2023年寧夏銀川市高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)（）的圖像可以是（）A． B．C． D．2．過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，則直線的斜率為()A． B．C．或 D．或3．執(zhí)行下面的程序框圖，若輸出的的值為63，則判斷框中可以填入的關(guān)于的判斷條件是（）A． B． C． D．4．已知向量，是單位向量，若，則（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則=（）A． B． C． D．6．己知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)分別在拋物線上，且，直線交于點(diǎn)，，垂足為，若的面積為，則到的距離為（）A． B． C．8 D．67．函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．8．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若取3，當(dāng)該量器口密閉時(shí)其表面積為42.2（平方寸），則圖中x的值為()A．3 B．3.4 C．3.8 D．49．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，以線段為直徑的圓與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為，若直線與圓相切，則雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．10．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，且,則直線的斜率的最大值為()A． B． C． D．111．已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作雙曲線的一條漸近線的垂線，分別交兩條漸近線于點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足恰為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．為虛數(shù)單位,則的虛部為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在編號(hào)為1，2，3，4，5且大小和形狀均相同的五張卡片中，一次隨機(jī)抽取其中的三張，則抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)的概率為_(kāi)_______.14．安排名男生和名女生參與完成項(xiàng)工作，每人參與一項(xiàng)，每項(xiàng)工作至少由名男生和名女生完成，則不同的安排方式共有________種（用數(shù)字作答）.15．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，若是的共軛復(fù)數(shù)，則____________．16．已知等比數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的前5項(xiàng)的和為_(kāi)_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，設(shè)，證明：，，使.18．（12分）在新中國(guó)成立70周年國(guó)慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達(dá)對(duì)祖國(guó)的熱愛(ài)之情，在數(shù)學(xué)中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標(biāo)方程為（），M為該曲線上的任意一點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求M點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）將射線OM繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N，求的最大值.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù))，直線的參數(shù)方程(為參數(shù))，若直線的交點(diǎn)為，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)的軌跡是曲線（1）求曲線的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，設(shè)射線的極坐標(biāo)方程為，，點(diǎn)為射線與曲線的交點(diǎn)，求點(diǎn)的極徑.20．（12分）已知函數(shù).（1）若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值；（2）若，求證：.21．（12分）如圖，四棱錐中，底面，，點(diǎn)在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若，，，，求二面角的正弦值.22．（10分）已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸并取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程,并說(shuō)明其表示什么軌跡；（2）若直線的極坐標(biāo)方程為,求曲線上的點(diǎn)到直線的最大距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

根據(jù)，可排除，然后采用導(dǎo)數(shù)，判斷原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，所以當(dāng)時(shí)，，又，令，則令，則所以函數(shù)在單調(diào)遞減在單調(diào)遞增，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖像，可從以下指標(biāo)進(jìn)行觀察：（1）定義域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）單調(diào)性；（5）值域，屬基礎(chǔ)題.2．A【解析】

利用切割線定理求得，利用勾股定理求得圓心到弦的距離，從而求得，結(jié)合，求得直線的傾斜角為，進(jìn)而求得的斜率.【詳解】曲線為圓的上半部分，圓心為，半徑為.設(shè)與曲線相切于點(diǎn)，則所以到弦的距離為，，所以，由于，所以直線的傾斜角為，斜率為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.3．B【解析】

根據(jù)程序框圖，逐步執(zhí)行，直到的值為63，結(jié)束循環(huán)，即可得出判斷條件.【詳解】執(zhí)行框圖如下：初始值：，第一步：，此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第二步：，此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第三步：，此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第四步：，此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第五步：，此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第六步：，此時(shí)要輸出，結(jié)束循環(huán)；故，判斷條件為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查完善程序框圖，只需逐步執(zhí)行框圖，結(jié)合輸出結(jié)果，即可確定判斷條件，屬于?？碱}型.4．C【解析】

設(shè)，根據(jù)題意求出的值，代入向量夾角公式，即可得答案；【詳解】設(shè)，，是單位向量，,，，聯(lián)立方程解得：或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的模、夾角計(jì)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意的兩種情況.5．A【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】解：由，得，．故選．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．6．D【解析】

作，垂足為，過(guò)點(diǎn)N作，垂足為G，設(shè)，則，結(jié)合圖形可得，，從而可求出，進(jìn)而可求得，，由的面積即可求出，再結(jié)合為線段的中點(diǎn)，即可求出到的距離．【詳解】如圖所示，作，垂足為，設(shè)，由，得，則，.過(guò)點(diǎn)N作，垂足為G，則，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因?yàn)?，所以為線段的中點(diǎn)，所以F到l的距離為．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．7．A【解析】

由計(jì)算出的取值范圍，利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】，，，因此，函數(shù)的值域?yàn)?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解，解答的關(guān)鍵就是求出對(duì)象角的取值范圍，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．D【解析】

根據(jù)三視圖即可求得幾何體表面積，即可解得未知數(shù).【詳解】由圖可知，該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為和一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱組合而成.該幾何體的表面積為，解得，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原幾何體，以及圓柱和長(zhǎng)方體表面積的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.9．B【解析】

先設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，根據(jù)題意，得到，再由，根據(jù)勾股定理求出，從而可得漸近線方程.【詳解】設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，因?yàn)槭且詧A的直徑為斜邊的圓內(nèi)接三角形，所以，又因?yàn)閳A與直線的切點(diǎn)為，所以，又，所以，因此，因此有，所以，因此漸近線的方程為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線方程，熟記雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于常考題型.10．C【解析】試題分析：設(shè)，由題意，顯然時(shí)不符合題意，故，則，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選C．考點(diǎn)：1．拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2．均值不等式．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應(yīng)用及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程方程，均值不等式的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．解題時(shí)一定要注意分析條件，根據(jù)條件，利用向量的運(yùn)算可知，寫(xiě)出直線的斜率，注意均值不等式的使用，特別是要分析等號(hào)是否成立，否則易出問(wèn)題．11．B【解析】

設(shè)點(diǎn)位于第二象限，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線與直線垂直，轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為可得出的值，進(jìn)而可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)點(diǎn)位于第二象限，由于軸，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)，由題意可知，直線與直線垂直，，，因此，雙曲線的離心率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是得出、、的等量關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中等題.12．C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】，故虛部為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的概念，注意復(fù)數(shù)的虛部為，不是，本題為基礎(chǔ)題，也是易錯(cuò)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先求出所有的基本事件個(gè)數(shù)，再求出“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”這一事件包含的基本事件個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可算出結(jié)果.【詳解】一次隨機(jī)抽取其中的三張，所有基本事件為：1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5；共有10個(gè)，其中“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”包含6個(gè)基本事件，因此“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”的概率為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.14．1296【解析】

先從4個(gè)男生選2個(gè)一組，將4人分成三組，然后從4個(gè)女生選2個(gè)一組，將4人分成三組，然后全排列即可.【詳解】由于每項(xiàng)工作至少由名男生和名女生完成，則先從4個(gè)男生選2個(gè)一組，將4人分成三組，所以男生的排法共有，同理女生的排法共有，故不同的安排共有種.故答案為：1296【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.15．【解析】

由于，則．16．31【解析】設(shè)，可化為，得，，，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1），分，，，四種情況討論即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)找到與即可證明.【詳解】（1）.①當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).②當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).③當(dāng)時(shí)，，則在上是減函數(shù).④當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).（2）由題意，得.由（1）知，當(dāng)，時(shí)，，.令，，故在上是減函數(shù)，有，所以，從而.，，則，令，顯然在上是增函數(shù)，且，，所以存在使，且在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，，所以，所以，命題成立.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式的問(wèn)題，考查學(xué)生邏輯推理能力，是一道較難的題.18．（1）點(diǎn)M的極坐標(biāo)為或（2）【解析】

（1）令，由此求得的值，進(jìn)而求得點(diǎn)的極坐標(biāo).（2）設(shè)出兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，利用勾股定理求得的表達(dá)式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)M在極坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，由，得，∵∴或，所以點(diǎn)M的極坐標(biāo)為或（2）由題意可設(shè)，.由，得，.故時(shí)，的最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查極坐標(biāo)的求法，考查極坐標(biāo)下兩點(diǎn)間距離的計(jì)算以及距離最值的求法，屬于中檔題.19．（1）；（2）【解析】

（1）將兩直線化為普通方程，消去參數(shù)，即可求出曲線的普通方程；（2）設(shè)Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為,求出，代入曲線C可求解.【詳解】（1）直線的普通方程為,直線的普通方程為聯(lián)立直線,方程消去參數(shù)k,得曲線C的普通方程為整理得.（2）設(shè)Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為,由可得代入曲線C的方程可得，解得（舍），所以點(diǎn)的極徑為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的參數(shù)方程化為普通方程，普通方程化為極坐標(biāo)方程，極徑的求法，屬于中檔題.20．（1）（2）詳見(jiàn)解析【解析】

（1），在上，因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以恒成立，即恒成立，只需.令，，則，因?yàn)?，所?所以在上是增函數(shù)，所以，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的最大值為.（2），.令，則，根據(jù)題意知，所以在上是增函數(shù).又因?yàn)?，?dāng)從正方向趨近于0時(shí)，趨近于，趨近于1，所以，所以存在，使，即，，所以對(duì)任意，，即，所以在上是減函數(shù)；對(duì)任意，，即，所以在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.由于，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，．21．（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）要證明平面，只需證明，，即可求得答案；（2）先根據(jù)已知證明四邊形為矩形，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立坐標(biāo)系，求得平面的法向量為，平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，，即可求得答案.【詳解】（1）平面，平面，.，，.又，平面.（2）由（1）可知.在中，，..又，，四邊形為矩形.以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立坐標(biāo)系，如圖：則：，，，，：，設(shè)平面的法向量為，即，令，則，由題平面，即平面的法向量為由二面角的平面角為銳角，設(shè)二面角的平