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文檔簡介

主講王娜第四章特征值與特征向量特征值與特征向量的求法2.特征值與特征向量的概念1.知識點1--特征值與特征向量的概念與求法A=

n階方陣

非零向量

特征值

特征向量對應一、特征值與特征向量的概念如，即A=

，則=1為矩陣

的特征值，為A的屬于=1的特征向量。

A=

(A–E)=0|A–E|=0

特征方程|A–E|=

a11–

a12…a1n

a21

a22–…a2n…………

an1

an2…ann–

特征多項式A–

E

特征矩陣

特征值

特征向量(非零)

A：n階方陣(2)一個特征向量不能屬于不同的特征值。(1)矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的，一個特征值具有的特征向量不唯一；注意若為A的屬于的特征向量，則k（k≠0）也是A的屬于的特征向量。即A的屬于的特征向量不唯一。若1，2為A的屬于的特征向量，則k11+k22≠0（k1，k2不全為零）也是A的屬于的特征向量。(A–E)=0(1)0為A的特征值|A–0E|=0.(2)為A的對應于0特征向量(A–0E)=0.1.理論依據(jù)2.步驟計算|A–E|

求|A–E|=0的根求(A–E)x=0的基礎解系二、特征值與特征向量的求法思考對角矩陣的特征值為_________上三角矩陣的特征值為_________求特征值就是求一元n次方程的根；求特征向量就是求解相應的齊次線性方程組的非零解.例1

求矩陣的特征值與特征向量.的特征方程為的特征值為解所以即求特征方程的根解齊次線性方程組一個基礎解系為于是，屬于的全部特征向量為

（）.即求齊次線性方程組的全部非零解例2

求矩陣的特征值與特征向量.的特征方程為所以的特征值為解對于，求解齊次線性方程組解得一個基礎解系為于是，屬于的全部特征向量為（)行初等變換對于，求解齊次線性方程組解得一個基礎解系為于是，屬于的全部特征向量為例3

設，求的特征值與的特征向量.的特征方程為所以的特征值為解所有元素均為1對于，求解齊次線性方程組解得一個基礎解系為于是，屬于的全部特征向量為（不全為零）.基礎解系不唯一，進而屬于某一特征值的線性無關的特征向量不唯一對于，求解齊次線性方程組解得一個基礎解系為于是，屬于的全部特征向量為求方陣特征值與特征向量的步驟：

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