2022年新高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：三角函數(shù)公式的基本應(yīng)用

2022年新高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：三角函數(shù)公式的基本應(yīng)用

,收H?八-21+cos2a.1-COS2a

1.降暴公式：cos2a=2，sin2a=.

2.升某公式：1+cos2a=2COS2Q,1—cos2a=2sin2a.

3.公式變形：tana土tan/?=tan(a±/?)(l+tanatan尸).

1-tana(TI\1+tana(it.\

=tan彳-Q；-；------=tan彳十Q

1+tana----14)'1—tana----14)

sin2a.、2tana_1-tan2a.、.

cos—,sin2a=~,---cos2a=~\-------T-，l±sin2a=(sina±cosar.

2sina1+tan2al+tan2a'7

4.輔助角(“二合一”)公式：

22

osina+bcosa=yla+bsin(a+(p)f

其中C°S好—后一'方-瑞聲■.

題組一走出誤區(qū)

1.判斷正誤(正確的打“J”錯誤的打“義”)

(1)存在實數(shù)a,4使等式sin(a+尸)=sina+sin4成立.(J)

(2)在銳角△A3C中，sinAsin3和cosAcosB大小不確定.(X)

(3)對任意角a都有1+sina=(sin^+cos/)(j)

(4)y=3sinx+4cosx的最大值是7.(X)

八qtana+tan￡、j,，八

(5)公式tan(a+￡)=1_tanatan1可以變形為妗口a+tanA=tan("十份(1—tanatan份,且

對任意角a,4都成立.(X)

［解析］根據(jù)正弦、余弦和正切的和角、差角公式知(2)(4)(5)是錯誤的，(1)(3)是正確的.

題組二走進教材

2.(必修4P131T5改編)計算sin43°cos13°+sin47。85103。的結(jié)果等于(A)

A.|B.雪

C.當D.日

［解析］原式=sin430cos13°—cos43°sin13°=sin(43°—13°)=sin30°=；故選A.

另解：原式=cos470cos13°-sin47°sin130=cos(470+13°)=cos60。=；.故選A.

3.泌修4Pl35T5改編)cos嶗—sin吟=(B)

oo

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1

AV2

-2

2B.1

D.

c一

V32V2

兀

拘

佛-V2

4-

4.（必修4P146A組T4改編）（l+tan17。）（1+1@口28。）的值為（D）

A.-1B.0

C.1D.2

［解析］原式=l+tan170+tan280+tan17°-tan28°=l+tan45°（l-tan17°-tan28°）+

tan17°-tan28。=1+1=2.故選D.

題組三走向高考

21

5.（2020?課標II,13,5分）若sinx=_］,則cos2x=.

［解析］Vsinx=—.*.cos2x=1—2sin2x=1

6.（2020?江蘇，8,5分）已知sin2《+a）=|,則sin2a的值是

屆無噂辿=產(chǎn)

［解析J1±4-4

7.（2020?浙江,13,6分）已知tan。=2,則cos20=_—|,tan（。一*

cos29—1—tan2/91—43

［解析］因為tan?=2,所以。（^?！洝背恰嘤毁鴁中二一3

tan6^—tan7。,

42—11

..711+23,

1t+tan仇zani

輔助角公式的應(yīng)用

應(yīng)用1求值

??例5（2020?屆安徽江淮十校聯(lián)考）已知cos（x—§=一坐，則cosx+cosQ

C.-1

（一鼻.71..713

［解析］cosx+cosx=cosx+cosxcos^+sinxsin］=］cos

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例6(2017?全國11)函數(shù)兀￥)=28$不+$山區(qū)的最大值為_迅_.

(2)函數(shù)?x)=2，§sinx-cosx—2sin2x的值域為L3J］.

［分析］⑴直接利用輔助角公式化為Asin(cox+(p)；

(2)高次的先用二倍角余弦公式降次，然后再用輔助角公式化為ASM(GX+9).

I解析］(1次r)=V^cos/^+sinx.興j=V^sin(x+p)(其中cos^=^,sin^9=^^),

顯然火x)的最大值為小.

(2求x)=，5sin2x+cos2x—1

=2^^sin2x+^cos2x)—1

=2sin(2x+1—l.

顯然於)max=1,7(X)min=-3.

故外)的值域為［—3,1］.

應(yīng)用3求單調(diào)區(qū)間

?例7函數(shù)y(x)=cos2x+小sinxcosx(x￡［0,兀］)的單調(diào)遞減區(qū)間為(B)

一八兀-1「兀2n-

A.［0,3JB.匕,yj

r7t5K-I「5兀一

C6MlD.4可

［解析］函數(shù)段)=cos2x+小sinxcosx=g+；cos2x+坐sin2x=sin(2x+§+g.由2kn+

TTjr3717T

Z￡Z,得兀］,???當Z=0時，可得

ZoZo3J

單調(diào)遞減區(qū)間為》y,故選B.

名師直被

用輔助角公式變形三角函數(shù)式時：

(1)遇兩角和或差的三角函數(shù)，要先展開再重組;

(2)遇高次時，要先降寨；

(3)熟記以下常用結(jié)論：

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①sina±cosa=#sin(a/)

(2hj3sin

③sina±\[3

〔變式訓(xùn)練3〕

(1)(2020?湖南瀏陽一中期中)已知sind+a)+cosa=一坐,貝!)cos|*-?)=(C)

一平B.羋

C.—!D.g

(2)(2020.北京，14)若函數(shù)次x)=sin(x+8)+cosx的最大值為2,則常數(shù)g的一個取值為

s匹

222E(k￡Z)即口“?

「兀?！肛?兀-|

C?岳引D.佟yj

［分析］(1)將sin《+a)展開后重組再用輔助角公式化簡.

［解析］⑴,.飛山(季+0［)+＜：0$a=一坐，

.1,^3.,亞

.?/cosa十亍sina+cosa——亍,

.'.2sina+cosa=-3,即sin(^a+^J=—

二?cos/-a)=cos(a+W)]=sin(a+§=