第3-2定積分的概念與性質(zhì)

一、定積分的概念第二節(jié)定積分(之一)二、定積分的性質(zhì)引例曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線兩直線所圍成,求其面積A.矩形面積梯形面積解決步驟:1)

分割.在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n

個(gè)小曲邊梯形;2)

近似替代.在第i

個(gè)小曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)小曲邊梯形面積得3)近似求和.4)取極限.令則曲邊梯形面積一、定積分定義(P71)在[a,b]內(nèi)任一分法任取總趨于確定的極限

I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時(shí)稱

f(x)在[a,b]上可積

.記作積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和注：定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無關(guān),即定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和(3)一般f(x),

例1.利用定積分的幾何意義求定積分的值：

解：被積函數(shù)為由定積分的幾何意義知此定積分等于由曲線及x軸，x=-1,x=1所圍成的圖形面積.例3.利用定義計(jì)算定積分取解:將[0,1]n

等分,分點(diǎn)為定積分的充分條件:定理1.定理2.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)(證明略)二、定積分的性質(zhì)證:=右端擴(kuò)展:(k為常數(shù))abxyk注:

a,b,c

為任意實(shí)數(shù).證:

當(dāng)時(shí),因在上可積,所以在分割區(qū)間時(shí),可以永遠(yuǎn)取

c

為分點(diǎn),于是當(dāng)a,b,c

的相對位置任意時(shí),例如則有5.

若在[a,b]

上則證:推論1.

若在[a,b]上則例4.比較解:設(shè)則即推論2.證:即6.

設(shè)則例6.

估計(jì)積分解：是增函數(shù)，所以7.

定積分中值定理則至少存在一點(diǎn)使證:則由性質(zhì)6可得所以使因此定理成立.故說明:

幾何解釋：使得該矩形的面積等于曲邊梯形的面積.

積分中值定理對在[a,b]上，至少存在一點(diǎn)內(nèi)容小結(jié)1.定積分的定義:特殊和式的極限．4.定積分的性質(zhì)3.定積分的幾何意義分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分取極限２．定積分的思想和方法：作業(yè)練習(xí)題3.2（P75）：1,2觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)