灰色模型講義

灰色模型講義第一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日一、灰色系統(tǒng)理論的產(chǎn)生與應(yīng)用

1982年我國(guó)學(xué)者鄧聚龍先生創(chuàng)立了灰色系統(tǒng)理論，目前許多國(guó)家及國(guó)際組織的知名學(xué)者從事灰色系統(tǒng)的理論和應(yīng)用研究工作?；疑到y(tǒng)理論應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、能源、交通、地質(zhì)、石油、氣象、水利等眾多領(lǐng)域，成功地解決了大量的實(shí)際問(wèn)題。第一章：灰色系統(tǒng)的概念與基本原理第二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日二、灰色系統(tǒng)與幾種不確定問(wèn)題方法的比較。

模糊數(shù)學(xué)著重研究“認(rèn)知不確定”問(wèn)題，其研究對(duì)象具有“內(nèi)涵明確，外延不明確”的特點(diǎn)。主要憑借經(jīng)驗(yàn)，借助于隸屬函數(shù)進(jìn)行處理。

概率統(tǒng)計(jì)研究的是“隨機(jī)不確定”現(xiàn)象的歷史統(tǒng)計(jì)規(guī)律，考察具有多種可能發(fā)生的結(jié)果之“隨機(jī)不確定”現(xiàn)象中每一種結(jié)果發(fā)生的可能性的大小，其出發(fā)點(diǎn)是，大樣本，且對(duì)象服從某種典型分布?；疑到y(tǒng)研究的是“部分信息明確，部分信息未知”第三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日的“小樣本，貧信息”不確定性系統(tǒng)，它通過(guò)對(duì)已知“部分”信息的生成去開發(fā)了解、認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界。著重研究“外延明確，內(nèi)涵不明確”的對(duì)象。項(xiàng)目灰色系統(tǒng)概率統(tǒng)計(jì)模糊數(shù)學(xué)研究對(duì)象貧信息不確定隨機(jī)不確定認(rèn)知不確定基礎(chǔ)集合灰色朦朧集康托集模糊集方法依據(jù)信息覆蓋映射映射途徑手段灰序列生成頻率分布截集數(shù)據(jù)要求任意分布典型分布隸屬度可知側(cè)重內(nèi)涵內(nèi)涵外延目標(biāo)現(xiàn)實(shí)規(guī)律歷史統(tǒng)計(jì)規(guī)律認(rèn)知表達(dá)特色小樣本大樣本憑借經(jīng)驗(yàn)第四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2050年中國(guó)人口控制在15億到16億之間第五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日樹高在20米至30米第六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日第七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日第三章序列算子與灰色序列生成?灰色系統(tǒng)理論是通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)的整理來(lái)尋求其變化規(guī)律的,這是一種就數(shù)據(jù)尋找數(shù)據(jù)的現(xiàn)實(shí)規(guī)律的途徑,稱之為灰色序列生成?一切灰色序列都可以通過(guò)某種生成弱化其隨機(jī)性,顯現(xiàn)規(guī)律性.?算子

是處理數(shù)據(jù)的一種方法。

第八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定義3.1.3（序列算子的定義）設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為作用于X的算子，X經(jīng)過(guò)算子D的作用后所得序列記為稱D為序列算子，稱XD為一階算子作用序列。序列算子的作用可以進(jìn)行多次，相應(yīng)的若皆為序列算子，則稱為二階算子，為三階算子，為二階算子作用序列，為三階算子作用序列。3.1序列算子第九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定義3.2.5設(shè)序列若則稱為緊鄰均值生成數(shù)，由緊鄰均值生成數(shù)構(gòu)成的序列稱為緊鄰均值生成序列。在GM建模，常用緊鄰信息的均值生成，它是以原始序列為基礎(chǔ)構(gòu)造新序列的方法。注意：設(shè)為n元序列，Z為X的緊鄰均值生成序列，則Z為元序列：無(wú)法由X生成z(1).3.2均值生成第十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日3.5累加生成算子和累減生成算子定義3.5.1設(shè)為原始序列D為序列算子，其中則稱D為的一次累加生成算子，記為1-AGO（AccumulatingGenerationOperator),稱r階算子為的r次累加生成算子，記為r-AGO,習(xí)慣上，我們記第十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日其中定義3.5.2設(shè)為原始序列，D為序列算子，其中，則稱D為的一次累減生成算子，r階算子稱為的r次累減生成算子。定理3.5.1累減算子是累加算子的逆算子。第十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日第十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日一般的抽象系統(tǒng)都包含有許多影響因素，多種因素共同作用的結(jié)果決定了系統(tǒng)的發(fā)展態(tài)勢(shì)。我們希望從眾多的因素中判斷出，哪些是主要因素、哪些是次要因素。這些屬于系統(tǒng)分析的內(nèi)容，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的回歸分析、方差分析、主成分分析等都可以用來(lái)進(jìn)行系統(tǒng)分析。這些方法的不足之處是：1、要求有大量的數(shù)據(jù)。2、要求樣本服從某一種典型概率分布，各因素?cái)?shù)據(jù)與系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)之間呈線性關(guān)系且個(gè)因素之間彼此無(wú)關(guān)。3、計(jì)算量大，4、可能出現(xiàn)量化結(jié)果與定性分析結(jié)果不符的情況。第十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日灰色關(guān)聯(lián)分析方法的基本思想是根據(jù)序列曲線幾何形狀的相似程度來(lái)判斷其聯(lián)系是否緊密，曲線越接近，相應(yīng)序列之間的關(guān)聯(lián)度就越大，反之就越小。對(duì)一個(gè)抽象系統(tǒng)或現(xiàn)象進(jìn)行分析，首先要選準(zhǔn)反映系統(tǒng)行為特征的數(shù)據(jù)序列。我們稱之為找系統(tǒng)行為的映射量，用映射量來(lái)間接地表征系統(tǒng)行為。比如：國(guó)民平均受教育的年限教育的發(fā)達(dá)程度刑事案件的發(fā)案率社會(huì)治安面貌和社會(huì)秩序第十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日4.1灰色關(guān)聯(lián)因素和關(guān)聯(lián)算子集定義4.1.1設(shè)為系統(tǒng)因素，其在序號(hào)k上的觀測(cè)數(shù)據(jù)為則稱為因素的行為序列；若k為時(shí)間序號(hào)，為因素在k時(shí)刻的觀測(cè)數(shù)據(jù)，則稱為因素的行為時(shí)間序列；若k為指標(biāo)序號(hào)，為因素關(guān)于第k個(gè)指標(biāo)的觀測(cè)數(shù)據(jù)，則稱為因素的行為指標(biāo)序列。若k為觀測(cè)對(duì)象序號(hào)，為因素關(guān)于第k個(gè)對(duì)象的觀測(cè)數(shù)據(jù)，則稱為因素的行為橫向序列第十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日無(wú)論是時(shí)間序列數(shù)據(jù)、指標(biāo)序列數(shù)據(jù)還是橫向序列數(shù)據(jù)，都可以用來(lái)做關(guān)聯(lián)分析。定義4.1.2設(shè)為因素的行為序列，為序列算子，且其中則稱為初值化算子，為原像，為在初值化算子下的像，簡(jiǎn)稱初值像。第十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定義4.1.4設(shè)為因素的行為序列，為序列算子，且其中則稱為均值化算子，為在均值化算子下的像，簡(jiǎn)稱均值像。

第十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定義4.1.4設(shè)為因素的行為序列，為序列算子，且其中則稱為區(qū)間化算子，為區(qū)間值像。命題4.1.1初值化算子、均值化算子和區(qū)間值化算子皆可以使系統(tǒng)行為序列無(wú)量綱化，且在數(shù)量上規(guī)一。一般地，不宜混合、重疊使用。第十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定義4.1.5設(shè)為因素的行為序列，為序列算子，且其中則稱為逆化算子，為在逆化算子下的像，簡(jiǎn)稱逆化像。第二十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定義4.1.6設(shè)為因素的行為序列，為序列算子，且其中則稱為倒數(shù)化算子，為倒數(shù)化像。命題4.1.3若系統(tǒng)因素與系統(tǒng)主行為呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，則的逆化算子作用像和倒數(shù)化作用像與具有正相關(guān)關(guān)系。第二十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日4.3灰色關(guān)聯(lián)公理與灰色關(guān)聯(lián)度命題4.3.1設(shè)系統(tǒng)特征行為序列為增長(zhǎng)序列，為相關(guān)因素行為序列，則有1、當(dāng)為增長(zhǎng)序列時(shí)，與為正相關(guān)關(guān)系；2、當(dāng)為衰減序列時(shí)，與為負(fù)相關(guān)關(guān)系。由于負(fù)相關(guān)序列可以通過(guò)4.1節(jié)中定義的逆化算子或倒數(shù)化算子作用轉(zhuǎn)化為正相關(guān)序列，所以我們主要研究非負(fù)的相關(guān)關(guān)系。第二十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定義4.3.3設(shè)為系統(tǒng)特征序列，且為相關(guān)因素序列，第二十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日給定實(shí)數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足1、規(guī)范性2、整體性對(duì)于有3、偶對(duì)稱性=第二十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日4、接近性越小，越大。則稱為對(duì)的灰色關(guān)聯(lián)度，以上4條稱為灰色關(guān)聯(lián)四公理。表明系統(tǒng)中的任何兩個(gè)行為序列都不可能時(shí)嚴(yán)格無(wú)關(guān)聯(lián)的。整體性則體現(xiàn)了環(huán)境對(duì)灰色關(guān)聯(lián)比較的影響，環(huán)境不同，灰色關(guān)聯(lián)度亦隨之變化。偶對(duì)對(duì)稱性表明，當(dāng)灰色關(guān)聯(lián)因子集中只有兩個(gè)序列時(shí)，兩兩比較滿足對(duì)稱性。接近性是對(duì)關(guān)聯(lián)度量化的約束。第二十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定理4.3.2設(shè)系統(tǒng)行為序列對(duì)于令第二十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日則稱滿足灰色關(guān)聯(lián)四公理，其中為分辨系數(shù)?；疑P(guān)聯(lián)度的計(jì)算步驟：1、求各序列的初值像（或均值像），令2、求差序列，記3、求兩極最大差與最小差，記第二十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日4、求關(guān)聯(lián)系數(shù)5、計(jì)算關(guān)聯(lián)度第二十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)用研究☆一級(jí)男子百米運(yùn)動(dòng)員身體素質(zhì)與運(yùn)動(dòng)成績(jī)的灰色關(guān)聯(lián)度分析選擇100米作為研究項(xiàng)目,依據(jù)灰色關(guān)聯(lián)度分析原理,揭示一級(jí)水平男子百米運(yùn)動(dòng)員的各項(xiàng)身體素質(zhì)、各類型素質(zhì)與運(yùn)動(dòng)成績(jī)之間的關(guān)聯(lián)度;針對(duì)訓(xùn)練實(shí)踐中對(duì)身體素質(zhì)認(rèn)識(shí)上的模糊,提出相應(yīng)的訓(xùn)練策略,旨在對(duì)提高運(yùn)動(dòng)成績(jī)有所裨益。相關(guān)因素：行進(jìn)間30米，230米，460米，5150米，立定跳遠(yuǎn)，立定三級(jí)跳，二級(jí)蛙跳，后拋鉛球，仰臥起坐，坐蹲起，深蹲，前后劈叉，左右劈叉，站立體前屈，折回跑，象限跳，側(cè)跨步。第二十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)用研究☆我國(guó)鐵路貨物運(yùn)輸發(fā)展的灰色關(guān)聯(lián)分析本文用灰色關(guān)聯(lián)分析方法對(duì)1989～2002年我國(guó)鐵路運(yùn)輸貨運(yùn)量的發(fā)展進(jìn)行系統(tǒng)分析,探討影響我國(guó)鐵路運(yùn)輸貨運(yùn)量發(fā)展的主要因素以及各因素相對(duì)于鐵路運(yùn)輸貨運(yùn)量發(fā)展的關(guān)聯(lián)程度,以便為有關(guān)部門的決策者提供數(shù)據(jù)資料.影響我國(guó)鐵路運(yùn)輸貨運(yùn)量發(fā)展的主要因素有:GDP、人口數(shù)量、居民消費(fèi)水平、固定資產(chǎn)總投資及國(guó)家財(cái)政總收入等.把鐵路運(yùn)輸貨運(yùn)量作為母序列X0,其影響因素作為子序列第三十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日4.4廣義灰色關(guān)聯(lián)度一、絕對(duì)灰色關(guān)聯(lián)度命題4.4.1設(shè)行為序列記折線為令第三十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定義4.4.1設(shè)行為序列為序列算子，且其中則稱D為始點(diǎn)零化算子，為的始點(diǎn)零化像，記為命題4.4.2設(shè)行為序列的始點(diǎn)零化像分別為第三十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日令則1、若恒在上方，2、若恒在下方，3、若與相交，符號(hào)不定。定義4.4.2稱序列各個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)間時(shí)距之和為的長(zhǎng)度。注意：長(zhǎng)度相等的兩個(gè)序列中的觀測(cè)數(shù)據(jù)數(shù)量不一定相等。第三十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定義4.4.3設(shè)序列與的長(zhǎng)度相等，則稱為與的灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度?；疑^對(duì)關(guān)聯(lián)度滿足灰色關(guān)聯(lián)公理中的規(guī)范性、偶對(duì)對(duì)稱性與接近性，但不滿足整體性。引理4.4.2設(shè)序列與的長(zhǎng)度相同，且皆為1-時(shí)距，而分別為和的始點(diǎn)零化像，則第三十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定理4.4.3設(shè)序列和的長(zhǎng)度相同，當(dāng)他們時(shí)距不同或至少有一個(gè)為非等時(shí)距序列時(shí)，若通過(guò)均值生成填補(bǔ)相應(yīng)空穴使之化成時(shí)距相等的等時(shí)距序列，則此時(shí)灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度不變。第三十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定理4.4.4灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度具有下列性質(zhì)：1、2、只與和的幾何形狀有關(guān)，而與其空間相對(duì)位置無(wú)關(guān)。3、任何兩個(gè)序列都不是絕對(duì)無(wú)關(guān)的，即恒不為0。4、與幾何上的相似程度越大，越大。5、與的長(zhǎng)度變化，亦變。6、當(dāng)或的任一個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)變化，將隨之變化。7、8、第三十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)用研究☆登陸地域選擇登陸作戰(zhàn)中登陸地域的選擇是決定能否“登得上”的主要因素之一。登陸地域選擇的好壞直接影響到登陸成敗、戰(zhàn)場(chǎng)兵力與武器損耗的多少,以及作戰(zhàn)價(jià)值的大小等等。因此,必須在認(rèn)真分析海岸區(qū)域的地理?xiàng)l件和敵海岸兵力分布情況的基礎(chǔ)上,科學(xué)地選擇登陸地域。用灰色關(guān)聯(lián)理論的方法來(lái)分析登陸地域選擇問(wèn)題,主要是提出一種新的用以解決登陸地域選擇的問(wèn)題的解法,即灰色關(guān)聯(lián)理論的方法。第三十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日二、灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度定義4.4.5設(shè)序列長(zhǎng)度相同，且初值不等于0，分別為的初值像，則稱的灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度為與的灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度。記為灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度是序列與相對(duì)于初始點(diǎn)的變化速率的聯(lián)系的數(shù)量表征。與的變化速率越接近，越大，反之越小。命題4.4.4設(shè)為長(zhǎng)度相同且初值不等于0的序列，若，其中c>0為常數(shù)，則。第三十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)用研究☆海洋產(chǎn)業(yè)與海洋主要產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值關(guān)聯(lián)度分析，確定主導(dǎo)產(chǎn)業(yè)Ｘ0為海洋主要產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值;Ｘ1為海洋水產(chǎn)業(yè);Ｘ2為海洋油氣業(yè);Ｘ3為海濱砂礦業(yè);Ｘ4為海洋鹽業(yè);Ｘ5為沿海造船業(yè);Ｘ6為海洋交通運(yùn)輸業(yè);Ｘ7為沿海海外旅游業(yè)。第三十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日三、灰色綜合關(guān)聯(lián)度定義4.4.6設(shè)序列的長(zhǎng)度相同，且初值不等于0，與分別為與的灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度和灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度，則稱為與的灰色綜合關(guān)聯(lián)度。它既體現(xiàn)了折線的相似程度，又反映了相對(duì)與始點(diǎn)的變化速率全面反映了序列之間聯(lián)系，一般取=0.5。第四十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日☆灰色聚類決策在上市公司投資中的應(yīng)用灰色聚類分析是利用灰色系統(tǒng)中的決策理論,將不同的決策對(duì)象,根據(jù)評(píng)判指標(biāo),按照一定的評(píng)判目標(biāo)進(jìn)行聚類分析,從而對(duì)對(duì)象優(yōu)劣進(jìn)行排序,為投資者提供決策的參考依據(jù)。文章介紹了灰類聚類決策模型的原理,并在此基礎(chǔ)上詳細(xì)闡述了其在上市公司投資中的應(yīng)用。第四十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日4.7優(yōu)勢(shì)分析定義4.7.1設(shè)為系統(tǒng)特征行為數(shù)據(jù)序列，為相關(guān)因素序列，且與長(zhǎng)度相同為與的灰色關(guān)聯(lián)度，則稱為灰色關(guān)聯(lián)矩陣。第四十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日灰色關(guān)聯(lián)矩陣中第行的元素是系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列與相關(guān)因素序列的灰色關(guān)聯(lián)度；第列的元素是系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列與的灰色關(guān)聯(lián)度。類似的我們可以定義灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)矩陣、灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)矩陣以及灰色綜合關(guān)聯(lián)矩陣。利用灰色關(guān)聯(lián)矩陣可以對(duì)系統(tǒng)特征或相關(guān)因素做優(yōu)勢(shì)分析。第四十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定義4.7.2設(shè)為系統(tǒng)特征行為序列，為相關(guān)因素行為序列，為其灰色關(guān)聯(lián)矩陣，若存在滿足則稱系統(tǒng)特征優(yōu)于，記為若恒有則稱為最優(yōu)特征第四十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定義4.7.3設(shè)為系統(tǒng)特征行為序列，為相關(guān)因素行為序列，且為其灰色關(guān)聯(lián)矩陣，若存在滿足則稱系統(tǒng)特征優(yōu)于，記為若恒有則稱為最優(yōu)因素。第四十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定義4.7.4設(shè)為灰色關(guān)聯(lián)矩陣，若1、存在，滿足則稱系統(tǒng)特征準(zhǔn)優(yōu)于系統(tǒng)特征記為第四十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2、存在，滿足則稱因素準(zhǔn)優(yōu)于記為第四十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日☆導(dǎo)彈武器系統(tǒng)作戰(zhàn)效能的灰色評(píng)估依據(jù)導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo)要求,建立了導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的指標(biāo)體系;運(yùn)用灰色系統(tǒng)的原理和方法結(jié)合層次分析法對(duì)該系統(tǒng)的能力進(jìn)行評(píng)價(jià),評(píng)價(jià)采取定量分析為主,與定性分析相結(jié)合。實(shí)例證明,灰色評(píng)估與層次分析法相結(jié)合能有效降低人為因素的影響,評(píng)價(jià)結(jié)果具有客觀性,一定程度上能給決策者提供可靠的依據(jù)第四十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日

第四十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日

灰色聚類是根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)矩陣或灰數(shù)的白化權(quán)函數(shù)將一些觀測(cè)指標(biāo)或觀測(cè)對(duì)象聚集成若干個(gè)可以定義類別的方法。按聚類對(duì)象劃分，可以分為灰色關(guān)聯(lián)聚類和灰色白化權(quán)函數(shù)聚類。灰色關(guān)聯(lián)聚類主要用于同類因素的歸并，以使復(fù)雜系統(tǒng)簡(jiǎn)化。由此，我們可以檢查許多因素中是否有若干個(gè)因素關(guān)系十分密切，使我們既能夠用這些因素的綜合平均指標(biāo)或其中的某一個(gè)因素來(lái)代表這幾個(gè)因素，又可以使信息不受到嚴(yán)重?fù)p失?；疑谆瘷?quán)函數(shù)聚類主要用于檢查觀測(cè)對(duì)象是否屬于事先設(shè)定的不同類別，以區(qū)別對(duì)待。第五十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日

5.1灰色關(guān)聯(lián)聚類設(shè)有個(gè)觀測(cè)對(duì)象，每個(gè)觀測(cè)對(duì)象個(gè)特征數(shù)據(jù)，得到序列如下對(duì)所有的計(jì)算出與的絕對(duì)關(guān)聯(lián)度得上三角矩陣第五十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日

其中定義5.1.1上述矩陣A稱為特征變量關(guān)聯(lián)矩陣.取定臨界值一般要求當(dāng)時(shí)則視與為同類特征.定義5.1.2特征變量在臨界值下的分類稱為特征變量的灰色關(guān)聯(lián)聚類.可以根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要確定,越接近于1,分類越細(xì);越小,分類越粗.

第五十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院精品課程建設(shè)組第八章灰色系統(tǒng)建模第五十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日8.1GM(1,1)模型定義8.1.1稱為灰色微分型方程.定義8.1.2若灰色微分型方程滿足下列條件:信息濃度無(wú)限大序列具有灰微分內(nèi)涵背景值到灰導(dǎo)數(shù)成分具有平射關(guān)系則稱此灰色微分型方程為灰色微分方程.命題8.1.1方程為灰色微分方程,其中第五十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定義8.1.3稱為GM(1,1)模型.符號(hào)GM(1,1)的含義如下:GM(1,1)↑↑↑↑GreyModel1階方程1個(gè)變量第五十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定理8.1.1設(shè)X(0)為非負(fù)序列:其中x(0)(k)>=0,k=1,2,…,n;X(1)為X(0)的1-AGO序列:其中;Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列:其中;k=2,3,…,n若為參數(shù)列,且則灰色微分方程的最小二乘估計(jì)參數(shù)列滿足第五十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定義8.1.4設(shè)X(0)為非負(fù)序列,X(1)為X(0)的1-AGO序列,Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列,,則稱為灰色微分方程的白化方程,也叫影子方程.第五十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定理8.1.2設(shè)B,Y,如定理8.1.1所述,則白化方程的解也稱時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為GM(1,1)灰色微分方程的時(shí)間響應(yīng)序列為取x(1)(0)=x(0)(1),則還原值第五十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定義8.1.5稱GM(1,1)模型中的參數(shù)-a為發(fā)展系數(shù),b為灰色作用量.-a反映了及的發(fā)展態(tài)勢(shì).一般情況下,系統(tǒng)作用量應(yīng)是外生的或前定的,而GM(1,1)是單序列建模,只用到系統(tǒng)的行為序列(或稱輸出序列,背景值),而無(wú)外作用序列(或稱輸入序列,驅(qū)動(dòng)量).GM(1,1)中的灰色作用量是從背景值挖掘出來(lái)的數(shù)據(jù),它反映數(shù)據(jù)變化的關(guān)系,其確切內(nèi)涵是灰的.灰色作用量是內(nèi)涵外延化的具體體現(xiàn),它的存在,是區(qū)別灰色建模與一般輸入輸出建模(黑箱建模)的分水嶺,也是區(qū)分灰色系統(tǒng)觀點(diǎn)與灰箱觀點(diǎn)的重要標(biāo)志.第五十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定理8.1.3GM(1,1)模型可以轉(zhuǎn)化為其中第六十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定理8.1.4設(shè),,且為GM(1,1)模型時(shí)間響應(yīng)序列,其中則第六十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日8.2GM(1,1)模型群定義8.2.1設(shè)序列將x(0)(n)取為時(shí)間軸的原點(diǎn),則稱t<n為過(guò)去,t=n為現(xiàn)在,t>n為未來(lái).定義8.2.2設(shè)序列為其GM(1,1)時(shí)間響應(yīng)式的累減還原值,則當(dāng)t<=n時(shí),稱為模型模擬值;當(dāng)t>n時(shí),稱為模型預(yù)測(cè)值.建模的主要目的是預(yù)測(cè),為提高預(yù)測(cè)精度,首先要保證有充分高的模擬精度,尤其是t=n時(shí)的模擬精度.因此建模數(shù)據(jù)一般應(yīng)取為包括x(0)(n)在內(nèi)的一個(gè)等時(shí)距序列.第六十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定義8.2.3設(shè)原始數(shù)據(jù)序列用建立的GM(1,1)模型稱為全數(shù)據(jù)GM(1,1)用建立的GM(1,1)模型稱為部分?jǐn)?shù)據(jù)GM(1,1)設(shè)x(0)(n+1)為最新信息,將x(0)(n+1)置入X(0),稱用建立的模型為新信息GM(1,1)4置入最新信息x(0)(n+1),去掉最老信息x(0)(1),稱用建立的模型為新陳代謝GM(1,1).第六十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日8.3GM(1,1)模型的適用范圍模型具有多種不同的形式,主要有:第六十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日第六十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日命題8.3.1當(dāng)時(shí),GM(1,1)模型無(wú)意義.命題8.3.2當(dāng)GM(1,1)發(fā)展系數(shù)|a|>=2時(shí),GM(1,1)模型無(wú)意義.通過(guò)分析,可得下述結(jié)論:(1)當(dāng)-a<=0.3時(shí),GM(1,1)可用于中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)(2)當(dāng)0.3<-a<=0.5時(shí),GM(1,1)可用于短期預(yù)測(cè),中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)慎用(3)當(dāng)0.5<-a<=0.8時(shí),GM(1,1)作短期預(yù)測(cè)應(yīng)十分謹(jǐn)慎(4)當(dāng)0.8<-a<=1時(shí),應(yīng)采用殘差修正GM(1,1)(5)當(dāng)-a>1時(shí),不宜采用GM(1,1)第六十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日8.4GM(2,1)和Verhulst模型GM(1,1)適用于具有較強(qiáng)指數(shù)規(guī)律的序列,只能描述單調(diào)的變化過(guò)程.對(duì)于非單調(diào)的擺動(dòng)發(fā)展序列或有飽和的S形序列,可以考慮建立GM(2,1),DGM和Verhulst模型.第六十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日一、GM(2,1)模型定義8.4.1設(shè)原始序列其1-AGO序列X(1)和1-IAGO序列(1)X(0)分別為和其中X(1)的緊鄰均值生成序列為則稱為GM(2,1)灰色微分方程.第六十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定義8.4.2稱為GM(2,1)灰色微分方程的白化方程.定理8.4.1設(shè)如定義8.4.1所述,且則GM(2,1)參數(shù)列的最小二乘估計(jì)為第六十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定理8.4.2關(guān)于GM(2,1)白化方程的解有以下結(jié)論:若是的特解,是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解,則是GM(2,1)白化方程的通解.齊次方程的通解有以下三種情況:當(dāng)特征方程有兩個(gè)不相等實(shí)根時(shí),當(dāng)特征方程有重根時(shí),當(dāng)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)第七十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日白化方程的特解有以下三種情況:當(dāng)零不是特征方程的根時(shí),當(dāng)零是特征方程的單根時(shí),當(dāng)零是特征方程的重根時(shí),第七十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日二、DGM模型定義8.4.3設(shè)原始序列為1-AGO序列為1-IAGO序列為則稱為DGM(2,1)灰色微分方程.定義8.4.4稱為DGM(2,1)灰色微分方程的白化方程.第七十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定理8.4.3若為參數(shù)列,而如定義8.4.3所述則灰色微分方程的最小二乘估計(jì)參數(shù)滿足第七十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定理8.4.4設(shè)X(0)為非負(fù)序列,X(1)為X(0)的1-AGO序列,B,Y,如定理8.4.3所述,則白化方程的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為灰色微分方程的時(shí)間響應(yīng)序列為還原值為第七十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日三、Verhulst模型定義8.4.5設(shè)X(0)為原始數(shù)據(jù)序列,X(1)為X(0)的1-AGO序列,Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列,則稱為GM(1,1)冪模型.定義8.4.6稱為GM(1,1)冪模型的白化方程.定理8.4.5GM(1,1)冪模型之白化方程的解為第七十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定理8.4.6設(shè)如定義8.4.5所述則GM(1,1)冪模型參數(shù)列的最小二乘估計(jì)為第七十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定義8.4.7當(dāng)a=2時(shí),稱為灰色Verhulst模型.定義8.4.8稱為灰色Verhulst模型的白化過(guò)程..第七十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定理8.4.7Verhulst白化方程的解為灰色Verhulst模型的時(shí)間響應(yīng)式為第七十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日Verhulst模型主要用來(lái)描述具有飽和狀態(tài)的過(guò)程,即S形過(guò)程,常用于人口預(yù)測(cè),生物生長(zhǎng),繁殖預(yù)測(cè)和產(chǎn)品經(jīng)濟(jì)壽命預(yù)測(cè)等.由Verhulst方程的解可以看出,當(dāng)t→∞時(shí),若a>0,則x(1)(t)→0;若a<0,則x(1)(t)→a/b,即有充分大t的,對(duì)任意的k>t,x(1)(k+1)與x(1)(k)充分接近,此時(shí)x(0)(k)≈0,系統(tǒng)趨于死亡.第七十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日基于串聯(lián)灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的電力負(fù)荷預(yù)測(cè)方法為了提高電力負(fù)荷預(yù)測(cè)的精度,分析現(xiàn)有人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和灰色預(yù)測(cè)方法各自的優(yōu)缺點(diǎn),將二者相結(jié)合提出了一種串聯(lián)灰色神經(jīng)