吉林省長春市格致中學2022年度高三數(shù)學理上學期期末試卷

吉林省長春市格致中學2022年度高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合P＝{x｜－x－2≤0}，Q＝{x｜≤1}，則（CRP）∩Q等于

A．[2，3]

B．（－∞，－1]∪[3，＋∞）

C．（2，3]

D．（－∞，－1]∪（3，＋∞）參考答案：C2.已知函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為(A)

(B)(0,1/2)

(C)

(D)參考答案：B3.若全集U=R，集合，則等于

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案:B4.一只螞蟻在邊長為的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機爬行，則它在離三個頂點距離都大于的區(qū)域內(nèi)的概率為、、、、參考答案：A畫出正三角形，以其每個頂點為圓心作半徑為2的圓弧與正三角形相交，螞蟻爬行的區(qū)域不能在3扇形內(nèi)，故.故選.5.已知向量，，，若，則x=（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：A【分析】先求出，利用數(shù)量積的坐標表示，得出方程，便可求出的值?！驹斀狻?（），，故本題選A?！军c睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積的坐標表示、平面向量的坐標運算。重點考查了兩個平面向量垂直，它們的橫坐標之積與縱坐標之積的和為零。6.已知全集，則集合{1，6}=（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略7.設等差數(shù)列{an}的前n項和為,若，,則當取最大值等于（

）A．4

B．5

C．6

D．7參考答案：B8.定義運算，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：【知識點】二次函數(shù)的性質(zhì)．B5

【答案解析】D解析：∵，∴=（x﹣1）（x+3）﹣2×（﹣x）=x2+4x﹣3=（x+2）2﹣7，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣2），∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴（﹣∞，﹣2），即m≤﹣2，∴實數(shù)m的取值范圍是m≤﹣2．故選D．【思路點撥】先根據(jù)新定義化簡函數(shù)解析式，然后求出該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，然后使得是減區(qū)間的子集，從而可求出m的取值范圍．9.設定義在R上的函數(shù)是最小正周期為的偶函數(shù)，是的導函數(shù)，當時，；當且時，，則函數(shù)在上的零點個數(shù)為（

）A.2 B.4 C.5 D.8參考答案：B由當x∈（0，π）且x≠時，，知時，為減函數(shù)，當。又時，0＜f(x)＜1，在R上的函數(shù)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，在同一坐標系中作出和草圖像如下，由圖知y=f(x)-sinx在[-2π，2π]上的零點個數(shù)為4個.選B.10.（2016?賀州模擬）已知函數(shù)f（x）=，則f（0）+f（log232）=（）A．19 B．17 C．15 D．13參考答案：A【考點】分段函數(shù)的應用．【專題】計算題；規(guī)律型；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】利用函數(shù)的解析式，真假求解函數(shù)值即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=，則f（0）+f（log232）=log24+1+=2+1+=19．故選：A．【點評】本題考查分段函數(shù)的應用，函數(shù)值的求法，考查計算能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)g（x）=f（x）﹣2x恰有三個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是．參考答案：（1，2]【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】由題意知g（x）在[m，+∞）上有一個零點，在（﹣∞，m）上有兩個零點；從而由一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：∵函數(shù)g（x）=f（x）﹣2x恰有三個不同的零點，∴g（x）在[m，+∞）上有一個零點，在（﹣∞，m）上有兩個零點；∴；解得，1＜m≤2；故答案為：（1，2]．12.函數(shù)在x=

處取得極小值.參考答案：2略13.在的展開式中，項的系數(shù)為

.參考答案：－7

14.給出以下命題：①雙曲線﹣x2=1的漸近線方程為y=±x；②命題P：?x∈R+，sinx+≥1是真命題；③已知線性回歸方程為=3+2x，當變量x增加2個單位，其預報值平均增加4個單位；④設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），若P（ξ＞1）=0.2，則P（﹣1＜ξ＜0）=0.6；則正確命題的序號為．參考答案：①③【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】求出雙曲線的漸近線方程，可判斷①；分析出x∈R+時，sinx+的范圍，可判斷②；根據(jù)回歸系數(shù)的幾何意義，可判斷③；求出P（﹣1＜ξ＜0），可判斷④．【解答】解：①雙曲線﹣x2=1的焦點在y軸上，a=，b=1，故其漸近線方程為y=±x；故正確；②命題P：?x∈R+，sinx∈[﹣1，1]，sinx+∈[﹣2，0）∪（0，2]；故錯誤③已知線性回歸方程為=3+2x，當變量x增加2個單位，其預報值平均增加4個單位；故正確；④設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），若P（ξ＞1）=0.2，則P（﹣1＜ξ＜0）=（1﹣2×0.2）=0.3；故錯誤；故答案為：①③15.數(shù)列{an}滿足，且對于任意的都有，，則_______．參考答案：820【分析】根據(jù)條件中的遞推關(guān)系，利用累加法，求出數(shù)列{an}的通項公式，然后計算的值.【詳解】因為，所以，，，…，，上面?zhèn)€式子左右兩邊分別相加得，即，所以.【點睛】本題考查累加法求數(shù)列通項，求數(shù)列中的項.屬于中檔題.16.某公司的男女職工的人數(shù)之比為4：1，用分層抽樣的方法從該公司的所有職工中抽取一個容量為10的樣本，已知女職工中甲、乙都被抽到的概率為，則公司的乙、職工總?cè)藬?shù)為

。參考答案：4017.若為方程的兩個實數(shù)解，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x3﹣﹣1的導函數(shù)為f′（x），g（x）=emx+f′（x）．（Ⅰ）若f（2）=11，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）證明函數(shù)g（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；（Ⅲ）若對任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|g（x1）﹣g（x2）|≤e+1，求m的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；分類法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；導數(shù)的綜合應用．【分析】（Ⅰ）由f（2）=11，求得m=﹣2，求出f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，即可得到所求切線的方程；（Ⅱ）利用g′（x）≥0說明函數(shù)為增函數(shù)，利用g′（x）≤0說明函數(shù)為減函數(shù)．注意參數(shù)m的討論；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，對任意的m，g（x）在[﹣1，0]單調(diào)遞減，在[0，1]單調(diào)遞增，則恒成立問題轉(zhuǎn)化為最大值和最小值問題．從而求得m的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x3﹣﹣1的導函數(shù)為f′（x）=3x2﹣mx，f（2）=11，可得8﹣2m﹣1=11，解得m=﹣2，即f（x）=x3+x2﹣1導數(shù)為f′（x）=3x2+2x，在點（1，f（1））處的切線斜率為5，切點為（1，1），則在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣1=5（x﹣1），即為5x﹣y﹣4=0；（Ⅱ）證明：g（x）=emx+f′（x）=emx+3x2﹣mx．g′（x）=m（emx﹣1）+6x．若m≥0，則當x∈（﹣∞，0）時，emx﹣1≤0，g′（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，emx﹣1≥0，g′（x）＞0．若m＜0，則當x∈（﹣∞，0）時，emx﹣1＞0，g′（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，emx﹣1＜0，g′（x）＞0．所以，g（x）在（﹣∞，0）時單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；（Ⅲ）由（1）知，對任意的m，g（x）在[﹣1，0]單調(diào)遞減，在[0，1]單調(diào)遞增，故g（x）在x=0處取得最小值．所以對于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|≤e+1的充要條件是，即，即，設函數(shù)h（t）=et﹣t﹣e+1，則h′（t）=et﹣1．當t＜0時，h′（t）＜0；當t＞0時，h′（t）＞0．故h（t）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增．又h（1）=0，h（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故當t∈[﹣1，1]時，h（t）≤0．當m∈[﹣1，1]時，h（m）≤0，h（﹣m）≤0，即合式成立；當m＞1時，由h（t）的單調(diào)性，h（m）＞0，即em﹣m＞e﹣1．當m＜﹣1時，h（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．綜上，m的取值范圍是[﹣1，1]．【點評】本題主要考查導數(shù)在求單調(diào)函數(shù)中的應用和恒成立在求參數(shù)中的應用．屬于難題．19.在直角坐標系xOy中，曲線C1：（θ為參數(shù)，r為大于零的常數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2﹣8ρsinθ+15=0．（Ⅰ）若曲線C1與C2有公共點，求r的取值范圍；（Ⅱ）若r=1，過曲線上C1任意一點P作曲線C2的切線，切于點Q，求|PQ|的最大值．參考答案：【考點】QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）曲線C1消去參數(shù)r，求出曲線C1的直角坐標方程，由曲線C2的極坐標方程求出曲線C2的直角坐標方程，若C1與C2有公共點，則r﹣1≤|C1C2|≤r+1，由此能求出r的取值范圍．（Ⅱ）設P（cosα，sinα），由|PQ|2=|PC2|2﹣|C2Q|2=|PC2|2﹣1，得|PQ|2=cos2α+（sinα﹣4）2﹣1=16﹣8sinα≤16+8=24，由此能求出|PQ|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲線C1：（θ為參數(shù)，r為大于零的常數(shù)），∴消去參數(shù)r，得曲線C1的直角坐標方程為x2+y2=r2（r＞0），∵曲線C2的極坐標方程為ρ2﹣8ρsinθ+15=0，∴曲線C2的直角坐標方程為x2+（y﹣4）2=1．若C1與C2有公共點，則r﹣1≤≤r+1，解得3≤r≤5，故r的取值范圍是[3，5]．（Ⅱ）設P（cosα，sinα），由|PQ|2=|PC2|2﹣|C2Q|2=|PC2|2﹣1，得|PQ|2=cos2α+（sinα﹣4）2﹣1=16﹣8sinα≤16+8=24，當且僅當sinα=﹣1時取最大值，故|PQ|的最大值為2．20.某校高三學生有兩部分組成，應屆生與復讀生共2000學生，期末考試數(shù)學成績換算為100分的成績?nèi)鐖D所示，從高三的學生中，利用分層抽樣，抽取100名學生的成績繪制成頻率分布直方圖：（1）若抽取的學生中，應屆生與復讀生的比為9﹕1，確定高三應屆生與復讀生的人數(shù)；（2）計算此次數(shù)學成績的平均分；（3）若抽取的[80，90），[90，100]的學生中，應屆生與復讀生的比例關(guān)系也是9﹕1，從抽取的[80，90），[90，100]兩段的復讀生中，選兩人進行座談，設抽取的[80，90）的人數(shù)為隨機變量ξ，求ξ的分布列與期望值．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）因為抽取的應屆生與復讀生的比為9﹕1，求出應屆生抽取90人，復讀生抽取10人，由此能確定確定高三應屆生與復讀生的人數(shù)．（2）由頻率分布圖中小矩形面積之和為1，得a=0.04，由此能求出此次數(shù)學成績的平均分．（3）根據(jù)頻率分布直方圖可知抽取的復讀生的人數(shù)分別為2，3人抽取的[80，90）的人數(shù)為隨機變量ξ，可知ξ=0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列與期望值．【解答】解：（1）∵抽取的應屆生與復讀生的比為9﹕1，∴應屆生抽取90人，復讀生抽取10人，應屆生的人數(shù)為90×20=1800，復讀生的人數(shù)為2000﹣1800=200．（2）10×（0.01+a+0.02+0.03）=1，∴a=0.04，平均分為10×（0.01×65+0.04×75+0.02×85+0.03×95）=82（3）根據(jù)頻率分布直方圖可知，抽取的[80，90），[90，100]的學生分別為100×0.2=20，100×0.3=30，抽取的復讀生的人數(shù)分別為2，3人抽取的[80，90）的人數(shù)為隨機變量ξ，可知ξ=0，1，2，可知，，，∴ξ的分布列為：ξ012p∴．【點評】本題考查頻率分布直方圖的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．21.如圖，多面體ABCDPE的底面ABCD是平行四邊形，AD=AB=2=0，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2．（1）若棱AP的中點為H，證明：HE∥平面ABCD；（2）求二面角A﹣PB﹣E的大?。畢⒖即鸢福骸究键c】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【專題】計算題；規(guī)律型；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（1）取AD的中點G，連接HE，HG，GC，證明四邊形EHGC是平行四邊形，推出HE∥GC，即可證明HE∥平面ABCD．（2）法一：如圖，取PB的中點M，連接AC，DB交于點F，連接ME，MF，作FK⊥PB于點K，∠AKF是二面角A﹣PB﹣D的平面角，通過Rt△PDB～Rt△FKB，求出，得到二面角A﹣PB﹣E的大小就是二面角A﹣PB﹣D的大小與直二面角D﹣PB﹣E的大小之和，求解二面角A﹣PB﹣E的大?。ǘ篋A，DC，DP兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系D﹣xyz如圖所示，設PA的中點為N，連接DN，求出平面PAB的一個法向量，平面PBE的法向量，通過向量的數(shù)量積求解，二面角A﹣PB﹣E的大?。窘獯稹浚ū拘☆}滿分12分）解：（1）∵底面ABCD是平行四邊形，AD=AB=2，，∴底面ABCD是邊長為2的正方形，取AD的中點G，連接HE，HG，GC，根據(jù)題意得HG=EC=1，且HG∥EC∥PD，則四邊形EHGC是平行四邊形，…所以HE∥GC，HE?平面ABCD，GC?平面ABCD，故HE∥平面ABCD…（2）法一：如圖，取PB的中點M，連接AC，DB交于點F，連接ME，MF，作FK⊥PB于點K，容易得到∠AKF是二面角A﹣PB﹣D的平面角，…，Rt△PDB～Rt△FKB，易得，從而，所以…由于點M是PB的中點，所以MF是△PDB的中位線，MF∥PD，且，MF=EC，