初中數(shù)學(xué)冀教版八年級上冊第十六章軸對稱和中心對稱單元復(fù)習(xí) 市賽獲獎

《第16章軸對稱和中心對稱》一、選擇題1．如圖，羊字象征吉祥和美好，下圖的圖案與羊有關(guān)，其中是軸對稱圖形的有（）A．1個 B．4個 C．3個 D．2個2．等腰三角形兩邊的長分別為2cm和5cm，則這個三角形的周長是（）A．9cm B．12cmC．9cm或12cm D．在9cm或12cm之間3．如圖，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，下列結(jié)論正確的是（）A．PD=PE B．PE=OE C．∠DPO=∠EOP D．PD=OD4．如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點，已知線段PA=3cm，則線段PB的長為（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm5．等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的底邊為（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm6．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線DE交AC于D，交AB于E，下述結(jié)論錯誤的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周長等于AB+BCC．AD=BD=BC D．點D是線段AC的中點7．如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，則∠B的度數(shù)為（）A．30° B．50° C．90° D．100°8．如圖，已知AC∥BD，OA=OC，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠B=∠D B．∠A=∠B C．OA=OB D．AD=BC9．已知M（a，3）和N（4，b）關(guān)于y軸對稱，則（a+b）2023的值為（）A．1 B．﹣1 C．72023 D．﹣7202310．如圖所示，把一個正方形對折兩次后沿虛線剪下，展開后所得的圖形是（）A． B． C． D．二、填空題11．觀察字母A，E，H，O，T，W，X，Z，其中不是軸對稱的字母是．12．如圖，是從鏡中看到的一串?dāng)?shù)字，這串?dāng)?shù)字應(yīng)為．13．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分線，若BC=5cm，BD=3cm，則點D到AB的距離為．14．已知點P關(guān)于x軸的對稱點P′的坐標是（2，3），那么P關(guān)于y軸對稱點P″的坐標是．15．等腰三角形一個頂角和一個底角之和是110°，則頂角是．16．如圖，OE是∠AOB的平分線，BD⊥OA于點D，AC⊥BO于點C，則關(guān)于直線OE對稱的三角形共有對．17．如圖所示，在△ABC中，DE是AC的中垂線，AE=3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長是cm．18．如下圖，在△ADC中，AD=BD=BC，若∠C=25°，則∠ADB=度．三、解答題19．如圖，已知長方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在邊CD上取一點E，將△ADE折疊使點D恰好落在BC邊上的點F，求CE的長．20．如圖，已知線段CD垂直平分線AB，AB平分∠CAD，問AD與BC平行嗎？請說明理由．21．如圖，∠XOY內(nèi)有一點P，在射線OX上找出一點M，在射線OY上找出一點N，使PM+MN+NP最短．22．如圖，在△ABC中，CE、CF分別平分∠ACB和△ACB的外角∠ACG，EF∥BC交AC于點D，求證：DE=DF．23．已知，如圖，在△ABC中，AB＜AC，BC邊上的垂直平分線DE交BC于點D，交AC于點E，AC=8，△ABE的周長為14，求AB的長．24．已知點A（2m+n，2），B（1，n﹣m），當(dāng)m、n分別為何值時，（1）A、B關(guān)于x軸對稱；（2）A、B關(guān)于y軸對稱．25．如圖，AD∥BC，∠DAB的平分線與∠CBA的平分線交于點P，過點P的直線垂直于AD，垂足為D，交BC于點C．試問：點P是線段CD的中點嗎？為什么？

《第16章軸對稱和中心對稱》參考答案與試題解析一、選擇題1．如圖，羊字象征吉祥和美好，下圖的圖案與羊有關(guān)，其中是軸對稱圖形的有（）A．1個 B．4個 C．3個 D．2個【考點】軸對稱圖形．【分析】此題主要是分析漢字的對稱性，美和善都是軸對稱圖形，祥和洋不是對稱圖形．【解答】解：美和善都是軸對稱圖形，祥和洋不是對稱圖形．共2個．故選D．【點評】本題考查了軸對稱圖形，能夠根據(jù)軸對稱圖形的概念，正確分析漢字的對稱性．軸對稱的概念：把其中的一個圖形沿某直線翻折，能夠和另一個圖形完全重合，則兩個圖形關(guān)于某直線對稱．2．等腰三角形兩邊的長分別為2cm和5cm，則這個三角形的周長是（）A．9cm B．12cmC．9cm或12cm D．在9cm或12cm之間【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為2cm和5cm，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．【解答】解：當(dāng)腰長是2cm時，因為2+2＜5，不符合三角形的三邊關(guān)系，應(yīng)排除；當(dāng)腰長是5cm時，因為5+5＞2，符合三角形三邊關(guān)系，此時周長是12cm．故選B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．3．如圖，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，下列結(jié)論正確的是（）A．PD=PE B．PE=OE C．∠DPO=∠EOP D．PD=OD【考點】角平分線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PD=PE．【解答】解：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．故選A．【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點，已知線段PA=3cm，則線段PB的長為（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得PB=PA．【解答】解：∵直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點，∴PB=PA，∵PA=3cm，∴PB=3cm．故選D．【點評】本題考查了線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的底邊為（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．【專題】分類討論．【分析】已知的邊可能是腰，也可能是底邊，應(yīng)分兩種情況進行討論．【解答】解：當(dāng)腰是3cm時，則另兩邊是3cm，7cm．而3+3＜7，不滿足三邊關(guān)系定理，因而應(yīng)舍去．當(dāng)?shù)走吺?cm時，另兩邊長是5cm，5cm．則該等腰三角形的底邊為3cm．故選：B．【點評】本題從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．6．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線DE交AC于D，交AB于E，下述結(jié)論錯誤的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周長等于AB+BCC．AD=BD=BC D．點D是線段AC的中點【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根據(jù)等邊對等角與三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠ABC與∠C的度數(shù)，又由AB的垂直平分線是DE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可求得AD=BD，繼而求得∠ABD的度數(shù)，則可知BD平分∠ABC；可得△BCD的周長等于AB+BC，又可求得∠BDC的度數(shù)，求得AD=BD=BC，則可求得答案；注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C==72°，∵AB的垂直平分線是DE，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=36°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD，∴BD平分∠ABC，故A正確；∴△BCD的周長為：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故B正確；∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴AD=BD=BC，故C正確；∵BD＞CD，∴AD＞CD，∴點D不是線段AC的中點，故D錯誤．故選D．【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識．此題綜合性較強，但難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意等腰三角形的性質(zhì)與等量代換．7．如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，則∠B的度數(shù)為（）A．30° B．50° C．90° D．100°【考點】軸對稱的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【分析】由已知條件，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠C=∠C′=30°，利用三角形的內(nèi)角和等于180°可求答案．【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，∴∠A=∠A′=50°，∠C=∠C′=30°；∴∠B=180°﹣80°=100°．故選D．【點評】主要考查了軸對稱的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和是180度；求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°．8．如圖，已知AC∥BD，OA=OC，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠B=∠D B．∠A=∠B C．OA=OB D．AD=BC【考點】等腰三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【分析】本題可根據(jù)平行線的性質(zhì)和OA=OC的條件來得出∠A、∠B、∠C、∠D四角的大小關(guān)系，進而可判斷各條件的對錯．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠A=∠D，∠C=∠B；又∵OA=OC，∠A=∠C；∴∠A=∠D=∠C=∠B，∴△AOC和△BOD為等腰三角形；∴OA+OB=OC+OD，即AD=BC．所以A、B、D成立；C不一定成立．故選C．【點評】本題較簡單，但構(gòu)思巧妙，結(jié)合了等腰三角形和平行線的性質(zhì)，是一道好題．9．已知M（a，3）和N（4，b）關(guān)于y軸對稱，則（a+b）2023的值為（）A．1 B．﹣1 C．72023 D．﹣72023【考點】關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標．【分析】根據(jù)“關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)”求出a、b，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．【解答】解：∵M（a，3）和N（4，b）關(guān)于y軸對稱，∴a=﹣4，b=3，∴（a+b）2023=（﹣4+3）2023=1．故選A．【點評】本題考查了關(guān)于x軸y軸對稱的點的坐標，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．10．如圖所示，把一個正方形對折兩次后沿虛線剪下，展開后所得的圖形是（）A． B． C． D．【考點】剪紙問題．【分析】此類問題只有動手操作一下，按照題意的順序折疊，剪開，觀察所得的圖形，可得正確的選項．【解答】解：按照題意，動手操作一下，可知展開后所得的圖形是選項B．故選B．【點評】對于一下折疊、展開圖的問題，親自動手操作一下，可以培養(yǎng)空間想象能力．二、填空題11．觀察字母A，E，H，O，T，W，X，Z，其中不是軸對稱的字母是Z．【考點】軸對稱圖形．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念可知．【解答】解：其中不是軸對稱圖形的只有Z．【點評】能夠根據(jù)軸對稱圖形的概念，正確判斷字母的對稱性．12．如圖，是從鏡中看到的一串?dāng)?shù)字，這串?dāng)?shù)字應(yīng)為810076．【考點】鏡面對稱．【專題】幾何圖形問題．【分析】關(guān)于鏡子的像，實際數(shù)字與原來的數(shù)字關(guān)于豎直的線對稱，根據(jù)相應(yīng)數(shù)字的對稱性可得實際數(shù)字．【解答】解：∵是從鏡子中看，∴對稱軸為豎直方向的直線，∵鏡子中數(shù)字的順序與實際數(shù)字順序相反，∴這串?dāng)?shù)字應(yīng)為810076，故答案為：810076．【點評】考查鏡面對稱，得到相應(yīng)的對稱軸是解決本題的關(guān)鍵；若是豎直方向的對稱軸，數(shù)的順序正好相反．13．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分線，若BC=5cm，BD=3cm，則點D到AB的距離為2cm．【考點】角平分線的性質(zhì)．【分析】首先過點D作DE⊥AB于E，由在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得DE=CD，又由BC=5cm，BD=3cm，即可求得CD的長，繼而求得點D到AB的距離．【解答】解：過點D作DE⊥AB于E，∵在△ABC中，∠C=90°，∴DC⊥AC，∵AD是∠BAC的角平分線，∴DE=CD，∵BC=5cm，BD=3cm，∴CD=BC﹣BD=2cm，∴DE=2cm．∴點D到AB的距離為2cm．故答案為：2cm．【點評】此題考查了角平分線的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．14．已知點P關(guān)于x軸的對稱點P′的坐標是（2，3），那么P關(guān)于y軸對稱點P″的坐標是（﹣2，﹣3）．【考點】關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標．【專題】綜合題．【分析】根據(jù)平面直角坐標系中兩點關(guān)于x軸的對稱點的坐標關(guān)系：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)；可知道P點的坐標，再根據(jù)兩點關(guān)于y軸對稱的點的坐標關(guān)系：縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)，得出P″的坐標．【解答】解：∵點P關(guān)于x軸的對稱點P′的坐標是（2，3），根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得P點的坐標是（2，﹣3），根據(jù)兩點關(guān)于y軸對稱的點的坐標關(guān)系：縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)，得出P″的坐標為（﹣2，﹣3），故答案為（﹣2，﹣3）．【點評】本題考查了平面直角坐標系中兩點關(guān)于x軸和y軸對稱，橫縱坐標的關(guān)系，難度適中．15．等腰三角形一個頂角和一個底角之和是110°，則頂角是40°．【考點】等腰三角形的性質(zhì)．【分析】已知給出了兩角的和，可根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出另一個底角，再相減即可求出頂角．【解答】解：依題意得：等腰三角形的頂角和一個底角的和是110°即它的另一個底角為180°﹣110°=70°∵等腰三角形的底角相等故它的一個頂角等于110°﹣70°=40°．故答案為：40°．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)；本題思路比較直接，簡單，屬于基礎(chǔ)題．16．如圖，OE是∠AOB的平分線，BD⊥OA于點D，AC⊥BO于點C，則關(guān)于直線OE對稱的三角形共有4對．【考點】軸對稱圖形．【分析】關(guān)于直線OE對稱的三角形就是全等的三角形，據(jù)此即可判斷．【解答】解：△ODE和△OCE，△OAE和△OBE，△ADE和△BCE，△OCA和△ODB共4對．故答案為：4．【點評】能夠理解對稱的意義，把找對稱三角形的問題轉(zhuǎn)化為找全等三角形的問題，是解決本題的關(guān)鍵．17．如圖所示，在△ABC中，DE是AC的中垂線，AE=3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長是19c【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】由已知條件，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到線段相等，進行線段的等量代換后可得到答案．【解答】解：∵△ABC中，DE是AC的中垂線，∴AD=CD，AE=CE=AC=3cm，∴△ABD得周長=AB+AD+BD=AB+BC=13①則△ABC的周長為AB+BC+AC=AB+BC+6②把②代入①得△ABC的周長=13+6=19cm故答案為：19．【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)；解答此題時要注意利用垂直平分線的性質(zhì)找出題中的等量關(guān)系，進行等量代換，然后求解．18．如下圖，在△ADC中，AD=BD=BC，若∠C=25°，則∠ADB=80度．【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【分析】在等腰△BDC中，可得∠BDC=∠C；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠ABD=50°；進而可在等腰△ABD中，運用三角形內(nèi)角和定理求得∠ADB的度數(shù)．【解答】解：∵BD=BC，∴∠BDC=∠C=25°；∴∠ABD=∠BDC+∠C=50°；△ABD中，AD=BD，∴∠A=∠ABD=50°；故∠ADB=180°﹣∠A﹣∠ABD=80°．故答案為：80．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；利用三角形外角求得∠ABD=50°是正確解答本題的關(guān)鍵．三、解答題19．如圖，已知長方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在邊CD上取一點E，將△ADE折疊使點D恰好落在BC邊上的點F，求CE的長．【考點】勾股定理；翻折變換（折疊問題）．【專題】幾何圖形問題．【分析】要求CE的長，應(yīng)先設(shè)CE的長為x，由將△ADE折疊使點D恰好落在BC邊上的點F可得Rt△ADE≌Rt△AFE，所以AF=10cm，EF=DE=8﹣x；在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，已知AB、AF的長可求出BF的長，又CF=BC﹣BF=10﹣BF，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即：（8﹣x）2=x2+（10﹣BF）2，將求出的BF的值代入該方程求出x的值，即求出了CE的長．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，根據(jù)題意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE，設(shè)CE=xcm，則DE=EF=CD﹣CE=8﹣x，在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，∴BF=6cm，∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4（cm），在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即（8﹣x）2=x2+42，∴64﹣16x+x2=x2+16，∴x=3（cm），即CE=3cm．【點評】本題主要考查運用勾股定理、全等三角形、方程思想等知識，根據(jù)已知條件求指定邊長的能力．20．如圖，已知線段CD垂直平分線AB，AB平分∠CAD，問AD與BC平行嗎？請說明理由．【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；平行線的判定．【分析】由線段CD垂直平分線AB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，易得∠CAB=∠CBA，又由AB平分∠CAD，即可得∠DAB=∠CBA，繼而證得AD與BC平行．【解答】解：AD∥BC，理由：∵CD垂直平分AB，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，∵AB平分∠CAD，即∠CAB=∠DAB，∴∠ABC=∠DAB，∴AD∥BC．【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及平行線的判定．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．21．如圖，∠XOY內(nèi)有一點P，在射線OX上找出一點M，在射線OY上找出一點N，使PM+MN+NP最短．【考點】軸對稱-最短路線問題．【專題】作圖題．【分析】分別以直線OX、OY為對稱軸，作點P的對應(yīng)點P1與P2，連接P1P2交OX于M，交OY于N，則PM+MN+NP最短．【解答】解：如圖所示：分別以直線OX、OY為對稱軸，作點P的對應(yīng)點P1與P2，連接P1P2交OX于M，交OY于N，則PM+MN+NP最短．【點評】本題主要利用了兩點之間線段最短的性質(zhì)通過軸對稱圖形的性質(zhì)確定三角形的另兩點．22．如圖，在△ABC中，CE、CF分別平分∠ACB和△ACB的外角∠ACG，EF∥BC交AC于點D，求證：DE=DF．【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】利用平行線及角平分線的性質(zhì)先求得CD=ED，CD=DF，然后等量代換即可證明DE=DF．【解答】證明：∵CE是△ABC的角平分線，∴∠ACE=∠BCE．∵CF為外角∠ACG的平分線，∴∠ACF=∠GCF．∵EF∥BC，∴∠GCF=∠F，∠BCE=∠CEF．∴∠ACE=∠CEF，∠F=∠DCF．∴CD=ED，CD=DF（等角對等邊）．∴DE=DF．【點評】本題考查了等腰三角形的判定及角平分線的性