第2章信號轉(zhuǎn)換與z變換2

第2章信號轉(zhuǎn)換與z變換信息學(xué)院·周瑋zhouwei@二○一一年一月計算機控制系統(tǒng)本章內(nèi)容:信號變換原理采樣信號恢復(fù)與保持器信號轉(zhuǎn)換的工程化技術(shù)

z變換/z反變換擴展z變換2.2信號變換原理2.2.1計算機控制系統(tǒng)信號轉(zhuǎn)換分析圖2.1計算機控制系統(tǒng)前后的信號轉(zhuǎn)換關(guān)系

2.2.1計算機控制系統(tǒng)信號轉(zhuǎn)換分析模擬信號：時間上連續(xù)，幅值上也是連續(xù)的信號，

即通常所說的連續(xù)信號。采樣信號：時間上離散，幅值上連續(xù)的信號。數(shù)字信號：時間上離散，幅值上也離散且已經(jīng)量化的信號，可用一序列數(shù)字表示。量化：采用一組數(shù)碼（多用二進制數(shù)碼）來逼近離散模擬信號的幅值，將模擬信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號。采樣：利用采樣開關(guān)，將模擬信號按一定時間間隔抽樣成離散模擬信號的過程。*表示離散化。采樣器采樣信號量化數(shù)字信號模擬信號D/A轉(zhuǎn)換——A/D變換——模擬信號、采樣信號、數(shù)字信號之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系計算機控制系統(tǒng)信息轉(zhuǎn)換圖

計算機運算和處理的是數(shù)字信號，實際系統(tǒng)中被控對象的數(shù)學(xué)描述大多是模擬信號。計算機與被控對象組成的閉環(huán)反饋系統(tǒng)中信號類型是不統(tǒng)一的，為了設(shè)計與分析計算機控制系統(tǒng)，必須對模擬信號進行采樣和量化，把數(shù)字信號復(fù)現(xiàn)成模擬信號，即對兩種信息進行變換。模擬信號到數(shù)字信號的信息變換。2.2.2采樣過程及采樣函數(shù)的數(shù)學(xué)表示數(shù)字控制器保持器被控對象輸出y(t)u(t)u*(t)e*(t)T-y*(t)x*(t)輸入x(t)T計算機控制系統(tǒng)方框圖f(t)t0(b)連續(xù)信號f(t)f*(t)(a)采樣開關(guān)T(c)開關(guān)函數(shù)KT05T3TT7T1P(t)f

*(t)kT05T3TT7T1(d)采樣信號調(diào)制器f(t)f

*(t)P(t)(e)采樣過程f

*(t)=p(t)f

(t)

因<<

T，所以分析時可近似認(rèn)為=0，以單位脈沖函數(shù)δ(t)代替p(t)。

理論表達形式：δ(t)＝{0∞

t=0t≠0工程表達形式：δ(t)＝{01

t=0t≠0理想單位脈沖δT(t)定義：理想單位脈沖序列δT(t)：數(shù)學(xué)表達式：δT(t)t0T2T考慮物理上可實現(xiàn)，又可近似為：可見，具有采樣信號的特性。

連續(xù)函數(shù)f(t)，經(jīng)一個以T為周期的脈沖采樣器調(diào)制后可以得到采樣函數(shù)。由模擬信號到數(shù)字信號的信息變換，信息變換的可靠性。2.2.3采樣函數(shù)的頻譜分析及采樣定理數(shù)字控制器保持器被控對象輸出y(t)u(t)u*(t)e*(t)T-y*(t)x*(t)輸入x(t)T計算機控制系統(tǒng)方框圖在時間內(nèi)，有采樣函數(shù)的一般表達式為是周期函數(shù)，可以展成傅氏級數(shù)（Fourier）:其中采樣角頻率：傅氏系數(shù)：于是得到：于是有：從而得到：于是采樣函數(shù)的拉氏變換式為：定義拉氏變換式：采樣函數(shù)f*(t)的拉氏變換式為：則采樣函數(shù)的傅氏變換式為：根據(jù)拉氏變換復(fù)位移定理得到：令n=-k，得到在令周期函數(shù)，周期為

采樣函數(shù)頻譜與連續(xù)函數(shù)頻譜之間的關(guān)系，即采樣函數(shù)的傅氏變換式：為原連續(xù)函數(shù)f(t)的頻譜，為采樣函數(shù)的頻譜。

被控對象一般具有低通濾波特性，因而f(t)的帶寬是有限的，a為非周期頻譜圖。由于采樣過程會產(chǎn)生高頻頻譜，b為周期頻譜圖。K=0時叫主頻譜，主頻譜就是原連續(xù)函數(shù)的頻譜，只是幅值為原來的1/T。（1）

這時，采樣信號的頻譜是由多個孤立頻譜組成的離散頻譜。如果將經(jīng)過一個頻帶寬帶大于小于的理想濾波器,濾波器輸出就是原連續(xù)函數(shù)f(t)的頻譜。（2）

這時，采樣函數(shù)

的頻譜已變成連續(xù)頻譜。重疊后的頻譜中沒有哪部分與原連續(xù)函數(shù)頻譜相似,采樣信號不能通過低通濾波方法不失真的恢復(fù)原連續(xù)信號。香農(nóng)采樣定理：

“如果一個連續(xù)信號不包含高于頻率的頻率分量（連續(xù)信號中所含頻率分量的最高頻率為），那么就完全可以用周期的均勻采樣值來描述?；蛘哒f，如果采樣頻率，那么就可以從采樣信號中不失真地恢復(fù)原連續(xù)信號”。香農(nóng)采樣定理給出了采樣周期的上限，即采樣頻率的下限。

注意：連續(xù)信號的頻譜是無限帶寬，此時無論怎樣提高采樣頻率，頻譜混疊或多或少都將發(fā)生。為了不失真的使采樣函數(shù)恢復(fù)原連續(xù)函數(shù)：

理論上采樣頻率越高越好，頻率越高復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號的精度越高。系統(tǒng)硬件要求采樣頻率越低越好，采樣頻率越低對系統(tǒng)硬件要求越低，所以在工程實際中往往采用折中的方案。工程上，采樣周期怎樣確定呢？2.2.4采樣周期T的討論

如聲音的最高頻率為4000Hz，當(dāng)采樣頻率為8000Hz時就能夠在計算機中完全復(fù)現(xiàn)聲音信號。

工程上一般不知道系統(tǒng)的最高角頻率，所以常用系統(tǒng)的預(yù)期開環(huán)頻率特性的截止頻率ωc或系統(tǒng)預(yù)期閉環(huán)頻率特性的諧振頻率ω0來確定采樣頻率。

ωs≈10ωc采樣周期選取的一般原則：（1）系統(tǒng)受擾動情況若擾動和噪聲都較小，采樣周期T應(yīng)選大些；對于擾動頻繁和噪聲大的系統(tǒng)，采樣周期T應(yīng)選小些。（2）被控系統(tǒng)動態(tài)特性滯后時間大的系統(tǒng)，采樣周期T應(yīng)選大些；滯后時間小的系統(tǒng)，采樣周期T應(yīng)選小些。（3）控制品質(zhì)指標(biāo)要求若超調(diào)量為主要指標(biāo)，采樣周期T應(yīng)選大些；若希望過渡過程時間短些，采樣周期T應(yīng)選小些。被控參數(shù)采樣周期T(S)主汽壓力、汽包壓力、爐膛負(fù)壓、凝汽器真空、汽包水位、汽機轉(zhuǎn)速1流量、主汽溫度、一般壓力真空和電氣參量3～5一般液位6～8一般溫度10～20成分：Ox,NOx,Sox,COx10－30慢過程采樣周期T的選擇

根據(jù)系統(tǒng)上升時間而定采樣周期，即保證上升時間內(nèi)進行2到4次采樣。設(shè)Tr為上升時間，Nr為上升時間采校次數(shù)，則經(jīng)驗公式為：快過程采樣周期T的選擇：由數(shù)字信號到模擬信號的信息變換。2.3采樣信號恢復(fù)與保持器數(shù)字控制器保持器被控對象輸出y(t)u(t)u*(t)e*(t)T-y*(t)x*(t)輸入x(t)T計算機控制系統(tǒng)方框圖數(shù)字信號的恢復(fù)是指將采樣信號恢復(fù)為模擬信號的過程，物理上能夠?qū)崿F(xiàn)這一過程的裝置稱為保持器。保持器脈沖序列連續(xù)信號

理想的低通濾波器在物理上是不可實現(xiàn)的，在實際中只能用非理想的低通濾波器來代替理想的低通濾波器。理想低通濾波器的截止頻率，并且滿足：

當(dāng)采樣頻率大于時，在被控對象前加一個理想低通濾波器，可以再現(xiàn)主頻譜分量而除掉附加的高頻頻譜分量。

如果有一脈沖序列，從脈沖序列的全部信息中恢復(fù)原來的連續(xù)信號u(t)的過程是由保持器完成的。

u(t)值的復(fù)現(xiàn)是通過多項式外推實現(xiàn)的。即是由t=kT前各采樣時刻的值推算出來。實現(xiàn)這樣外推的一個方法，是利用u(t)的冪級數(shù)展開公式：式中，kT<t<(k+1)T

。各階導(dǎo)數(shù)的近似值用各階差商表示：

由此類推，計算n階導(dǎo)數(shù)的近似值需已知n+1個采樣時刻的瞬時值。若右邊只取前n+1項，便得到n階保持器的數(shù)學(xué)表達式。

由數(shù)字信號到模擬信號的信息變換，信息變換的可靠性。數(shù)字控制器保持器被控對象輸出y(t)u(t)u*(t)e*(t)T-y*(t)x*(t)輸入x(t)T計算機控制系統(tǒng)方框圖

零階保持器是采用恒值外推規(guī)律的保持器，即。它將前一采樣時刻nT的采樣值u(nT)保持到下一采樣時刻(n+1)T，其輸入信號與輸出信號的關(guān)系如圖所示。

2.3.1零階保持器零階保持器輸入輸出關(guān)系a-零階保持器單元方框圖b-零階保持器輸入c-零階保持器輸出零階保持器的單位脈沖響應(yīng)為了便于計算，把脈沖響應(yīng)函數(shù)分解為右圖(b),根據(jù)線性函數(shù)可加性，可表示為：式中，1(t)為單位階躍函數(shù)：由拉氏變換可得零階保持器的傳遞函數(shù)：或式中

令s=j，得零階保持器的頻率特性：零階保持器的幅頻特性如圖所示。它的幅值隨角頻率ω的增大而衰減，具有明顯的低通濾波特性。但是，它不是一個理想的濾波器，除了主頻譜之外，還允許附加高頻譜通過一部分。因此，被恢復(fù)的信號與原信號是有差別的。

零階保持器的幅頻特性

零階保持器的相頻特性從下圖可看出，輸入比輸出平均滯后了T/2時間。零階保持器附加了滯后相位移，增加了系統(tǒng)的不穩(wěn)定因素。

零階保持器的相頻特性零階保持器的頻率特性為：幅頻特性為：相頻特性為：取整函數(shù)開關(guān)特性零階保持器的輸入和輸出信號

若將階梯波輸出信號的各中點連接起來，可以得到一條比連續(xù)信號滯后T/2的曲線，反映了零階保持器的相位滯后特性。零階保持器和一階或高階保持器相比，它具有最小的相位滯后，而且反應(yīng)快，對穩(wěn)定性影響相對減少，再加上容易實現(xiàn)，所以在實際系統(tǒng)中，經(jīng)常采用零階保持器。具有低通濾波特性，但不是一個理想的濾波器零階保持器附加了滯后相位移，增加了系統(tǒng)不穩(wěn)定因素，平均滯后T/2

時間。零階保持器特性：2.3.2一階保持器

取保持器外推式的前兩項，組成一階保持器：圖2.12一階保持器工作情況(a)結(jié)構(gòu)圖(b)單位脈沖響應(yīng)(c)單位脈沖響應(yīng)分解圖2.13一階保持器的脈沖響應(yīng)一階保持器的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)：于是得到一階保持器的傳遞函數(shù)為：頻率特性為：圖2.14一階保持器幅頻與相頻特性（虛線為零階保持器頻率特性）一階保持器特性：一階保持器的幅頻特性比零階保持器的要高。在低頻時相移比零階保持器要小，但在整個頻率范圍內(nèi)相移比零階保持器要大得多，對系統(tǒng)穩(wěn)定不利。結(jié)論：實際上較少采用為什么要進行信息變換？

參考答案：計算機與被控對象組成的閉環(huán)反饋系統(tǒng)的兩種信號類型不統(tǒng)一，必須通過信息轉(zhuǎn)換使信號滿足各環(huán)節(jié)的輸入輸出關(guān)系。模擬信號是怎樣按照一定的時間間隔抽樣成離散信號的呢？參考答案：

連續(xù)函數(shù)f(t)，經(jīng)一個以T為周期的脈沖采樣器調(diào)制后可以得到采樣函數(shù)。幾個問題：參考答案：為了不失真的使采樣函數(shù)恢復(fù)原連續(xù)函數(shù)：采樣函數(shù)怎樣才能不失真地恢復(fù)原連續(xù)信號？工程上，采樣周期怎樣確定呢？參考答案：理論上采樣頻率越高越好，頻率越高復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號的精度越高。系統(tǒng)硬件要求采樣頻率越低越好，采樣頻率越低對系統(tǒng)硬件要求越低，所以在工程實際中往往采用折中的方案。幾個問題：怎樣將計算機的數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號？經(jīng)零階保持器恢復(fù)的信號u*(t)與原連續(xù)函數(shù)u(t)有多大差別？參考答案：幅頻特性：除了允許主頻譜通過之外，還允許附加的高頻頻譜通過一部分。相頻特性：附加了滯后相位移，增加了系統(tǒng)不穩(wěn)定因素。幾個問題：參考答案：當(dāng)時，在被控對象前加一個理想濾波器，可以再現(xiàn)主頻譜分量而除掉附加的高頻分量。這種濾波器叫做保持器。ThankYou!2.4信息轉(zhuǎn)換的工程化技術(shù)2.4.1A/D轉(zhuǎn)換的基本工程化技術(shù)1、A/D轉(zhuǎn)換的性能指標(biāo)（1）A/D精度指轉(zhuǎn)換后所得數(shù)字量相當(dāng)于實際模擬量值的準(zhǔn)確度，即指對應(yīng)一個給定的數(shù)字量的實際模擬量輸入與理論模擬量輸入接近的程度。

A/D轉(zhuǎn)換器精度：數(shù)字部分由A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)決定；模擬部分由比較器、T型網(wǎng)絡(luò)中的電阻以及基準(zhǔn)電源的誤差決定。例如，一個A/D轉(zhuǎn)換器，理論上5V對應(yīng)數(shù)字量800H，但實際上4.997~4.999V均產(chǎn)生數(shù)字量800H，那么絕對誤差將為或者相對誤差將為精度的高低是用誤差來衡量的，誤差大精度低，誤差小精度高。

（2）分辨率指輸出數(shù)字量對輸入模擬量變化的分辨能力，利用它可以決定使輸出數(shù)碼增加（或減少）一位所需要的輸入信號最小變化量。設(shè)A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)為n，則A/D轉(zhuǎn)換器的分辨率為：有時也用最小有效位LSB代表的模擬量來表示，如12位A/D芯片的分辨率為：

如果輸入電壓最大值為5V，則12位A/D芯片能夠分辨的輸入電壓最小變化量為：（3）轉(zhuǎn)換時間從A/D轉(zhuǎn)換的啟動信號加入時起，到獲得數(shù)字輸出信號（與輸入信號對應(yīng)之值）為止所需的時間稱為A/D轉(zhuǎn)換時間。該時間的倒數(shù)稱為轉(zhuǎn)換速率。A/D的位數(shù)越大，則相應(yīng)的轉(zhuǎn)換速率就越慢。逐次逼近式A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換時間為幾微秒~幾百微秒，雙積分式A/D轉(zhuǎn)換器的轉(zhuǎn)換時間為幾十毫秒~幾百毫秒。

啟動A/D轉(zhuǎn)換有內(nèi)、外兩種啟動方式。（4）量程量程指測量的模擬量的變化范圍，一般有單極性（例如0~10V、0~20V）和雙極性（例如-5V~+5V、-10V~+10V）兩種。為了充分發(fā)揮A/D轉(zhuǎn)換器件的分辨率，應(yīng)盡量通過調(diào)理環(huán)節(jié)（放大器）使待轉(zhuǎn)換信號的變化范圍充滿量程。

2、A/D轉(zhuǎn)換的典型芯片ADC0809是一種采用逐次逼近式轉(zhuǎn)換原理的8位8通道的A/D轉(zhuǎn)換器芯片。主要特性參數(shù)如下：分辨率：8位，零位誤差和滿量程誤差均小于0.5LSB；量程：0～5V；通道：8個模擬量輸入通道，有通道地址鎖存、輸出數(shù)據(jù)三態(tài)鎖存功能；轉(zhuǎn)換時間：約為100；工作溫度范圍：-40～+85℃；功耗：15mW；電源：單一的+5V電源供電。

START為A/D轉(zhuǎn)換啟動信號（輸入，高電平有效）；EOC為A/D轉(zhuǎn)換結(jié)束信號（輸出，轉(zhuǎn)換期間該端一直為低電平，當(dāng)A/D轉(zhuǎn)換結(jié)束時，輸出一個高電平）。OE為數(shù)據(jù)輸出允許信號（輸入，高電平有效），當(dāng)A/D轉(zhuǎn)換結(jié)束時，向該端輸入一個高電平，才能打開輸出三態(tài)門，輸出數(shù)字量。

VREF(+)、VREF(－)為基準(zhǔn)電壓引腳，基準(zhǔn)電壓的取值范圍為-10~+10VDC，可視實際情況選擇。A/D轉(zhuǎn)換器的輸入電壓Vin，位數(shù)n，參考電壓VREF(+)、VREF(-)的關(guān)系為：

ADC0809為8位A/D轉(zhuǎn)換器，故n=8。單極性輸入時，若VREF(+)＝5V，VREF(-)＝0V，Vin＝1.5V，則D＝[(1.5-0)/(5-0)]×256＝76.8≈77＝4DH。雙極性輸入時，若VREF(+)＝+5V，VREF(-)＝-5V，Vin＝-1.5V，則D＝[(-1.5+5)/(5+5)]×256＝89.6≈90＝5AH。3、A/D轉(zhuǎn)換芯片的選擇滿足用戶的各種技術(shù)要求

A/D輸出的方式（中斷方式、查詢方式等）

A/D芯片對啟動信號的要求

A/D的轉(zhuǎn)換精度和轉(zhuǎn)換時間穩(wěn)定性及抗干擾能力等。A/D轉(zhuǎn)換器位數(shù)選擇：

設(shè)A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)為n，模擬輸入信號的最大值為A/D轉(zhuǎn)換器的滿刻度，則模擬輸入信號的最小值應(yīng)大于等于A/D轉(zhuǎn)換器的最低有效位。即有

所以模擬輸入信號的最大值模擬輸入信號的最小值4、A/D轉(zhuǎn)換的標(biāo)度變換A物理量A0~Am傳感器信號標(biāo)準(zhǔn)信號B0~Bm數(shù)字信號C0~Cm傳感器變送器A/D進入計算機之前使用工程量進行編程顯示與管理等計算機內(nèi)部標(biāo)度轉(zhuǎn)換相同于上述過程的逆過程XYC假設(shè)映射為線性關(guān)系，于是由得到：由得到若，于是得到由上式得到式中C為計算機已知的數(shù)字量，計算出來的X就是被檢測的工程量。

以PLCS7-200和0~5V標(biāo)準(zhǔn)輸入信號為例。經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換后，得到的數(shù)值是6400~32000,C0=6400，Cm=32000，于是有若溫度傳感器檢測的溫度范圍為-10~60℃，用上述的方程可表達為當(dāng)計算機的A/D轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)，即采樣數(shù)據(jù)為C=16000時，得到X=16.25，意味著此時溫度值為16.25℃。

2.4.2D/A轉(zhuǎn)換的基本工程化技術(shù)1、D/A轉(zhuǎn)換的性能指標(biāo)（1）D/A精度

D/A的精度指實際輸出模擬量值與理論值之間接近的程度，與D/A轉(zhuǎn)換器的字長、基準(zhǔn)電壓有關(guān)，主要由線性誤差、增益誤差及偏移誤差的大小決定。圖2.16D/A轉(zhuǎn)換器的誤差

例如：一個D/A轉(zhuǎn)換器，某二進制數(shù)碼的理論輸出為2.5V，實際輸出值為2.45V，則該D/A轉(zhuǎn)換器的精度為2%。

若已知D/A轉(zhuǎn)換器的精度為±0.1%，則理論輸出為2.5V時，其實際輸出值可在2.5025～2.4975V之間變化。（2）分辨率分辨率指輸入數(shù)字量發(fā)生單位數(shù)碼變化時輸出模擬量的變化量。分辨率也常用數(shù)字量的位數(shù)來表示，如對于分辨率為12位的D/A轉(zhuǎn)換器，表示它可以對滿量程的1/212=1/4096的增量做出反應(yīng)。（3）轉(zhuǎn)換時間從接收一組數(shù)字量時起－到完成轉(zhuǎn)換－輸出模擬量為止所需的時間稱為D/A轉(zhuǎn)換時間。一般為微秒級，有時可以短到幾十納秒。D/A轉(zhuǎn)換器一般具有零階保持功能（數(shù)字鎖存）。（4）輸出電平與代碼形式對于D/A來說，不同型號的D/A轉(zhuǎn)換器的輸出電平相差較大，一般為5V~10V，高壓輸出型的輸出電平可達24V~30V。還有一些電流輸出型，低的有20mA，高的可達3A（一般D/A帶負(fù)載能力不夠，需接入功率放大器）。D/A轉(zhuǎn)換器單極性輸出時，有二進制碼、BCD碼；當(dāng)雙極性輸出時，有原碼、補碼、偏移二進制碼等。2、D/A轉(zhuǎn)換的主要芯片8位D/A轉(zhuǎn)換器芯片DAC0832，有R-2RT型電阻網(wǎng)絡(luò).主要特性參數(shù)如下：輸入數(shù)字量分辨率：8位；電流建立時間：1；精度：1LBS；基準(zhǔn)電壓：-10V~+10V；電源電壓：+5V~+15V；輸入電平：符合TTL電平標(biāo)準(zhǔn)；功耗：20mW。3、D/A轉(zhuǎn)換的輸出信號形式運算放大器A1在電路中起反相比例求和作用，可以實現(xiàn)D/A的單極性輸出。此時，VOUT1、VREF、D7~D0(D)的關(guān)系為：上式說明，對于DAC0832（n=8），若取VREF=5V，當(dāng)D7~D0=00H（0）時，VOUT1=0V。當(dāng)D7~D0=FFH（255）時，VOUT1=-5V；當(dāng)D7~D0=7FH（127）時，VOUT1=-2.5V。

上式說明，對于DAC0832（n=8），若取VREF=5V，當(dāng)D7~D0=00H（0）時，VOUT2=-2.5V；當(dāng)D7~D0=FFH（255）時，VOUT2=2.5V；當(dāng)D7~D0=7FH（127）時，VOUT2=0V。

4、D/A轉(zhuǎn)換芯片的選擇性能滿足要求結(jié)構(gòu)和應(yīng)用上接口方便外圍電路簡單

D/A的轉(zhuǎn)換分辨率

D/A的轉(zhuǎn)換精度和轉(zhuǎn)換時間穩(wěn)定性及抗干擾能力等對于D/A轉(zhuǎn)換器的字長的選擇，可以由計算機控制系統(tǒng)中D/A轉(zhuǎn)換器后面的執(zhí)行機構(gòu)的動態(tài)范圍來選定。設(shè)執(zhí)行機構(gòu)的最大輸入電壓為umax，執(zhí)行機構(gòu)的死區(qū)電壓為uR，D/A轉(zhuǎn)換器的字長為n，則計算機控制系統(tǒng)的最小輸出單位應(yīng)小于執(zhí)行機構(gòu)的死區(qū)電壓，即執(zhí)行機構(gòu)的最大輸入電壓執(zhí)行機構(gòu)的死區(qū)電壓所以5、D/A轉(zhuǎn)換的標(biāo)度變換數(shù)字信號C0~Cm標(biāo)準(zhǔn)信號物理量A0~AmX執(zhí)行機構(gòu)計算機控制系統(tǒng)前向通道（信號出計算機）使用工程量進行編程顯示與管理等計算機內(nèi)部標(biāo)度轉(zhuǎn)換相同于上述過程的逆過程D/A轉(zhuǎn)換C假設(shè)各環(huán)節(jié)的變換皆為線性變換關(guān)系，因此上述過程恰是A/D變換過程中信號變換的逆過程，因此A/D變換過程的標(biāo)度變換公式仍然適用，即上式中，X為計算機內(nèi)部計算得到的物理量，即執(zhí)行機構(gòu)輸出的物理量，范圍為A0~Am；C為與X對應(yīng)的數(shù)字量，即D/A變換前的數(shù)字量，范圍為C0~Cm。ThankYou!的拉普拉斯變換式為的采樣信號為

其拉普拉斯變換式為

引入一個新的復(fù)變量2.5

z變換2.5.1z變換的定義時域s域z域時間序列(信號幅值信息)序列時刻(時間信息)：單位延遲因子z變換定義：一個連續(xù)的函數(shù)可進行拉氏變換，采樣后的函數(shù)同樣可以進行拉氏變換.注：與不是一一對應(yīng)關(guān)系，一個可有無窮多個與之對應(yīng)。

任何采樣時刻為零值的函數(shù)與相加，得曲線，將不改變的采樣值，因而它們的z變換相同。由此可見，采樣函數(shù)與是一一對應(yīng)關(guān)系，與是一一對應(yīng)的，而與不是一一對應(yīng)關(guān)系，一個可有無窮多個與之對應(yīng)。將離散函數(shù)展開如下然后利用公式直接展開2.5.2z變換方法1、級數(shù)求和法（2.50）例2.1求單位階躍函數(shù)1(t)的z變換解：單位階躍函數(shù)1(t)在任何采樣時刻的值均為1代入式（2.50）中，得：（2.51）將式（2.51）兩邊乘以，有：（2.52）上兩式相減，得：所以將兩邊同乘以，得解:根據(jù)公式可得上兩式相減，可以求得例2.2求衰減指數(shù)的z變換。通常無重極點的能夠分解成如下的部分分式形式：式中，與都是復(fù)變量的多項式。利用已知的典型函數(shù)z變換，便可求出各個環(huán)節(jié)的z變換。設(shè)連續(xù)函數(shù)的拉氏變換為有理函數(shù)，具體形式如下：2、部分分式法例2.3求的z變換解：例2.4求的z變換。解：將分解成部分分式：所以上式中等號右邊第一項不常見，查表2.2，得到求拉氏變換式的變換的含義是，將拉氏變換式所代表的連續(xù)函數(shù)進行采樣，然后求它的變換。為此，首先應(yīng)通過拉氏反變換求得連續(xù)函數(shù)，然后對它的采樣序列做變換。

說明：3、留數(shù)計算法若已知連續(xù)時間函數(shù)的拉氏變換式及全部極點，則的z變換可由下面留數(shù)計算公式求得：

極點上的留數(shù)分兩種情況求?。海?）單極點情況

（2）n階重極點情況例2.6求的z變換。解：上式有兩個單極點,于是例2.7求的z變換。解：上式有二重極點,于是2.5.3

z變換的基本定理線性函數(shù)滿足齊次性和迭加性，若1、線性定理、為任意常數(shù)，則右位移函數(shù)表示，相對時間起點延遲了個采樣周期。該定理還表明經(jīng)過一個的純滯后環(huán)節(jié)，相當(dāng)于其時間特性向后移動步。2、滯后定理（右位移定理）如果，則3、超前定理（左位移定理）如果則左位移函數(shù)表示，相對時間起點超前個采樣周期出現(xiàn)。該定理還表明經(jīng)過一個的純超前環(huán)節(jié)，相當(dāng)于其時間特性向前移動步。

3、超前定理（左位移定理）如果則4、初值定理如果的z變換為，而存在，則5、終值定理如果的z變換為，而在z平面以原點為圓心的單位圓上或圓外沒有極點，則在離散控制系統(tǒng)中，與連續(xù)控制系統(tǒng)積分相類似的概念叫疊分，用來表示如果則6、求和定理（疊值定理）如果的z變換為，a是常數(shù)，則7、復(fù)域位移定理8、復(fù)域微分定理如果的z變換為，則如果的z變換為，則9、復(fù)域積分定理10、卷積定理兩個時間序列（或采樣信號）f(k)和g(k)，相應(yīng)的z變換為F(z)和G(z)，當(dāng)時，，的卷積記為，其定義為或則2.6

z反變換從z變換求出的采樣函數(shù)，稱為z反變換，表示為定義：2.6.1長除法用表達式的分子除以分母，得到升冪排列的級數(shù)展開式，即：例2.12求的z反變換。解：首先按的升冪排列的分子和分母，即應(yīng)用長除法于是得到相應(yīng)的脈沖采樣函數(shù)為2.6.2

部分分式法將寫成如下有理式標(biāo)準(zhǔn)形式：對的分母進行因式分解，即(2.77)各個分式所對應(yīng)的時間序列為通常熟悉的指數(shù)序列：1、所有極點是互不相同的單極點例2.13求的z反變換解：將除以z，并展開成部分分式，得上式兩邊乘以z，得于是得到2、F(z)含重極點設(shè)含有二重極點，其余極點互不相同。首先將展開成部分分式第一項的z反變換為例2.15求的z反變換解：對的分母進行因式分解，得首先將展開：

其中上式中的系數(shù)

于是得到2.6.3

留數(shù)法在留數(shù)法中，,采樣函數(shù)等于各個極點上留數(shù)之和。（1）單極點情況：（2）n階重極點情況：例2.16求的z反變換。解：中有兩個單極點，，時，時，于是有：例2.17求的z反變換。解：中有一個單極點和兩個重極點：時，時，于是有：當(dāng)k=0時，式（2.84）中的被積函數(shù)為，它比k>0時的被積函數(shù)多一個z=0的極點。分析F(z)的z有理分式的分子中無z公因子的情況：只適合k>0的情況（2）k=0時刻序列值f(0)，應(yīng)由初值定理確定或令k=0再用式（2.84）來計算。（1）(2.84)原因：當(dāng)時，，含有3個簡單極點：，，。但是，當(dāng)時，只有2個極點，。因此必須分別求以及