光電子第二章

其次章光輻射的傳播2.1光波在大氣中的傳播2.2光波在電光晶體中的傳播2.3光波在聲光晶體中的傳播2.4光波在磁光介質(zhì)中的傳播2.5光波在光纖波導(dǎo)中的傳播2.6光波在非線性介質(zhì)中的傳播2.7光波在水中的傳播章節(jié)內(nèi)容2.1光波在大氣中的傳播大氣激光通信、探測(cè)等技術(shù)應(yīng)用通常以大氣為信道。光波在大氣中傳播時(shí)，大氣氣體分子及氣溶膠的吸取和散射會(huì)引起的光束能量衰減;空氣折射率不勻整會(huì)引起的光波振幅和相位起伏；當(dāng)光波功率足夠大、持續(xù)時(shí)間極短時(shí)，非線性效應(yīng)也會(huì)影響光束的特性。2.1.1大氣衰減激光輻射在大氣中傳播時(shí),部分光輻射能量被吸取而轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降哪芰浚ㄈ鐭崮艿龋┎糠帜芰勘簧⑸涠x原來(lái)的傳播方向（即輻射能量空間重新支配）。吸取和散射的總效果使傳輸光輻射強(qiáng)度的衰減。設(shè)強(qiáng)度為I的單色光輻射，通過(guò)厚度為dl的大氣薄層。不考慮非線性效應(yīng)，光強(qiáng)衰減量dI正比與I及dl，即dI/I=(I-I0)/I=dl。積分后得大氣透過(guò)率I0Idl假定可以簡(jiǎn)化為描述大氣衰減的朗伯定律，表明光強(qiáng)隨傳輸距離的增加呈指數(shù)規(guī)律衰減。2.1.1大氣衰減為大氣衰減系數(shù)（1/km）因?yàn)樗p系數(shù)描述了吸取和散射兩種獨(dú)立物理過(guò)程對(duì)傳播光輻射強(qiáng)度的影響，所以可表示為km和m分別為分子的吸取和散射系數(shù)；ka和a分別大氣氣溶膠的吸取和散射系數(shù)。對(duì)大氣衰減的探討可歸結(jié)為對(duì)上述四個(gè)基本衰減參數(shù)的探討。應(yīng)用中，衰減系數(shù)常用單位為（1/km）或（dB/km）。二者之間的換算關(guān)系為(dB/km)=4.343(1/km)2.1.1大氣衰減大氣分子在光波電場(chǎng)的作用下產(chǎn)生極化，并以入射光的頻率作受迫振動(dòng)。所以為了克服大氣分子內(nèi)部阻力要消耗能量，表現(xiàn)為大氣分子的吸取。分子的固有吸取頻率由分子內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)形態(tài)確定。極性分子的內(nèi)部運(yùn)動(dòng)一般有分子內(nèi)電子運(yùn)動(dòng)、組成分子的原子振動(dòng)以及分子繞其質(zhì)量中心的轉(zhuǎn)動(dòng)組成。相應(yīng)的共振吸取頻率分別與光波的紫外和可見(jiàn)光、近紅外和中紅外以及遠(yuǎn)紅外區(qū)相對(duì)應(yīng)。因此，分子的吸取特性猛烈的依靠于光波的頻率。1.大氣分子的吸取大氣中N2、O2分子雖然含量最多（約90%），但它們?cè)诳梢?jiàn)光和紅外區(qū)幾乎不表現(xiàn)吸取，對(duì)遠(yuǎn)紅外和微波段才呈現(xiàn)出很大的吸取。因此，在可見(jiàn)光和近紅外區(qū)，一般不考慮其吸取作用。大氣中除包含上述分子外，還包含有He，Ar，Xe，O3，Ne等，這些分子在可見(jiàn)光和近紅外有可觀的吸取譜線，但因它們?cè)诖髿庵械暮可跷?，一般也不考慮其吸取作用。只是在高空處，其余衰減因素都已很弱，才考慮它們吸取作用。1.大氣分子的吸取H2O和CO2分子，特殊是H2O分子在近紅外區(qū)有寬廣的振動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)及純振動(dòng)結(jié)構(gòu)，因此是可見(jiàn)光和近紅外區(qū)最重要的吸取分子，是晴天大氣光學(xué)衰減的主要因素，它們的一些主要吸取譜線的中心波長(zhǎng)如表1所示。表1中對(duì)某些特定的波長(zhǎng)，大氣呈現(xiàn)出極為猛烈的吸取，光波幾乎無(wú)法通過(guò)。依據(jù)大氣的這種選擇吸取特性，一般把近紅外區(qū)分成八個(gè)區(qū)段，將透過(guò)率較高的波段稱(chēng)為“大氣窗口”。在這些窗口之內(nèi)，大氣分子呈現(xiàn)弱吸取。目前常用的激光波長(zhǎng)都處于這些窗口之內(nèi)。1.大氣分子的吸取表1：可見(jiàn)光和近紅外區(qū)主要吸取譜線吸收分子主要吸收譜線中心波長(zhǎng)(m)H2O0.720.820.930.941.131.381.461.872.663.156.2611.712.613.514.3CO21.41.62.054.35.29.410.4O24.79.6從表1不難看出，對(duì)某些特定的波長(zhǎng)，大氣呈現(xiàn)出極為猛烈的吸取，光波幾乎無(wú)法通過(guò)。依據(jù)大氣的這種選擇吸取特性，一般把近紅外區(qū)分成八個(gè)區(qū)段，將透過(guò)率較高的波段稱(chēng)為“大氣窗口”。在這些窗口之內(nèi)，大氣分子呈現(xiàn)弱吸取。目前常用的激光波長(zhǎng)都處于這些窗口之內(nèi)。1.大氣分子的吸?、拼髿夥肿由⑸浯髿庵锌偞嬖谥植康拿芏扰c平均密度統(tǒng)計(jì)性的偏離——密度起伏，破壞了大氣的光學(xué)勻整性，一部分光輻射光會(huì)向其他方向傳播，從而導(dǎo)致光在各個(gè)方向上的散射。在可見(jiàn)光和近紅外波段，輻射波長(zhǎng)總是遠(yuǎn)大于分子的線度，這一條件下的散射為瑞利散射。瑞利散射光的強(qiáng)度與波長(zhǎng)的四次方成反比。瑞利散射系數(shù)的閱歷公式為波長(zhǎng)越長(zhǎng)，散射越弱；波長(zhǎng)越短，散射越猛烈。2.大氣分子散射光波在遇到大氣分子或氣溶膠粒子等時(shí)，便會(huì)與它們發(fā)生相互作用，重新向四面八方放射出頻率與入射光的相同，但強(qiáng)度較弱的光(稱(chēng)子波)，這種現(xiàn)象稱(chēng)光散射。子波稱(chēng)散射光，接受原入射光并放射子波的空氣分子或氣溶膠粒子稱(chēng)散射粒子。當(dāng)散射粒子的尺度遠(yuǎn)小于入射光的波長(zhǎng)時(shí)(例如大氣分子對(duì)可見(jiàn)光的散射)，稱(chēng)分子散射或瑞利散射，散射光分布勻整且對(duì)稱(chēng)。2.大氣分子散射由于分子散射波長(zhǎng)的四次方成反比。波長(zhǎng)越長(zhǎng)，散射越弱；波長(zhǎng)越短，散射越猛烈。故可見(jiàn)光比紅外光散射猛烈，藍(lán)光又比紅光散射猛烈。在晴朗天空，其他微粒很少，因此瑞利散射是主要的，又因?yàn)樗{(lán)光散射最猛烈，故明朗的天空呈現(xiàn)藍(lán)色。2.大氣分子散射（3）大氣氣溶膠的衰減大氣氣溶膠的概念：大氣中有大量的粒度在0.03m到2000m之間的固態(tài)和液態(tài)微粒，它們大致是塵埃、煙粒、微水滴、鹽粒以及有機(jī)微生物等。由于這些微粒在大氣中的懸浮呈膠溶狀態(tài)，所以通常又稱(chēng)為大氣氣溶膠。氣溶膠對(duì)光波的衰減包括氣溶膠的散射和吸取。當(dāng)光的波長(zhǎng)相當(dāng)于或小于散射粒子尺寸時(shí)，即產(chǎn)生米-德拜散射。米-德拜散射則主要依靠于散射粒子的尺寸、密度分布以及折射率特性，與波長(zhǎng)的關(guān)系遠(yuǎn)不如瑞利散射猛烈（可以近似認(rèn)為與波長(zhǎng)無(wú)關(guān)）。3.大氣氣溶膠的衰減氣溶膠微粒的尺寸分布極其困難，受天氣變更的影響也特殊大，不同天氣類(lèi)型的氣溶膠粒子的密度及線度的最大值列于表2中。表2-2霾、云和降水天氣的物理參數(shù)天氣類(lèi)型N(cm-3)amax(m)氣溶膠類(lèi)型霾M100cm-33海上或岸邊的氣溶膠霾L100cm-32大陸性氣溶膠霾H100cm-30.6高空或平流層的氣溶膠雨M100cm-33000小雨或中雨雨L1000m-32000大雨冰雹H10m-36000含有大量小顆粒的冰雹積云C.1100cm-315積云或?qū)釉?、霧云C.2100cm-37有色環(huán)的云云C.3100cm-33.5貝母云云C.4100cm-35.5太陽(yáng)周?chē)碾p層或三層環(huán)的云通常大氣是一種勻整混合的單一氣態(tài)流體，其運(yùn)動(dòng)形式分為層流運(yùn)動(dòng)和湍流運(yùn)動(dòng)。層流運(yùn)動(dòng)：流體質(zhì)點(diǎn)做有規(guī)則的穩(wěn)定流淌，在一個(gè)薄層的流速和流向均為定值，層與層之間在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不發(fā)生混合。湍流運(yùn)動(dòng)：無(wú)規(guī)則的漩渦流淌，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡很困難，既有橫向運(yùn)動(dòng)，也有縱向運(yùn)動(dòng)，空間每一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度圍繞某一平均值隨機(jī)起伏。l0圖-42.1.2大氣湍流效應(yīng)大氣的湍流狀態(tài)將使激光輻射在傳播過(guò)程中隨機(jī)地變更其光波參量，使光束質(zhì)量受到嚴(yán)峻影響，出現(xiàn)所謂光束截面內(nèi)的強(qiáng)度閃爍、光束的彎曲和漂移（亦稱(chēng)方向抖動(dòng)）、光束彌散畸變以及空間相干性退化等現(xiàn)象，統(tǒng)稱(chēng)為大氣湍流效應(yīng)。2.1.2大氣湍流效應(yīng)在氣體或液體的某一容積內(nèi)，慣性力與此容積邊界上所受的粘滯力之比超過(guò)某一臨界值時(shí)，液體或氣體的有規(guī)則的層流運(yùn)動(dòng)就會(huì)失去其穩(wěn)定性而過(guò)渡到不規(guī)則的湍流運(yùn)動(dòng)，這一比值就是表示流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)特征的雷諾數(shù)Re：式中，為流體密度（kg/m3）；l為某一特征線度（m）vl為在l量級(jí)距離上運(yùn)動(dòng)速度的變更量（m/s）；為流體粘滯系數(shù)（kg/ms）。雷諾數(shù)Re是一個(gè)無(wú)量綱的數(shù)。當(dāng)Re小于臨界值Recr（由試驗(yàn)測(cè)定）時(shí)，流體處于穩(wěn)定的層流運(yùn)動(dòng)，而大于Recr時(shí)為湍流運(yùn)動(dòng)。由于氣體的粘滯系數(shù)較小，所以氣體的運(yùn)動(dòng)多半為湍流運(yùn)動(dòng)。2.1.2大氣湍流效應(yīng)激光的大氣湍流效應(yīng)，事實(shí)上是指激光輻射在折射率起伏場(chǎng)中傳輸時(shí)的效應(yīng)。湍流理論表明，大氣速度、溫度、折射率的統(tǒng)計(jì)特性聽(tīng)從“2/3次方定律”式中，i分別代表速度（v）、溫度（T）和折射率（n）；r為考察點(diǎn)之間的距離；Ci為相應(yīng)場(chǎng)的結(jié)構(gòu)常數(shù)，單位是m-1/3。(2.2-10)大氣湍流折射率的統(tǒng)計(jì)特性干脆影響激光束的傳輸特性，通常用折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)Ci的數(shù)值大小表征湍流強(qiáng)度，即弱湍流：Cn=810-9m-1/3，中等湍流：Cn=410-8m-1/3，強(qiáng)湍流：Cn=510-7m-1/32.1.2大氣湍流效應(yīng)1、大氣閃爍光束強(qiáng)度在時(shí)間和空間上隨機(jī)起伏，光強(qiáng)忽大忽小，即所謂光束強(qiáng)度閃爍。大氣閃爍的幅度特性由接收平面上某點(diǎn)光強(qiáng)I的對(duì)數(shù)強(qiáng)度方差來(lái)表征式中，可通過(guò)理論計(jì)算求得，而則可由實(shí)際測(cè)量得到。一般地，波長(zhǎng)短，閃爍強(qiáng)，波長(zhǎng)長(zhǎng)，閃爍小。當(dāng)湍流強(qiáng)度增加到確定程度或傳輸距離增大到確定限度時(shí)，閃爍方差就不再按上述規(guī)律接著增大，卻略有減小而呈現(xiàn)飽和，故稱(chēng)之為閃爍的飽和效應(yīng)。在弱湍流且湍流強(qiáng)度勻整的條件下：1、大氣閃爍2、光束的彎曲和漂移在接收平面上，光束中心的投射點(diǎn)（即光斑位置）以某個(gè)統(tǒng)計(jì)平均位置為中心，發(fā)生快速的隨機(jī)性跳動(dòng)（其頻率可由數(shù)赫到數(shù)十赫），此現(xiàn)象稱(chēng)為光束漂移。若將光束視為一體，經(jīng)過(guò)若干分鐘會(huì)發(fā)覺(jué)，其平均方向明顯變更，這種慢漂移亦稱(chēng)為光束彎曲。光束彎曲漂移現(xiàn)象亦稱(chēng)天文折射，主要受制于大氣折射率的起伏。彎曲表現(xiàn)為光束統(tǒng)計(jì)位置的慢變更，漂移則是光束圍繞其平均位置的快速跳動(dòng)。3、空間相位起伏假如不是用靶面接收，而是在透鏡的焦平面上接收，就會(huì)發(fā)覺(jué)像點(diǎn)抖動(dòng)。這可說(shuō)明為在光束產(chǎn)生漂移的同時(shí)，光束在接收面上的到達(dá)角也因湍流影響而隨機(jī)起伏，即與接收孔徑相當(dāng)?shù)哪且徊糠植ㄇ跋鄬?duì)于接收面的傾斜產(chǎn)生隨機(jī)起伏。作業(yè)：P88，2.1、2.21.何為大氣窗口，試分析光譜位于大氣窗口內(nèi)的光輻射的大氣衰減因素。[答]：對(duì)某些特定的波長(zhǎng)，大氣呈現(xiàn)出極為猛烈的吸取。光波幾乎無(wú)法通過(guò)。而對(duì)于另外一些波長(zhǎng)的光波，幾乎不吸取，依據(jù)大氣的這種選擇吸取特性，一般把近紅外區(qū)分成八個(gè)區(qū)段，將透過(guò)率較高的波段稱(chēng)為大氣窗口。光譜位于大氣窗口內(nèi)的光輻射的大氣衰減因素主要有：大氣分子的吸取，大氣分子散射，大氣氣溶膠的衰減。2.何為大氣湍流效應(yīng)，大氣湍流對(duì)光束的傳播產(chǎn)生哪些影響？[答]；大氣湍流效應(yīng)是一種無(wú)規(guī)則的漩渦流淌，流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡特殊困難，既有橫向運(yùn)動(dòng)，又有縱向運(yùn)動(dòng)，空間每一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度圍繞某一平均值隨機(jī)起伏。這種湍流狀態(tài)將使激光輻射在傳播過(guò)程中隨機(jī)地變更其光波參量，使光束質(zhì)量受到嚴(yán)峻影響，出現(xiàn)所謂光束截面內(nèi)的強(qiáng)度閃爍、光束的彎曲和漂移（亦稱(chēng)方向抖動(dòng)）、光束彌散畸變以及空間相干性退化等現(xiàn)象，統(tǒng)稱(chēng)為大氣湍流效應(yīng)。2.5.1光纖波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)及弱導(dǎo)性光纖是一種能夠傳輸光頻電磁波的介質(zhì)波導(dǎo)，它由纖芯、包層和護(hù)套三部分組成。當(dāng)滿(mǎn)足確定的入射條件時(shí)，光波就能沿著纖芯向前傳播。護(hù)套包層纖芯2a2.5光波在光纖波導(dǎo)中的傳播1、光纖的分類(lèi)

按折射率分布的方式分類(lèi)：

階躍折射率光纖和梯度折射率光纖。按傳輸?shù)哪Ｊ綌?shù)量分類(lèi)：

單模光纖和多模光纖。按制造光纖的材料分，有：①高純度熔石英光纖

其特點(diǎn)是材料的光傳輸損耗低，有的波長(zhǎng)可低到0.2dB／km，一般均小于ldB／km；1、光纖的分類(lèi)按制造光纖的材料分，有：②多組分玻璃纖維其特點(diǎn)是芯-皮折射率可在較大范圍內(nèi)變更，因而有利于制造大數(shù)值孔徑的光纖，但材料損耗大，在可見(jiàn)光波段一般為:1dB／km③塑料光纖其特點(diǎn)是成本低，缺點(diǎn)是材料損耗大，溫度性能較差；波導(dǎo)的性質(zhì)由纖芯和包層的折射率分布確定，工程上定義為纖芯和包層間的相對(duì)折射率差當(dāng)時(shí)，上式簡(jiǎn)化為此即為光纖波導(dǎo)的弱導(dǎo)條件。

2、光纖的特性光纖的弱導(dǎo)特性是光纖與微波圓波導(dǎo)之間的重要差別之一。弱導(dǎo)的基本含義是指很小的折射率差就能構(gòu)成良好的光纖波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，而且為制造供應(yīng)了很大的便利。一般介質(zhì)波導(dǎo)截面上的折射率分布可以用指數(shù)型分布表示為2、光纖的特性上式中a為纖芯的半徑，n1為光纖軸線上的折射率，n2為包層折射率，α為一常數(shù)。階躍剖面n(r)an2n1r纖芯階躍折射率光纖an2n1r纖芯漸變剖面n(r)梯度折射率光纖2、光纖的特性2.5.2光束在光纖波導(dǎo)中的傳播特性射線理論的基礎(chǔ)是光線方程（費(fèi)馬原理）

：空間光線上某點(diǎn)的位置矢量，s：該點(diǎn)到光線到原點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度，：折射率的空間分布。應(yīng)用上式，結(jié)合初始條件，原則上就可確定任意已知折射率分布介質(zhì)光線的軌跡。1、階躍光纖中光束的傳播勻整介質(zhì)中光線軌跡是直線，光纖的傳光機(jī)理在于光的全反射。光纖可視為圓柱波導(dǎo)，在圓柱波導(dǎo)中，光線的軌跡可以在通過(guò)光纖軸線的主截面內(nèi)，如圖2(a)所示，也可以不在通過(guò)光纖軸線的主截面內(nèi)，如圖2(b)所示。要完整的確定一條光線，必需用兩個(gè)參量，即光線在界面的入射角和光線與光纖軸線的夾角。2.5.2光束在光纖波導(dǎo)中的傳播特性Prn2n1QQn2n1P(a)rtPQPrn2n1Q(b)圖2階躍折射率光纖纖芯內(nèi)的光線路徑(a)子午光線的鋸齒路徑；(b)偏斜光線的螺旋路經(jīng)及其在纖芯橫截面上的投影。當(dāng)入射光線通過(guò)光纖軸線，且入射角1大于界面臨界角時(shí)，光線將在柱體界面上不斷發(fā)生全反射，形成曲折回路，而且傳導(dǎo)光線的軌跡始終在光纖的主截面內(nèi)。這種光線稱(chēng)為子午光線，包含子午光線的平面稱(chēng)為子午面。

（1）子午光線1、階躍光纖中光束的傳播

（1）子午光線1、階躍光纖中光束的傳播設(shè)光線從折射率為n0的介質(zhì)通過(guò)波導(dǎo)端面中心點(diǎn)入射，進(jìn)入波導(dǎo)后按子午光線傳播。依據(jù)折射定律，當(dāng)產(chǎn)生全反射時(shí)，要求，因此有

一般狀況下，n0=1（空氣），則子午光線對(duì)應(yīng)的最大入射角稱(chēng)為光纖的數(shù)值孔徑它代表光纖的集光本事。在弱導(dǎo)條件下，光纖的數(shù)值孔徑為：

（1）子午光線1、階躍光纖中光束的傳播（2）斜射光線

當(dāng)入射光線不通過(guò)光纖軸線時(shí)，傳導(dǎo)光線將不在一個(gè)平面內(nèi)，這種光線稱(chēng)為斜射光線。假如將其投影到端截面上，就會(huì)更清晰地看到傳導(dǎo)光線將完全限制在兩個(gè)共軸圓柱面之間，其中之一是纖芯-包層邊界，另一個(gè)在纖芯中，其位置由角度1和0確定，稱(chēng)為散焦面。1、階躍光纖中光束的傳播O01APrtaQ1OCBO(a)0O(b)圖3階躍光纖中的斜射光線明顯，隨著入射角1的增大，內(nèi)散焦面對(duì)外擴(kuò)大并趨近為邊界面。在極限狀況下，光纖端面的光線入射面與圓柱面相切（1=90），在光纖內(nèi)傳導(dǎo)的光線演化為一條與圓柱表面相切的螺線，兩個(gè)散焦面重合。0為端面入射角，1為折射角，a為折射光線與端面的夾角。當(dāng)滿(mǎn)足全反射條件時(shí)，得到波導(dǎo)內(nèi)允許的最大軸線角為(8)當(dāng)（空氣）時(shí)，最大入射角為(9)式中是傳導(dǎo)子午光線的最大入射角。

γ為入射面與子午的夾角。由上述探討可知，在圓柱界面上一點(diǎn)A處全部可能的入射光線可分為三部分：A.非導(dǎo)引光線（折射光線，折射角小于臨界角）：不滿(mǎn)足全反射，部分光線折射到包層中去。B.導(dǎo)引光線（折射角大于臨界角）：光線將限制在纖芯中傳播。C.泄漏光線（隧道光線）：光線雖然滿(mǎn)足折射角大于臨界角，但彎曲面上并不發(fā)生全反射。（參見(jiàn)教材P77圖2-20）（3）不同光程引發(fā)的光脈沖的彌散

階躍光纖中與光纖軸成不同夾角的導(dǎo)引光線，在軸向經(jīng)過(guò)同樣距離時(shí)，各自走過(guò)的光程是不同的。因此，若有一個(gè)光脈沖（含有多種頻率的光波）在入射端激發(fā)起各種不同角度的導(dǎo)引光線（色散：折射率是頻率的函數(shù)），那么由于每根光線經(jīng)過(guò)的光程不同，就會(huì)先后到達(dá)終端，從而引起光脈沖寬度的加寬，稱(chēng)為光脈沖的彌散。

1、階躍光纖中光束的傳播光線經(jīng)過(guò)軸向距離L所花的最長(zhǎng)和最短時(shí)間差為可見(jiàn)，光脈沖彌散正比于，愈小，

就愈小。（3）不同光程引發(fā)的光脈沖的彌散1、階躍光纖中光束的傳播2、漸變光纖中光束的傳播只探討平方率梯度光纖中光波的傳播特性。平方律折射率分布光纖的n(r)可表示為（1）平方律梯度光纖中的光線軌跡

由光纖理論可以證明子午光線軌跡按正弦規(guī)律變更式中r0、由光纖參量確定?？梢?jiàn)平方律梯度光纖具有自聚焦性質(zhì)，又稱(chēng)自聚焦光纖，如圖4所示。等效焦距：PQrn(r)znrtPQrn(r)nrt2PQrt(a)rt1rt2(b)r(r)(c)圖4漸變折射率分布光纖纖芯內(nèi)光線的路徑及其在纖芯橫截面上的投影(a)子午光線路徑；(b)斜射光線路徑；(c)投影和切向間的夾角(r)fmin=1/n(0)1/n(0)=2/z(a)