求極限的幾種方法

精品文檔一、求函數(shù)極限的方法1、運(yùn)用極限的定義例: 用極限定義證明:limx23x21x2x2x23x2x24x4證:由212xx2x 2x 2x 20 取 則當(dāng)0 x 2 時(shí),就有x2 3x 2x 2由函數(shù)極限 定義有:

1limx23x21x2x22、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)若limf(x)Alimg(x)Bxx0xx0(I)limf(x)g(x)limf(x)limg(x)ABxx0xx0xx0limf(xg(x)limf(x)limg(xAB(II)xx0xx0xx0(III)若B≠0則：f(x)limf(x)Alimxx0xx0g(x)limg(x)Bxx0（IV）limcf(x)climf(x)cA（c為常數(shù)）xx0xx0上述性質(zhì)對(duì)于x,x,x時(shí)也同樣成立。1歡迎下載精品文檔例：求limx23x5x2x4解:limx23x5=223255x2x42423、約去零因式（此法適用于xx0時(shí),0型0x3x216x20例:求lim7x216x12x2x3解:原式=limx33x210x(2x26x20)x35x26x(2x210x12)x2=lim(x2)(x23x10)(x2)(x25x6)x2=lim(x23x10)=lim(x5)(x2)x2(x25x6)x2(x2)(x3)=limx572x34、通分法（適用于型）例:求lim(41)x24x22x解:原式=lim4(2x)(2x)(2x)x2=lim(2x)(2x)(2x)x211=limx4x225、利用無(wú)窮小量性質(zhì)法（特別是利用無(wú)窮小量與有界量之乘積仍為無(wú)窮小量的性質(zhì)）設(shè)函數(shù)f(x)、g(x) 滿足：。2歡迎下載精品文檔（I）limf(x)0xx0(II)g(x)M(M為正整數(shù))則：limg(x)f()0xx0x例:求limxsin1x0x解:由limx0而sin11x0x故原式=limxsin10x0x6、利用無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。（I）若：limf(x)則lim10f(x)limf(x)01(II)若:且f(x)≠0則limf(x)例:求下列極限①lim1②lim151xxx1x1解:由lim(x5)故lim0xxx5lim(x1)0lim1由故=x1x1x17、等價(jià)無(wú)窮小代換法設(shè) , ', , ' 都是同一極限過(guò)程中的無(wú)窮小量，且有：'~ ', ~ '，

lim 存在，'lim'則也存在，且有l(wèi)im=lim'。3歡迎下載精品文檔例:求極限lim1cosx2x0x2sinx2解:sinx2~x2,1cosx2~(x2)22(x2)21cosx2=21lim2sinx22x22x0xx注：在利用等價(jià)無(wú)窮小做代換時(shí)，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時(shí)可以互換，若以和、差出現(xiàn)時(shí)，不要輕易代換，因?yàn)榇藭r(shí)經(jīng)過(guò)代換后，往往改變了它的無(wú)窮小量之比的“階數(shù)”8、利用兩個(gè)重要的極限。(A)limsinx1(B)lim(11)xex0xxx但我們經(jīng)常使用的是它們的變形：(A')limsin(x)1,((x)0)(x)(B')lim(11)(x)e,((x))(x)例：求下列函數(shù)極限、ax1、lncosax(1)limx(2)limx0x0lncosbx解：（1）令ax1u,則xln(1u)ax1ulna于是xln(1u)lna又當(dāng)x0時(shí)，u0故有：limax1limulnalimlnalimlna1lnax0xu0ln(1u)u0ln(1u)u0uln(1u)u(2)、原式limln[(1(cosax1)]x0ln[1(cosbx1)]。4歡迎下載精品文檔limln[(1(cosax1)]cosbx1cosax1cosax1x0ln[1(cosbx1)]cosbx1limcosbx1x0cosax1sin2axa2b222lim2sin2xlim(2x)(2x)b22b2ba2a2x02sinxx0sinx(x)222(bx)229、利用函數(shù)的連續(xù)性（適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限）。(i)若f(x)在xx0處連續(xù)，則limf(x)f(x0)xx0(ii)若f[(x)]是復(fù)合函數(shù)，又lim(x)a且xx0f(u)在ua處連續(xù)，則limf((x))f[lim(x)]f(a)xx0xx0例：求下列函數(shù)的極限、excosx5ln(1x)limx2（2）x01ln(1x)x0x解：由于x0屬于初等函數(shù)f(x)excosx5的定義域之內(nèi)。1x2ln(1x)故由函數(shù)的連續(xù)性定義有：limexcosx5f(0)6x2ln(1x)x01(2)、由ln(1x)1ln(1x)xx1令x(1x)x故有：limln(1x)11limln(1x)xln(lim(1x)x)lne1x0xx0x010、變量替換法（適用于分子、分母的根指數(shù)不相同的極限類(lèi)型）特別地有：。5歡迎下載精品文檔lxk1mllimnnkm、n、k、l為正整數(shù)。x1xm1例：求下列函數(shù)極限①lim1nx(m、nN)②lim(2x3)x1x11mxx2x1解:①令t=mnx則當(dāng)x1時(shí)t1,于是原式=lim1tmlim(1t)(1tt2tm1)mt11tnt1(1t)(1tt2tn1)n②由于lim(2x3)x1=lim(12)x1x2x1x2x12x11x111令：t則t222x3)x12)x111lim(=lim(1=lim(1t)t2x2x1x2x1t011=lim(1t)tlim(1t)2e1et0t011、 利用函數(shù)極限的存在性定理定理: 設(shè)在x0的某空心鄰域內(nèi)恒有 g(x)≤f(x)≤h(x) 且有:limg(xhxAxx0xx0limf()則極限xx0存在,且有l(wèi)imf(x)Axx0例:求limxn(a>1,n>0)axx解:當(dāng)x≥1時(shí),存在唯一的正整數(shù)k,使k≤x≤k+1于是當(dāng)n>0時(shí)有:。6歡迎下載精品文檔xn(k1)naxak及xnknkn1axak1aka又當(dāng)x時(shí),k有l(wèi)im(k1)nlim(k1)n0a0kk1akakalimknlimkn110及k1k0kakaaaxnlimx=0xa12、用左右極限與極限關(guān)系(適用于分段函數(shù)求分段點(diǎn)處的極限，以及用定義求極限等情形)。定理：函數(shù)極限limf(x)存在且等于A的充分必要條件是左極限limf(x)及右極限limf(x)都存在且xx0xx0xx0都等于A。即有：limf(x)Alimxx0xx012ex,x例：設(shè)f(x)=xx,0xx2,x1

f(x)=lim f(x)=Ax x00x1求limf(x)及l(fā)imf(x)x0x1解：limf(x)lim(12ex)1x0x0limf(x)lim(xxlim(x1)1)x0x0xx0由limf(x)limf(x)1x0x0limf(x)1x0。7歡迎下載精品文檔又limf(x)limxxlim（x1)0x1x1xx1limf(x)limx21x1x1由f(10)f(10)limf(x)不存在x113、羅比塔法則（適用于未定式極限）定理：若(i)limf(x)0,limg(x)0xx0xx0(ii)f與在的某空心鄰域0內(nèi)可導(dǎo)，且'(x)0gx0u(x0)g(iii)limf'(x)可為實(shí)數(shù)，也可為或），則'(x)xx0glimf(x)limf'(x)Axx0g(x)xx0g'(x)0此定理是對(duì) 型而言，對(duì)于函數(shù)極限的其它類(lèi)型，均有類(lèi)似的法則。0注：運(yùn)用羅比塔法則求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1、 要注意條件，也就是說(shuō)，在沒(méi)有化為

0時(shí)不可求導(dǎo)。02、 應(yīng)用羅比塔法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。3、 要及時(shí)化簡(jiǎn)極限符號(hào)后面的分式，在化簡(jiǎn)以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用羅比塔法則，否則會(huì)