大一學(xué)科任務(wù)-高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)提綱

考試范圍

1-5章（每章最后兩節(jié)不做考試要求）第一章不考的內(nèi)容：用數(shù)列與函數(shù)的極限定義來(lái)證明極限存在、雙曲函數(shù)不作要求。第二章：相關(guān)變化率、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用不作要求；復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問題不超過(guò)二階。隱函數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)問題只要求掌握到二階。第三章：只考第一節(jié)、第三節(jié)、第四節(jié)和第五節(jié)內(nèi)容；而且柯西中值定理不作要求第四章：分部積分的遞推公式形式(P193例10不做考試要求)、需要用到三角函數(shù)積化和差等比較復(fù)雜的三角函數(shù)的積分或者含有三次及以上次數(shù)的三角積分不作要求、第四節(jié)有理函數(shù)積分只要求掌握P196例2這種類型、萬(wàn)能公式變換不做要求(即P198例5、例6內(nèi)容不作要求)。

第五章：廣義積分只要求會(huì)用定義求無(wú)窮限的廣義積分，無(wú)界函數(shù)的廣義積分不作要求；定積分在物理上的應(yīng)用不作要求，定積分在幾何中的應(yīng)用只考平面圖形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積(涉及極坐標(biāo)的只考簡(jiǎn)單的)，求平行截面面積已知的立體的體積以及弧長(zhǎng)不做要求。P271的積分表不作要求，P175的積分表還是需要記住自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限(不考定義)

即注意事項(xiàng)：（1）定義中

x→x0的過(guò)程中,

x≠x0

成立。x0y函數(shù)極限的幾何解釋P21

（2）極限值

與函數(shù)f(x)在x0處是否有意義無(wú)關(guān)

左極限

右極限x

僅從x0

的左側(cè)趨于x0

，記作或記作或左極限與右極限P24x

僅從x0

的右側(cè)趨于x0

，沒有意義的點(diǎn)以及分段函數(shù)的交接點(diǎn)求極限的時(shí)候需要考慮左右極限的問題函數(shù)極限的性質(zhì)P24極限唯一性若且，則A=B（1）若，則，使得有有，則設(shè)局部保號(hào)性（2）若存在，使得有，則如何算極限P50數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則P28函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則P29消除零因子=1/4=1P32

如果函數(shù)

f(x)在某個(gè)極限過(guò)程中的極限為零，那么就稱f(x)是此極限過(guò)程的無(wú)窮?。浚o(wú)窮小P26

無(wú)窮小是以零為極限的函數(shù)，不是絕對(duì)值很小的固定數(shù)。但0可以作為無(wú)窮小的唯一的常數(shù)P21

無(wú)窮小與自變量的變化過(guò)程有關(guān)，如時(shí)是無(wú)窮小，但時(shí)，則不是無(wú)窮小。

同一個(gè)極限過(guò)程的兩個(gè)無(wú)窮小的和或差，仍是無(wú)窮小。無(wú)窮小的性質(zhì)P26推論：（1）有限個(gè)無(wú)窮小之和仍是無(wú)窮??；（2）常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小；（3）有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小。有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小。P26

如果函數(shù)f(x)在某個(gè)極限過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值可以無(wú)限增大，那么就稱f(x)是此極限過(guò)程的無(wú)窮大（量）。

只有一種趨勢(shì)包括兩種趨勢(shì)無(wú)窮大P27注意：無(wú)窮大不是很大的數(shù)，而是表示函數(shù)的絕對(duì)值可以無(wú)限增大，反映函數(shù)值的一種變化趨勢(shì)。無(wú)窮小和無(wú)窮大的關(guān)系P27

一般的在同一極限過(guò)程中，無(wú)窮小與無(wú)窮大之間是通過(guò)取倒數(shù)互相轉(zhuǎn)化。重要極限IP35公式特點(diǎn)：湊括號(hào)里面重要極限Ⅰ湊sin練習(xí)P355定義.或設(shè)是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小,若則稱

是比高階的無(wú)窮小,記若則稱

是比低階的無(wú)窮小;若則稱

是的同階無(wú)窮小;若則稱

是關(guān)于的k階無(wú)窮小;若則稱

是

的等價(jià)無(wú)窮小,記作定理2.

設(shè)且存在,則

P42注：在計(jì)算兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限過(guò)程中，可將分子或者分母的乘積因子(或者整體)替換為與其等價(jià)的無(wú)窮小，以簡(jiǎn)化求極限過(guò)程P42熟練記住P42頁(yè)的常用等價(jià)無(wú)窮小量一、函數(shù)的連續(xù)性P44則稱函數(shù)(3)可見,函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)必須具備下列條件:(2)極限存在;定義:在的某鄰域內(nèi)有定義,設(shè)函數(shù)且(1)在點(diǎn)即有定義

,存在;左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類型P46在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式總結(jié)：

初等函數(shù)考慮沒有意義的那些點(diǎn)；

分段函數(shù)考慮沒有意義的和定義域的交接點(diǎn)自變量的增量函數(shù)的增量◆增量的概念P42則有一般地，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)，所以若考慮初等函數(shù)的整體連續(xù)性可以直接說(shuō)在定義域內(nèi)連續(xù)，不需嚴(yán)格證明；而題目要求討論(分段)函數(shù)在某點(diǎn)處的連續(xù)性時(shí)必須用點(diǎn)連續(xù)的概念來(lái)驗(yàn)證，即定理3.(介值定理P54

)設(shè)

且則對(duì)A

與B

之間的任一數(shù)C,一點(diǎn)使至少有推論:在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最大值之間的任何值.CxyoabB

零點(diǎn)存在定理P53

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號(hào),那么，在開區(qū)間(

a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)μ，使得o例證而第一章：極限的定義與性質(zhì)如何求極限連續(xù)的定義與判定間斷點(diǎn)的分類重點(diǎn)：如何求極限；函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)性的討論如何求間斷點(diǎn)以及間斷點(diǎn)的分類無(wú)窮小的比較和等價(jià)無(wú)窮小的靈活運(yùn)用兩個(gè)重要極限連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)(證明題)(零點(diǎn)存在、介值定理

)◆導(dǎo)數(shù)定義的不同形式P71差商解答若要考慮某些參數(shù)取何值時(shí)函數(shù)可導(dǎo)，一般考慮點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式，特別是分段函數(shù)的交接點(diǎn)處必須用到點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式若題目需要考慮兩個(gè)未知參數(shù)取何值時(shí)函數(shù)可導(dǎo)，要結(jié)合點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式并且注意到可導(dǎo)一定連續(xù)，特別是分段函數(shù)的交接點(diǎn)處必須用到點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式◆導(dǎo)數(shù)的幾何意義P74MxyoT法線是過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線的切線方程為法線方程為◆單側(cè)導(dǎo)數(shù)P73

左導(dǎo)數(shù)

右導(dǎo)數(shù)函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在，并且相等。導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是一個(gè)差商的極限例5

已知解因?yàn)樗?/p>

，從而

◆如何求導(dǎo)數(shù)？如果求導(dǎo)函數(shù)，直接用到P84頁(yè)的求導(dǎo)公式即可如果考慮點(diǎn)導(dǎo)數(shù)(特別分段函數(shù)交接點(diǎn))時(shí)要用？函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在，并且相等。◆基本導(dǎo)數(shù)公式P84◆函數(shù)的和差積商的求導(dǎo)法則P78特別推廣注：和差公式可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形

P79◆反函數(shù)的求導(dǎo)法則P79例5

設(shè)，求

P80

記住反三角函數(shù)的求導(dǎo)公式即可◆復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則P81推廣鏈?zhǔn)椒▌t◆對(duì)數(shù)求導(dǎo)法P92對(duì)數(shù)求導(dǎo)法常用于冪指函數(shù)和乘、除、乘方、開方運(yùn)算等函數(shù)的求導(dǎo)。一般地，冪指函數(shù)的求導(dǎo)，可用一般公式：如

規(guī)律：每四階導(dǎo)數(shù)重復(fù)一次；正弦、余弦交替出現(xiàn)。例11解所以即思考：◆由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)P90注意一階導(dǎo)數(shù)也是

t的函數(shù)求由擺線的參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。P94解例16是t的函數(shù)◆隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)P90隱函數(shù)的求導(dǎo)方法——將方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo)，把y看成x的函數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法——方程二階導(dǎo)數(shù)就是一階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)，這時(shí)候要把y看成x的函數(shù)解將方程兩邊同時(shí)對(duì)x

求導(dǎo)，得：將上式兩邊再對(duì)x

求導(dǎo)得：注意y是x的函數(shù)，且二次導(dǎo)數(shù)就是一次導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)例14第二章：導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)如何求導(dǎo)數(shù)(點(diǎn)導(dǎo)數(shù)、公式法，復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程對(duì)數(shù)、冪指函數(shù)、反函數(shù)(只需記住反三角函數(shù)的求導(dǎo)公式即可))微分的定義和求法重點(diǎn)：如何求導(dǎo)數(shù)(點(diǎn)導(dǎo)數(shù)、公式法，復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程對(duì)數(shù)、冪指函數(shù))，包括一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處的可導(dǎo)性以及連續(xù)性的討論◆羅爾定理(2)

在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使

(1)

在閉區(qū)間上連續(xù)(3)

若函數(shù)滿足：推論1：如果函數(shù)f(x)在(a,b)上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么f(x)在(a,b)上是一個(gè)常數(shù)P119推論2：如果函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)都相等，那么這兩個(gè)函數(shù)在(a,b)內(nèi)最多相差一個(gè)常數(shù)P119構(gòu)造有關(guān)的函數(shù)確定應(yīng)用區(qū)間應(yīng)用Lagrange定理計(jì)算導(dǎo)數(shù)后的等式轉(zhuǎn)化為不等式例4解所以所以解題思路：例3

證明證明令而所以而所以◆洛必達(dá)法則P129若不存在也不是無(wú)窮大，則不能使用洛必達(dá)法則（3）形如的未定式

解題方法：將未定式先取自然對(duì)數(shù)、變形，再按情形（1）處理◆其它形式的未定式的定值P131例2

求極限解這是型的未定式，且當(dāng)時(shí)，所以，原式適當(dāng)使用等價(jià)無(wú)窮小替換，再使用洛必達(dá)法則，可簡(jiǎn)化極限運(yùn)算，P133。解令例7

求極限則所以所以◆函數(shù)單調(diào)性的判別定理P135（1）如果函數(shù)在內(nèi)有，則函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)遞增的(P7)。（2）如果函數(shù)在內(nèi)有，則函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)遞減的(P7)。設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則P135的注2小結(jié)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般方法：（1）求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；（2）找出所有的駐點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(P115)；（3）判斷所有駐點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)左右兩邊的符號(hào)；（4）根據(jù)單調(diào)性的判別定理，確定單調(diào)區(qū)間。則，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少。(一般函數(shù)時(shí)候可以考慮特殊值法)◆極值存在的第一充分條件P142設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)（點(diǎn)可除外）則在點(diǎn)處取得極大值；則在點(diǎn)處取得極小值；則在點(diǎn)處無(wú)極值；小結(jié)：求函數(shù)的極值點(diǎn)的一般方法：（1）求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；（2）找出所有的駐點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(P115)；（3）判斷所有駐點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)左右兩邊的符號(hào)；（4）根據(jù)第一充分條件的判別定理，確定極值點(diǎn)。函數(shù)的極值可疑點(diǎn)是駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)?！魳O值存在的第二充分條件P144

注意：第二充分條件只能用于判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，不能判斷不可導(dǎo)點(diǎn)是否為極值點(diǎn)；一般若函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)較易求，且二階導(dǎo)數(shù)不為零時(shí)，使用第二充分條件判別極值較易；而二導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，就需要用到其他方法求函數(shù)最值的一般步驟與方法P145（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）在給定區(qū)間（或定義域）內(nèi)找出所有的駐點(diǎn)及

一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（3）計(jì)算函數(shù)在上述點(diǎn)處的函數(shù)值，以及在端點(diǎn)處的函數(shù)值，并比較其大小，其中最大者即為函數(shù)在區(qū)間上的最大值；最小者即為函數(shù)在區(qū)間上的最小值?！舭纪够〉呐袆e定理P139定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，在該區(qū)間上：（1）當(dāng)時(shí)，曲線弧是凹的；（2）當(dāng)時(shí)，曲線弧是凸的。注:P139拐點(diǎn)是點(diǎn)的坐標(biāo)；駐點(diǎn)、極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)以及最值點(diǎn)都是指x的取值

第三章：主要介紹導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：包括兩個(gè)中值定理；洛必達(dá)法則單調(diào)性；極值點(diǎn)；凹凸性的討論重點(diǎn)：中值定理或者函數(shù)單調(diào)性證明不等式或者根的存在性或者某個(gè)函數(shù)在某個(gè)內(nèi)是一個(gè)常數(shù),極值；凹凸性；最值；洛必達(dá)法則求極限定義2.在區(qū)間

I上全體原函數(shù)稱為上的不定積分,其中P173若則(C為任意常數(shù)

)C

稱為積分常數(shù)不可丟!例如,記作三、不定積分的性質(zhì)P175先積分，后微分，形式不變；先微分，后積分，相差一個(gè)常數(shù)。（是常數(shù)）有限多個(gè)函數(shù)和差的積分等于積分的和差◆不定積分的計(jì)算方法

直接積分法、換元積分法、分部積分法第一類換元積分法第二類換元積分法P1782，3

◆第一換元法P179◆第二換元法P184注：?jiǎn)握{(diào)、可導(dǎo)，且湊微分

一般地：第二類換元法主要是利用三角關(guān)系式P184化根式為三角函數(shù)的有理式，再積分。則對(duì)于令(1)下面，均假設(shè)為各對(duì)應(yīng)反三角函數(shù)的主值區(qū)間。則則對(duì)于對(duì)于令令(2)(3)P18931,30

解令

則P185

求不定積分原式輔助三角形P199

求不定積分解

則令原式直接令根式為u，化根式為有理式◆一般規(guī)律令冪函數(shù)為令冪函數(shù)為兩次使用分部積分公式，返回到原積分，變形，得解

注意：第一次使用分部積分公式時(shí)，u與dv可任選，但第二次使用分部積分公式時(shí)，u與dv的選擇，必須與第一次的選擇同類。令指數(shù)函數(shù)為拆成部分分式之和將真分式分解為部分分式之和．P195上面等式兩邊乘以，則故P196.

求解:

原式第四章：不定積分的定義和性質(zhì)如何求不定積分P175和P187的積分公式表重點(diǎn)：如何求不定積分三、定積分的幾何意義

P215曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和若是奇函數(shù)，則若是偶函數(shù)，則a-a◆定積分的幾何意義P228-aa補(bǔ)充規(guī)定：◆定積分的基本性質(zhì)P216若a>b時(shí)，◆定積分的基本性質(zhì)P216(5).

若在[a,b]上則推論1.

若在

[a,b]

上則推論2.其中是的最小值，是的最大值。設(shè)在上連續(xù)，則在上至少有一點(diǎn)使（定積分之中值定理）◆定積分的基本性質(zhì)P217特別地一般地P221

例4.

求解:原式例1.

求解:設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，是它的任意一個(gè)原函數(shù)，則有◆微積分基本公式——牛頓—萊布尼茲公式P223記作定積分的換元法要注意以下幾點(diǎn)：P227例

定積分的換元法P228換元必須換限解原式定積分的分部積分法小結(jié)

P231

1、u與dv的選擇規(guī)律，與不定積分的規(guī)律完全相同；2、不同之處，僅在于：定積分的計(jì)算需要計(jì)算原函數(shù)的函數(shù)值之差。例

定積分的分部積分法P231已積出的部分要求值解原式◆無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分假設(shè)被積函數(shù)f(x)是連續(xù)函數(shù)，則有如下定義：注意：和都存在時(shí)，

才存在。解當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，若,則廣義積分發(fā)散；若,則廣義積分收斂于的斂散性。P237例2例2

討論廣義積分

綜上所述：當(dāng)時(shí)，廣義積分發(fā)散；當(dāng)時(shí)，廣義積分收斂。◆直角坐標(biāo)系下的平面圖形的面積

P2411、由x=a，x=b,y=0

及

y=f(x)

所圍成的平面圖形的面積為2、由x=