廣東省茂名市化州第四中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

廣東省茂名市化州第四中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合等于（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略2.若，則cos（π﹣2α）=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】利用誘導(dǎo)公式和二面角公式化簡(jiǎn)即可．【解答】解：由，可得：sinα=．∵cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=．故選D3.從6人中選4人分別到省內(nèi)黃果樹(shù)、小七孔、西江苗寨、梵凈山游覽，要求每個(gè)地點(diǎn)有一人游覽，每人只游覽一個(gè)地點(diǎn)，且在這6人中甲、乙不去西江苗寨游覽，則不同的選擇方案共有A.300種

B.240種

C.144種

D.96種參考答案：B4.定義兩種運(yùn)算：，，則是（

）函數(shù)． A．偶函數(shù)

B．奇函數(shù)

C．既奇又偶函數(shù)

D．非奇非偶函數(shù)參考答案：B略5.在等差數(shù)列中，已知，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則A．

B．

C．

D．參考答案：C6.計(jì)算：的結(jié)果為A．

B．

C．

D．參考答案：C7.函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，要得到函數(shù)g（x）=Acosωx的圖象，只需將f（x）的圖象(

)A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專(zhuān)題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由題意可得，函數(shù)的周期為π，由此求得ω=2，由g（x）=Acosωx=sin，根據(jù)y=Asin（ωx+?）的圖象變換規(guī)律得出結(jié)論．【解答】解：由題意可得，函數(shù)的周期為π，故=π，∴ω=2．要得到函數(shù)g（x）=Acosωx=sin的圖象，只需將f（x）=的圖象向左平移個(gè)單位即可，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查y=Asin（ωx+?）的圖象變換規(guī)律，y=Asin（ωx+?）的周期性，屬于中檔題．8.=（）A． B． C．i D．﹣i參考答案：A【考點(diǎn)】A7：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)的分母，再分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)即可．【解答】解：故選A．9.已知=

A．

B．

C．

D．參考答案：B10.已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，則M∩N為（）A．（1，2） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．[1，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【分析】通過(guò)指數(shù)函數(shù)的值域求出M，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求出集合N，然后再求M∩N．【解答】解：M={y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|1＜x＜2}，故選A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，，，，，E、F分別為棱PC、PB上一點(diǎn)，若BE與平面PCD所成角的正切值為2，則的最小值為_(kāi)_______.參考答案：【分析】先找出與平面所成角，再利用正切值為2，證得E為PC的中點(diǎn).根據(jù)所給各邊的長(zhǎng)度，求出的斜弦值，再將翻折至與平面PAB共面，利用余弦定理求出，即為的最小值.【詳解】取CD的中點(diǎn)H，連接BH，EH.依題意可得，.因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，從而平面ABCD，所以BE與平面PCD所成角為，且，則，則E為PC的中點(diǎn).

在中，.因?yàn)?，，，所以，所?將翻折至與平面PAB共面，如圖所示，則圖中，當(dāng)F為AE與PB的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面垂直、線面角、余弦定理等知識(shí)的交會(huì)，考查空間相象能力和運(yùn)算求解能力，將空間中線段和的最值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題，對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查要求較高，屬于難題.12.已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值等于

．參考答案：513.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且=?，=?．若點(diǎn)F為線段BE的中點(diǎn)，點(diǎn)O為△ADE的重心，則?=

參考答案：0

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．F3解析：連AO并延長(zhǎng)交DE于G，如圖，∵O是△ADE的重心，∴DG=GE，∴，∴==，又=λ，=λ，∴=（），顯然，，又==（1﹣）﹣，==﹣（+）=﹣（+﹣）=（）=﹣+，∴=（1﹣）+，∵=﹣，=﹣=（λ﹣1），∴=[+（λ﹣2）]，又正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，∴||2=||2=4，∴，∴=[（1﹣）+]?[+（λ﹣2）]={（1﹣）2+[+（1﹣）（λ﹣2）+（λ﹣2）}====0．【思路點(diǎn)撥】如圖，根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則，及重心的性質(zhì)，用、表示、，再根據(jù)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算即可．14.在等比數(shù)列{an}中，已知，，則參考答案：128

15.函數(shù)的定義域?yàn)?，若且時(shí)，總有，則稱(chēng)為單函數(shù)。例如，函數(shù)是單函數(shù)。下列命題：①函數(shù)是單函數(shù)；②若為單函數(shù)，且，則；③若為單函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)無(wú)解；④函數(shù)在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則一定是單函數(shù)。其中的真命題是________(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))。參考答案：②。①錯(cuò)誤，如=1，則，，顯然，因此不是單函數(shù)；②正確，利用原命題與逆否命題等價(jià)可得；③錯(cuò)誤，如，令，得；④錯(cuò)誤，如在（0，+）具有單調(diào)性，而不是單函數(shù)。16.已知向量，，滿(mǎn)足，且與的夾角的正切為，與的夾角的正切為，，則的值為

．參考答案：；17.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為

.:參考答案：

法1：本題主要考查了異面直線所成角的問(wèn)題，是中等難度題目。取中點(diǎn)F，連接,則即為所求

的二面角，連接,,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則,.:法2：以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以AB、AD、所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，則有A(0,0,0)，E（3,0,1），F(xiàn)（1,1,2），，，設(shè)面AEF的法向量為，則，解得，面ABC的法向量為，則，，故面與面ABC的所成角的平面角正切值為.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿(mǎn)分14分)(1)已知函數(shù)為有理數(shù)且)，求函數(shù)的最小值;(2)①試用(1)的結(jié)果證明命題：設(shè)為有理數(shù)且，若時(shí)，則；②請(qǐng)將命題推廣到一般形式，并證明你的結(jié)論；注：當(dāng)為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式參考答案：解：（Ⅰ）令得當(dāng)時(shí)，，故在上遞減．當(dāng)，故在上遞增．所以，當(dāng)時(shí)，的最小值為….……..5分（Ⅱ）（?。?，令，由（Ⅰ）知，，即….……..8分（ⅱ）命題推廣到一般形式為：設(shè)為有理數(shù)且，若時(shí)，則.….……..9分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）（?。┲?，不等式成立；②假設(shè)時(shí)，不等式成立，即，那么時(shí)，要證，即證，設(shè)函數(shù)，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，故在上遞減；當(dāng)，類(lèi)似可證，故在上遞增．當(dāng)時(shí)，的最小值為，由歸納假設(shè)知，所以，，時(shí)不等式成立.綜上，原命題得證.….……..14分19.（本小題12分）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知（1）

求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）

在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和參考答案：略20.在△ABC中，分別為A，B，C所對(duì)的邊，且.(1)求角C的大?。?2)若，且△ABC的面積為，求值.參考答案：解：（1）∵∴由正弦定理得………2分∴∵0﹤C﹤180°∴C=60°或120°…………6分（2）∵∴………8分若C=60°，由余弦定理可得=5…………10分若C=120°，可得，無(wú)解………12分略21.已知橢圓的方程為，過(guò)其左焦點(diǎn)斜率為1的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)．

（1）若共線，求橢圓的方程；

（2）若在左準(zhǔn)線上存在點(diǎn)R，使為正三角形，求橢圓的離心率e的值．參考答案：解：（1）直線PQ的方程為:：，代入橢圓，得：。………………3分設(shè)，則………………4分由共線，得又，所以,又所以，得：所以所求橢圓的方程為：………………6分

（2）圖，設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)P、M、Q分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為P1、M1、Q1，則………8分又又因?yàn)闉檎切?，，…?0分，而，得……12分22.已知函數(shù)f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常數(shù)．（1）求函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)都在第一象限，試求常數(shù)a的取值范圍；（3）證明：?a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．【專(zhuān)題】計(jì)算題；證明題；分類(lèi)討論；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；（2）討論a=0，a＞0，a＜0，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求極值、最值，即可得到a的范圍；（3）設(shè)函數(shù)g（x）=f′（x）﹣=2x﹣（e+1）+﹣，計(jì)算g（1），g（e），討論當(dāng)a＞e（e﹣1）2或時(shí)，由零點(diǎn)存在定理，即可得證；當(dāng)時(shí)，求出g（x）的最小值，判斷它小于0，再由零點(diǎn)存在定理，即可得證．【解答】（1）解：函數(shù)f（x）=x2+a（x+lnx）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x+a（1+），f（1）=1+a，f′（1）=2+2a，則函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為y﹣（1+a）=（2+2a）（x﹣1），即y=（1+a）（2x﹣1）；（2）解：①a=0時(shí)，f（x）=x2，因?yàn)閤＞0，所以點(diǎn)（x，x2）在第一象限，依題意，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0；②a＞0時(shí)，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，x∈（0，1）時(shí)，lnx∈（﹣∞，0），alnx∈（﹣∞，0），從而“?x＞0，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0”不成立；③a＜0時(shí)，由f（x）=x2+a（x+lnx）＞0得，設(shè)，g′（x）=+，x（0，1）1（1，+∞）g′（x）﹣0+g（x）↘極小值↗則g（x）≥g（1）=﹣1，從而，﹣1＜a＜0；綜上所述，常數(shù)a的取值范圍﹣1＜a≤0．（3）證明：直接計(jì)算知，設(shè)函數(shù)g（x）=f′（x）﹣=2x﹣（e+1）+﹣，，，當(dāng)a＞e（e﹣1）2或時(shí)，＜0，因?yàn)閥=g（x）的圖