正。軸力的負(fù)號(hào)10扭矩的正號(hào)扭矩的負(fù)號(hào)使微元區(qū)段表面縱線有變?yōu)橛沂致菪€趨勢(shì)的扭矩為正。11彎矩的正號(hào)彎矩的負(fù)號(hào)使微元區(qū)段有變凹趨勢(shì)的彎矩為正。136.2內(nèi)力方程及內(nèi)力圖依據(jù)

桿件整體平衡時(shí)，它的任何一個(gè)局部也平衡。在桿件的任意局部區(qū)段中，所有外力與內(nèi)力構(gòu)成平衡力系。用截面法求內(nèi)力方程14方法和步驟1)在必要和可能的條件下，先求出約束反力。

3)留下部分的所有內(nèi)力、外力（包括約束反力）按照理論力學(xué)的符號(hào)規(guī)定建立力或力矩的平衡方程式。4)求解方程即可得內(nèi)力。若所得內(nèi)力為負(fù)值，表明實(shí)際內(nèi)力方向與設(shè)想方向相反。2)在指定的位置，想象用一個(gè)截面將桿件切開(kāi)。留下一部分作為研究對(duì)象，舍去另一部分。舍去部分對(duì)留下部分的作用就是內(nèi)力。一般可將這種內(nèi)力作用的方向假設(shè)為正內(nèi)力方向（即

設(shè)正法）。

15hHP

gxx

gxPx

gxPx

gxPFN1hHP

gxxP

gxxP

gxxFN2P

gxhH例

如圖的塔的材料密度為ρ，塔中了望臺(tái)總重

P，塔外徑為

D，內(nèi)徑為

d，求橫截面上的軸力。17xFN2P

gxhH例

如圖的塔的材料密度為ρ，塔中了望臺(tái)總重

P，塔外徑為

D，內(nèi)徑為

d，求橫截面上的軸力。18xFN2P

gxhHhHhHP

gx軸力圖例

如圖的塔的材料密度為ρ，塔中了望臺(tái)總重

P，塔外徑為

D，內(nèi)徑為

d，求橫截面上的軸力。xFNxFNxFNxFNxFNFNxHh192015040mtABC例

使用絲錐時(shí)每手用力10N，假定各錐齒上受力相等，試畫(huà)出絲錐的扭矩圖。作用在絲錐頂部的力偶矩作用在齒部的平均力偶矩計(jì)算模型如圖分析

錐齒段外力偶矩可簡(jiǎn)化為均布力偶矩。人加荷載簡(jiǎn)化為集中力偶矩。212015040在AB區(qū)段取截面，易得扭矩為常數(shù)m。mtABCC截面處扭矩為零。在BC區(qū)段內(nèi)，扭矩線性地減小。xT30004060扭矩圖22qLLqL

/

2qL

/

2qxxyLqL

/

2qL

/

2qqxxyqL

/

2LqxxyFSMLqL

/

2例

求承受均布荷載的簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力方程，并畫(huà)出相應(yīng)的剪力圖和彎矩圖。結(jié)論直梁某個(gè)橫截面上的剪力，其數(shù)值等于該截面左端（或右端）全部橫向力（包括支反力）的代數(shù)和。先求支反力。建立坐標(biāo)系并取截面。23結(jié)論

直梁某個(gè)橫截面上的彎矩，其數(shù)值等于該截面左端（或右端）全部力偶矩以及全部作用力（包括支反力）對(duì)該截面矩的代數(shù)和。例

求承受均布荷載的簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力方程，并畫(huà)出相應(yīng)的剪力圖和彎矩圖。qxxyFSMLqL

/

225結(jié)論

直梁某個(gè)橫截面上的彎矩，其數(shù)值等于該截面左端（或右端）全部力偶矩以及全部作用力（包括支反力）對(duì)該截面矩的代數(shù)和。qxxyFSMLqL

/

2例

求承受均布荷載的簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力方程，并畫(huà)出相應(yīng)的剪力圖和彎矩圖。26qa2a2Pa2a2動(dòng)腦又動(dòng)筆下列各截面上的彎矩為多少？PLqL29分析和討論如何分析下列結(jié)構(gòu)中主梁的剪力和彎矩？2kN1m1m2kNm1m2kN1m1m2kNm1m2kNm0.5m2kN1m1m1m1m1m1m1

kNm306.3梁的平衡微分方程及其應(yīng)用如何畫(huà)出如圖結(jié)構(gòu)的剪力圖和彎矩圖？需要分段寫(xiě)出剪力方程和彎矩方程。qaqaaaqa2/

231qaqaaaqa2/

2控制面分布荷載的起始點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)構(gòu)成控制面。集中力或集中力偶矩作用處的左側(cè)面和右側(cè)面構(gòu)成控制面。兩個(gè)控制面之間的荷載：直線曲線躍變qaqaxFSxMqa2/

2qa2兩個(gè)控制面之間的圖形：分布荷載（包括荷載為零）集中力集中力偶矩32qFm兩個(gè)控制面之間的典型荷載分布荷載（包括荷載為零）集中力集中力偶矩xy建立如圖的坐標(biāo)系33qMM+dMdxFSFS+dFS重要公式xFqddS=xMFddS=二階小量6.3.1梁承受分布荷載的情況

梁的平衡微分方程

(differentialequationsofequilibrium)34重要結(jié)論

直梁

B截面上的剪力，等于

A截面上的剪力與

AB區(qū)間內(nèi)荷載圖面積的代數(shù)和。重要結(jié)論

直梁

B截面上的彎矩，等于

A截面上的彎矩與

AB區(qū)間內(nèi)剪力圖面積的代數(shù)和。ABFSMSABFSMABSSFSMABFSABFS注意

此處的“面積”位于橫軸下方則為負(fù)數(shù)。ABq(x)ABq(x)控制面AB之間只有分布荷載作用35剪力彎矩圖的規(guī)律均布荷載ABFSABFS剪力圖線穿過(guò)橫軸：ABqaqaABMSSSABMABMS直線二次拋物線出現(xiàn)極值36FF

xFF6.3.2梁承受集中荷載的情況

小量集中力

F的作用使剪力在其作用處產(chǎn)生一個(gè)增量，增量的幅度就是

F。集中力作用處彎矩值是連續(xù)的。集中力qFmxy376.3.2梁承受集中荷載的情況

AFSF剪力彎矩圖規(guī)律剪力圖產(chǎn)生躍變彎矩圖產(chǎn)生尖角AM集中力作用處彎矩圖是光滑的嗎？qFmxyF集中力38m

xmmqFmxy6.3.2梁承受集中荷載的情況

集中力偶矩集中力偶矩作用處剪力值是連續(xù)的。集中力偶矩

m的作用使彎矩在其作用處產(chǎn)生一個(gè)增量，增量的幅度就是

m。小量39AM剪力彎矩圖規(guī)律剪力圖不受影響彎矩圖產(chǎn)生躍變AFSm集中力偶矩作用處剪力圖是光滑的嗎？qFmxy6.3.2梁承受集中荷載的情況

m集中力偶矩40如何利用荷載、剪力和彎矩之間的關(guān)系不經(jīng)建立剪力彎矩方程而直接畫(huà)出剪力彎矩圖？6.3.3根據(jù)外荷載畫(huà)剪力彎矩圖荷載形式、剪力圖和彎矩圖之間的關(guān)系41均布力

qq0FS

0MCFS

>0FS

<

0剪力圖彎矩圖q>0q<042集中力P集中力偶矩m不受影響向上躍變P向下躍變P向上躍變m向下躍變m彎矩圖順時(shí)針逆時(shí)針剪力圖不受影響43L

/

2L

/

2PLPxMxFSPPL/

2PL

/

2P例

畫(huà)出梁的剪力彎矩圖。先求支反力。xy44a

/

2a

/

2qABCxFS3qa

/

8qa

/

83a

/

89qa2/

1283qa

/

8qa

/

8例

畫(huà)出梁的剪力彎矩圖。先求支反力。xyxM45FSxq2aa

qa2

3a

/

23qa

/

2qa

/

2

qa2

9qa2/

8qa

/

23qa

/

2例

畫(huà)出梁的剪力彎矩圖。先求支反力。xM46根據(jù)外荷載直接畫(huà)剪力圖彎矩圖的要點(diǎn)：1)首先求出支反力及支反力偶矩。求出之后，支反力及力偶矩便與外荷載同等看待。2)一般應(yīng)從左到右地依次畫(huà)出連續(xù)的圖線。應(yīng)根據(jù)荷載、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系明確圖線的走向。3)圖形最右端的結(jié)束點(diǎn)應(yīng)該在橫軸上。4)注意標(biāo)出圖形峰點(diǎn)、局部極值點(diǎn)的數(shù)值。47PaaaPxFSxFSPPaaMx動(dòng)腦又動(dòng)筆PPPaPPaPaPPPPaMx48q2qaaaq2qaaaqaqaqa2

/

2例

畫(huà)出梁的剪力彎矩圖。結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)荷載對(duì)稱(chēng)剪力圖反對(duì)稱(chēng)彎矩圖對(duì)稱(chēng)xFSMx49xFSaaqqqa2/

8qa

/

2qa

/

2qa

/

2qa2/

8qa

/

2qa

/

2例

畫(huà)出梁的剪力彎矩圖。結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)荷載反對(duì)稱(chēng)剪力圖對(duì)稱(chēng)彎矩圖反對(duì)稱(chēng)Mx50◆

在鉸連接處，如果沒(méi)有集中力偶矩作用，其彎矩應(yīng)為零?！?/p>

在自由端處，如果沒(méi)有集中力作用，其剪力應(yīng)為零；如果沒(méi)有集中力偶矩作用，其彎矩應(yīng)為零。加快畫(huà)圖速度的若干技巧◆

對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)承受對(duì)稱(chēng)荷載，其剪力圖反對(duì)稱(chēng)，彎矩圖對(duì)稱(chēng)?！?/p>

對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)承受反對(duì)稱(chēng)荷載，其剪力圖對(duì)稱(chēng)，彎矩圖反對(duì)稱(chēng)。51qaaqaaqaaqa

/

2qa

/2qaaqa

/2qa

/

2qa

/2qaaqa

/2qa

/

2qa

/2qaaqa

/2qa

/

2qa

/2qa

/

2qa2/2qaaqa

/2qa

/

2qa

/

2qa2/2qa

/2xMFSx例

畫(huà)出帶中間鉸的梁的剪力彎矩圖。先考慮右半部的平衡。再考慮左半部的平衡。qa

/

2qa

/

2qa2/

2qa2/

852PPa

/

2Pa

/

2P

/

2P

/

2例

畫(huà)出帶中間鉸的梁的剪力彎矩圖。aaaP

/

2P

/

2P

/

2Pa

/

2P

/

253aaaaaaPPPaPPa分析和討論荷載作用在中間鉸處，在左端鉸處引起支反力嗎？在左半部引起內(nèi)力嗎？在左半部引起變形嗎？在左半部引起位移嗎？例

畫(huà)出帶中間鉸的梁的剪力彎矩圖。54mmm

/

2am

/

2amm

/

2am

/

2am

/

2amm

/

2am

/

2am

/

2am

/

2am

/

2mmmm

/

2a3m

/

2mmmmm

/

2am

/

2am

/

2am

/

2a3m

/

2m例

畫(huà)出帶中間鉸的梁的剪力彎矩圖。aaa55aa2aqqa2FSxqa

/

47qa

/

4例改正剪力彎矩圖的錯(cuò)誤。MxMxqa2/4Mxqa2/45qa2/4Mxqa2/45qa2/43qa2/2Mxqa2/45qa2/43qa2/2Mxqa2/45qa2/4qa/4xFSqa/4xFSqa/47qa/4xFSqa/47qa/4xFS56分析和討論如果已知剪力圖，可以完全確定彎矩圖嗎？在把約束視為外荷載的前提下，已知剪力圖，可以完全確定荷載圖嗎？如果已知彎矩圖，可以完全確定剪力圖嗎？在把約束視為外荷載的前提下，已知彎矩圖，可以完全確定荷載圖嗎？57例根據(jù)剪力圖畫(huà)荷載圖和彎矩圖（無(wú)集中力偶矩作用）。6kNm4kNm4.5kNm3kN4kN2kN3kN1kN/m2m2mFS3kN1kN3kN1kNx4mxM分析

根據(jù)剪力圖在截面上的躍變情況可確定該截面的集中力，根據(jù)剪力圖在兩截面之間的變化情況可確定分布力。

由于無(wú)集中力偶矩作用，根據(jù)剪力圖和荷載圖即可確定彎矩。58例根據(jù)彎矩圖畫(huà)剪力圖荷載圖。M1m3m1m1

kNm1

kNm2

kNmxFSx1kN1kN1kN2kN1kN3kNm1kNm596.3.4梁中彎矩的峰值qa2/4qa2/32qa2/2Mx1kNmM3kNm2kNmx峰值峰值峰值峰值峰值峰值梁的強(qiáng)度將取決于彎矩的峰值。彎矩的峰值出現(xiàn)在：剪力為零處——分布荷載作用的區(qū)段內(nèi)剪力躍變處——集中力作用處（包括梁支座處）彎矩躍變處——集中力偶矩作用處60L=2mBAq=3kN/mm1=3kNmm2=1kNmFSx2kN1.33mxM4kN3kNm0.33kNm1kNm先求支反力。例畫(huà)出圖示梁的剪力彎矩圖，求絕對(duì)值最大的彎矩。絕對(duì)值最大的彎矩在左端處，值為3kNm。注意

在考慮彎矩的極值時(shí)，應(yīng)注意梁的端點(diǎn)或支承處的彎矩的絕對(duì)值也可能構(gòu)成全梁中的最大值。4kN2kN61例

如圖擋水板每間隔兩米由一立樁加固。立樁下端與地基固結(jié)。水的重度，求立樁中彎矩

M

沿水深的變化規(guī)律，并求彎矩極值。剪力：荷載：彎矩：1m1m2m2m2mB

2m2mz

一

根立樁的擋水寬度B

為2m。立樁可視為下端固定的懸臂梁。自水面向下取坐標(biāo)系。

一

根立樁的擋水寬度B

為2m。立樁可視為下端固定的懸臂梁。自水面向下取坐標(biāo)系。

一

根立樁的擋水寬度B

為2m。立樁可視為下端固定的懸臂梁。自水面向下取坐標(biāo)系。62

一

根立樁的擋水寬度B

為2m。立樁可視為下端固定的懸臂梁。自水面向下取坐標(biāo)系。例

如圖擋水板每間隔兩米由一立樁加固。立樁下端與地基固結(jié)。水的重度，求立樁中彎矩

M

沿水深的變化規(guī)律，并求彎矩極值。剪力：荷載：彎矩：2mz63彎矩極值：2mz彎矩極值的直接求法：2mzqmax剪力：彎矩：荷載：注意

在彎矩在所考慮的區(qū)域中是單調(diào)遞增（或遞減）的情況下，峰值必然出現(xiàn)在區(qū)域的端點(diǎn)處。2mzFH

/

36465qLBAqLAB例承受均布荷載的梁中，兩支座可以在水平方向上移動(dòng)。兩支座移動(dòng)到什么位置上才能使梁中絕對(duì)值最大的彎矩為最?。糠治?/p>

兩支座必須對(duì)稱(chēng)移動(dòng)，才能使梁中的彎矩絕對(duì)值為最小。考慮當(dāng)a增大時(shí)梁中的彎矩變化情況，判定彎矩的峰值出現(xiàn)在何處。彎矩的峰值出現(xiàn)在C、D截面。qLBAaaCDqACDBqACDBqACDBMCMDqACDBqACDBqACDB分別列出C、D截面的彎矩與a的函數(shù)關(guān)系，考慮其變化規(guī)律，從而確定a的大小。qLBAaaCD66MCMDC、D截面彎矩MaMqL28

L

4

L

2

aqL28

MCMqL28

L

4

L

2

aqL28

MCMDMqL28

L

4

L

2

aqL28

MCMDMDMqL28

L

4

L

2

aqL28

MCMDMD只有C、D

截面彎矩的絕對(duì)值相等時(shí)，才能使最大絕對(duì)值彎矩為最小。qLBAaaCD67WF68例

起重機(jī)自重

W

50kN，起吊最大重物

F10kN，求橫梁中的最大彎矩。WF1m1m10kN4mL

10mCDW

+

FFCD

Fa起重機(jī)對(duì)橫梁的作用應(yīng)該如何簡(jiǎn)化？F

2mP1P2L

10mCABD起重機(jī)對(duì)橫梁的作用是否可以簡(jiǎn)化為一個(gè)力和一個(gè)集中力偶矩？69例

起重機(jī)自重

W

50kN，起吊最大重物

F10kN，求橫梁中的最大彎矩。先考慮起重機(jī)對(duì)橫梁的作用。

以小車(chē)為研究對(duì)象。求C處支反力。設(shè)小車(chē)左輪到左端鉸的距離為

。F

2mP1P2L

10mCABDWF1m1m10kN4mP2CDP1WF1m1m10kN4mAP2CDWF1m1m10kN4mBP1L

10mCDF

2mP1P2L

10mCABDP1P2L

10mCABDRDRC

2m70例

起重機(jī)自重

W

50kN，起吊最大重物

F10kN，求橫梁中的最大彎矩。先考慮起重機(jī)對(duì)橫梁的作用。

以小車(chē)為研究對(duì)象。求C處支反力。設(shè)小車(chē)左輪到左端鉸的距離為

。P1P2L

10mCABDRDRC

2m71P1P2L

10mCABDRDRC

2m彎矩極大值出現(xiàn)在A截面或B截面。梁中彎矩圖呈如圖形狀，MBMAA