高一數(shù)學(xué)-函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性

專題：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性一、選擇題1.下列函數(shù)中，在(-2,0)上為減函數(shù)的是()A．y二x-12．下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是(CA．y二x-12．下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是(C.y二x2+x)D.A.f(x)二X2+x2B.f(x)=|x+1|C.f(x)=x2+x-2D.f(x)=x2+x|(-2<x<2)函數(shù)f(x)=2x2-mx+3當(dāng)xe[-2,+a)時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)xe(-2,-2]是減函數(shù)，則f(1)等于TOC\o"1-5"\h\zA.1B.9C.-3D.13函數(shù)f(x)=Jx2+2x-3的遞增區(qū)間為()A.B.[—3,1]C.(—2,-1]D.(—0—3]已知f(x)=—-x+1，且f(a)=J3，則f(-a)的值為()3x+1A.-、漢B.2-J3C.2+J3D.3-勇6?已知函數(shù)y=f(x)在R上為減函數(shù)，則y=f(|x-3|)的單調(diào)減區(qū)間為()A.(A.(-2,+2)B.[3,+2)C.[-3,+2)D.(-2,3]7.設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x+2)=-f(x)，當(dāng)0<x<1時(shí)f(x)=x，則f(7.5)等于A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5已知函數(shù)y=f(x)在R上為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-2x，則y=f(x)在R上的解析式為()A.f(x)=x(x—2)B.f(x)=|x(x—2)C.f(x)=x(x|-2)D.f(x)=|x|(|x|-2)b在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c與函數(shù)y=()x的圖象可能是()a10.已知函數(shù)f(x)=(l+x)”￡，則下列說法中，正確的是()A.f(x)是偶函數(shù)，且在【0,1］上是增函數(shù)B.f(x)是偶函數(shù)，且在【0,1］上是減函數(shù)C.f(x)是非奇非偶函數(shù)，且在【0,1］上是增函數(shù)D.f(x)是非奇非偶函數(shù)，且在【0,1］上是減函數(shù)二、填空題：已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，給出下列命題：(l)f(0)=0；(2)若f(x)在［0,+JTOC\o"1-5"\h\z上有最小值-1,則f(x)在(-卩0)上有最大值1；(3)若f(x)在［1,+J上為增函數(shù)，則f(x)在(-卩-1］上為減函數(shù)；其中正確的序號(hào)是：；定義在(-1,1)上的奇函數(shù)f(x)二x+m，則常數(shù)m=，n=;x2+nx+113?已知函數(shù)f(x)=x5+ax3+bx-8若f(-2)=10，則f⑵的值為：;已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，A(0,—1)、B((3,1)是其圖象上的兩點(diǎn)，那么f(x+1)|<1的解集的補(bǔ)集是：.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(12分)若非零函數(shù)f(x)是定義在R上的減函數(shù)，且f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=f，⑴求f(0)，f(2)的值;(2)解不等式f(2x+1)?f(x)<816.判斷下列函數(shù)的奇偶性：⑴f(x)=|x丨一?；x2；(2)f(x)=x：1-x2+v/x2-1；⑶f(x)=x6+x4+8xe[-2,2)；⑷f(x)=2T+"-2-丨x+2丨已知f(x)=x2+c，且f［f(x)］=f(x2+1)。⑴設(shè)g(x)=f［f(x)］，求g(x)的解析式；⑵設(shè)0(x)=g(x)-九f(x)，問是否存在實(shí)數(shù)九，使0(x)在(-8,-1)上是減函數(shù)，并且在(-1,0)上是增函數(shù).設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，己知xe［-2,2］時(shí)，f(x)=-x2+1，求xe［-6,-2］時(shí)，f(x)的表達(dá)式.討論函數(shù)f(x)=(a豐丄)在(-2,+8)上的單調(diào)性.x+22

高一數(shù)學(xué)同步測(cè)試(6)參考答案一、選擇題：ACDABBDCAD5.提示：設(shè)g(x)=匕1-x，可以證明g(x)為奇函數(shù)。3x+1二、填空題：①、②；12.⑴a<-2，⑵a二—；13.-26；14.—1)U[2,+勺。解:⑴原二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x二1-a,又因?yàn)樵摵瘮?shù)開口向上，???由題意得：3<1-a,即a<-2.⑵由題意得：1—a=3即a=—2。13．解：構(gòu)造函數(shù)13．解：構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)+8，則g(x)二x5+ax3+bx定是奇函數(shù)又???f(-2)=10,???g(-2)=18因此g(2)=-18所以/(2)+8=-18，即/(2)=-26?說明：函數(shù)的奇偶性不但可以求函數(shù)值，也可以利用奇偶性的圖象性質(zhì)作函數(shù)圖象。解答題：15．15．解：由于f⑷是奇函數(shù)，故f⑷=-f(-x),設(shè)x<0，則-x>0，由已知有f(-x)=-2(—x)2+3(-x)+1=-2x2一3x+\又f(0)=-f(-0)=-f(0)，因此f(0)=°,x=0-2x2+3xx=0f(x)=<2x2+3x-1從而，所求的解析式為：說明：若奇函數(shù)f(x)在x=0時(shí)有意義，則f(0)=0。第7題中沒有“f(x)在x=0時(shí)有意義”這一條件，因此“f"0)=是“f(x)為奇函數(shù)”的既不充分又不必要條件。16.解：(1)°?°f(x)=1x|-\/x2=0,?f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x)，故f(x)=xl-任2既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；⑵函數(shù)f(x)=X-1—x2+\/x2—1的定乂域由J確定，即為｛-1,1｝，此時(shí)f(x)=0,f(—x)=f(x),且f(—x)=—f(x)，故f(x)=\'1—x2+弋x2—1既是奇函數(shù)又是偶函數(shù);⑶Tf(x)=x6+x4+8的定義域xG[-2,2)關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，由函數(shù)奇偶性的定義知,故f(x)=x6+x4+8xG[-2,2)為非奇非偶函數(shù);

⑷函數(shù)f(x)二匕L的定義域由X2-0確定，解得-1<X<1,即為［-1,1］,此時(shí)2-1x+21［2-|x+2|豐0f(x)=-》!二壬，于是f(-x)二旦土二-f(x)，因此f(x)二戶鼻為奇函數(shù)。xx2-1x+21說明：(i)(i)如果從表面上由定義：???f(x)=ix1-丫匚2,???f(-x)=|-xl-jCx)2=1x|-、?匚2二f(x)，即判斷f(x)為偶函數(shù)，則對(duì)函數(shù)奇偶性的研究不夠深入。⑴、⑵通過化簡(jiǎn)，均可得f(x)=0，從而⑴、⑵中的函數(shù)均既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；(II)在判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系時(shí)，可以從f(-x)開始化簡(jiǎn)；也可以去考慮f(x)+f(-x咸f(f(x)-f(-x)；當(dāng)f(x)豐0時(shí)，也可以考慮與1或-1的關(guān)系。f(1-2a)>f(4—a2)，17.解：(1)Tf(1f(1-2a)>f(4—a2)，又tf(x)定義在［1,4］上的減函數(shù),1<1-2a<1<1-2a<41<4-a2<41-2a<4-a2即<-朽<a<J3n-l<a<0-1<a<3???滿足題意的a取值的集合為｛al-1<a<0｝。⑵分析：1—m,m不知道正負(fù)，故應(yīng)把1-m，m轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后擺脫g(x)。解：T函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，.??對(duì)定義域中的任何x都有：g(-x)=g(x)=g(|x|)Tg(x)在g(1-m)=g(1-m|),g(m)=g(m|)，?:g(1—m)<g(m)即為g(1-m|)Tg(x)在'-2<1-m<21x±0時(shí)單調(diào)遞減，?：上式等價(jià)于不等式組：\-2<m<2n-1<m<—。211-ml>lml說明：偶函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同(下題即為其一例)。牢記這個(gè)結(jié)論，對(duì)解題大有幫助，我們把它稱為“奇同偶反”，另外偶函數(shù)f(x)有f(-x)=f(x)=f(|x|)；若奇函數(shù)的定義域包含原點(diǎn)，則f(0)=0。18.證明：設(shè)x<x<0，則-x>-x>0Tf(x)在(0,+s)上是增函數(shù)°?f(-x)>f(-x)，又f(x)在R上是奇121212函數(shù)o?-f(x)>-f(x)，即f(x)<f(x)所以，y=f(x)在(-8,0)上也是增函數(shù)。1212說明：函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合：奇函數(shù)在對(duì)稱于原點(diǎn)的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性一致；偶函數(shù)則在在對(duì)稱于原點(diǎn)的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反！19.解：Jf(x)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，???f(2+說明：函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合：奇函數(shù)在對(duì)稱于原點(diǎn)的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性一致；偶函數(shù)則在在對(duì)稱于原點(diǎn)的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反！19.解：Jf(x)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，???f(2+x)二f(2-x),???f(x)二f(4-x)二f(x-4),f(x+4)二f(x+4-4)二f(x),???當(dāng)xe(—6,—2)時(shí),f(x)二f(x+4)=-(x+4)2+1二-x2-8x-15。20.解：設(shè)-2<x<x，12ax+2a+1-2a1-2af(x)二二a+x+21-2a1-2a1…f(x)—f(x)=(a+)-(a+)=(1一2a)(21x+2x+2x+2212=(1-2a)-^2^21x-x12<0(x+2)(x+2)211時(shí)，f(x)<f(x)，

2211又T-2<x<x，12???當(dāng)1-2a>0，即a<當(dāng)1-2a<0，即a>—時(shí)，f(x)>f(x)，221所以，當(dāng)a<1時(shí)，f(x)二ax+1在(-2,+8)為減函數(shù);2x+2當(dāng)a>-時(shí)，f(x)=ax+1在(-2,+8)為增函數(shù)。2x+21y=在(-8,0)上是單調(diào)遞減的，并且在x1(0,+8)上也是單調(diào)遞減的，只能說(-8,0)和(0,+8)是函數(shù)y二1的兩個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，不能說x說明：(1)一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間是不可以取其并集，如：(-8,0)U(0,+8)是原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;2)通過觀察圖像，