必修二講義1-1-5向心加速度

1.1.5向心加速度學(xué)習(xí)目標(biāo)核心凝煉1.理解勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的速度變化量和向心加速度的概念。1個(gè)概念——向心加速度4個(gè)表達(dá)式——an＝eq\f(v2,r)an＝ω2ran＝eq\f(4π2,T2)ran＝ωv2.知道向心加速度和線速度、角速度的關(guān)系式。3.能夠運(yùn)用向心加速度公式求解有關(guān)問(wèn)題。一、勻速圓周運(yùn)動(dòng)中加速度的方向[觀圖助學(xué)]甲乙(1)如圖甲所示游客乘坐摩天輪做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有加速度嗎？方向向哪？(2)如圖乙所示，小球在拉力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，小球受幾個(gè)力、合力方向如何？產(chǎn)生的加速度指向哪個(gè)方向？1.任何做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度都指向圓心。這個(gè)加速度叫做向心加速度。2.由于勻速圓周運(yùn)動(dòng)中向心加速度的方向時(shí)刻發(fā)生變化，所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)既不是勻速運(yùn)動(dòng)，也不是勻加速運(yùn)動(dòng)，而是變加速運(yùn)動(dòng)。[理解概念]判斷下列說(shuō)法是否正確。(1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。(×)(2)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度總指向圓心。(√)(3)勻速圓周運(yùn)動(dòng)是加速度不變的運(yùn)動(dòng)。(×)二、向心加速度的大小向心加速度公式(1)基本公式an＝eq\f(v2,r)＝ω2r。(2)拓展公式an＝eq\f(4π2,T2)r＝ωv。(3)向心加速度的公式既適用于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也適用于非勻速圓周運(yùn)動(dòng)。[理解概念]判斷下列說(shuō)法是否正確。(1)根據(jù)a＝eq\f(v2,r)知加速度a與半徑r成反比。(×)(2)根據(jù)a＝ω2r知加速度a與半徑r成正比。(×)(3)在一定條件下，加速度a與半徑r既可以成正比關(guān)系，也可以成反比關(guān)系。(√)向心加速度的理解[觀察探究]如圖1所示為游樂(lè)設(shè)施空中飛車(chē)的示意圖，當(dāng)飛車(chē)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體受幾個(gè)力，合力方向的如何？合力產(chǎn)生的加速度就是向心加速度嗎？加速度一定指向圓心嗎？圖1答案在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，物體受2個(gè)力，重力和繩子的拉力，合力指向做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，產(chǎn)生的加速度就是向心加速度，加速度一定指向圓心。[探究歸納]1.物理意義描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)線速度方向變化的快慢，不表示速度大小變化的快慢。2.方向總是沿著圓周運(yùn)動(dòng)的半徑指向圓心，即方向始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直，方向時(shí)刻改變。3.圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)不論向心加速度an的大小是否變化，an的方向是時(shí)刻改變的，所以圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度時(shí)刻發(fā)生改變，圓周運(yùn)動(dòng)一定是非勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。4.變速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度做變速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，加速度一般情況下不指向圓心，該加速度有兩個(gè)分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示速度方向變化的快慢，切向加速度表示速度大小變化的快慢。所以變速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度的方向也總是指向圓心。[試題案例][例1](多選)關(guān)于向心加速度，以下說(shuō)法正確的是()A.向心加速度的方向始終與速度方向垂直B.向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小C.物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度方向始終指向圓心D.物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度方向始終指向圓心解析向心加速度的方向沿半徑指向圓心，速度方向則沿圓周的切線方向，所以向心加速度的方向始終與速度方向垂直，只改變線速度的方向，選項(xiàng)A、B正確；物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，只具有向心加速度，加速度方向始終指向圓心，選項(xiàng)D正確；物體做變速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體的向心加速度與切向加速度的合加速度的方向不指向圓心，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。答案ABD[針對(duì)訓(xùn)練1]關(guān)于向心加速度，下列說(shuō)法正確的是()A.向心加速度是描述線速度大小變化快慢的物理量B.向心加速度是描述線速度的方向變化快慢的物理量C.向心加速度時(shí)刻指向圓心，方向不變D.向心加速度是平均加速度，大小可用a＝eq\f(v－v0,t)來(lái)計(jì)算解析加速度是描述速度變化快慢的物理量，向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量，因此A錯(cuò)誤，B正確；雖然向心加速度時(shí)刻指向圓心，但是沿不同的半徑指向圓心，所以方向不斷變化，C錯(cuò)誤；加速度公式a＝eq\f(v－v0,t)適用于平均加速度的計(jì)算，向心加速度一般是指瞬時(shí)加速度，D錯(cuò)誤。答案B向心加速度公式的理解與應(yīng)用[觀察探究]如圖2所示，兩個(gè)嚙合的齒輪，其中A點(diǎn)為小齒輪邊緣上的點(diǎn)，B點(diǎn)為大齒輪邊緣上的點(diǎn)，C點(diǎn)為大齒輪中間的點(diǎn)。圖2(1)哪兩個(gè)點(diǎn)的向心加速度與半徑成正比？(2)哪兩點(diǎn)的向心加速度與半徑成反比？答案(1)B、C兩個(gè)點(diǎn)的角速度相同，由an＝ω2r知向心加速度與半徑成正比。(2)A、B兩個(gè)點(diǎn)的線速度相同，由an＝eq\f(v2,r)知向心加速度與半徑成反比。[探究歸納]1.向心加速度的公式an＝eq\f(v2,r)＝ω2r＝eq\f(4π2,T2)r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv。2.向心加速度的大小與半徑的關(guān)系理解(1)當(dāng)r一定時(shí)，an∝v2，an∝ω2。(2)當(dāng)v一定時(shí)，an∝eq\f(1,r)。(3)當(dāng)ω一定時(shí)，an∝r。(4)an與r的關(guān)系圖象：如圖3所示。由an－r圖象可以看出：an與r成正比還是反比，要看ω恒定還是v恒定。圖3[試題案例][例2]如圖4所示，一個(gè)大輪通過(guò)皮帶拉著小輪轉(zhuǎn)動(dòng)，皮帶和兩輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，大輪的半徑是小輪半徑的2倍，大輪上的一點(diǎn)S離轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離是大輪半徑的eq\f(1,3)。當(dāng)大輪邊緣上的P點(diǎn)的向心加速度是12m/s2時(shí)，大輪上的S點(diǎn)和小輪邊緣上的Q點(diǎn)的向心加速度各為多少？圖4【審題指導(dǎo)】(1)P和S在同一輪上，角速度相同，選用an＝ω2r計(jì)算向心加速度。(2)P和Q為皮帶傳動(dòng)的兩個(gè)輪邊緣上的點(diǎn)，線速度大小相等，選用an＝eq\f(v2,r)計(jì)算向心加速度。解析同一輪子上的S點(diǎn)和P點(diǎn)的角速度相同，即ωS＝ωP。由向心加速度公式an＝ω2r，得eq\f(aS,aP)＝eq\f(rS,rP)，故aS＝eq\f(rS,rP)aP＝eq\f(1,3)×12m/s2＝4m/s2；又因?yàn)槠Р淮蚧?，所以皮帶傳?dòng)的兩輪邊緣上各點(diǎn)的線速度大小相等，即vP＝vQ，由向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)，得eq\f(aP,aQ)＝eq\f(rQ,rP)，故aQ＝eq\f(rP,rQ)aP＝2×12m/s2＝24m/s2。答案4m/s224m/s2向心加速度公式的應(yīng)用技巧(1)先確定各點(diǎn)是線速度大小相等，還是角速度相同。(2)在線速度大小相等時(shí)，向心加速度與半徑成反比，在角速度相同時(shí)，向心加速度與半徑成正比。(3)向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)和an＝ω2r不僅適用于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也適用于變速圓周運(yùn)動(dòng)。[針對(duì)訓(xùn)練2](2018·濱州高一檢測(cè))(多選)如圖5所示是甲、乙兩球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度隨半徑變化的關(guān)系圖象，下列說(shuō)法中正確的是()圖5A.甲球線速度大小保持不變B.乙球線速度大小保持不變C.甲球角速度大小保持不變D.乙球角速度大小保持不變解析從圖象知，對(duì)甲：a與R成反比，由a＝eq\f(v2,R)知，當(dāng)v一定時(shí)，a∝eq\f(1,R)，故甲球線速度大小不變。對(duì)乙：a與R成正比，由a＝ω2R知，當(dāng)ω一定時(shí)，a∝R，故乙球角速度一定。選項(xiàng)A、D正確。答案AD1.(對(duì)向心加速度的理解)下列關(guān)于向心加速度的說(shuō)法正確的是()A.向心加速度越大，物體速率變化越快B.向心加速度越大，物體轉(zhuǎn)動(dòng)得越快C.向心加速度方向始終與速度方向垂直，指向圓心D.在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度是恒定的解析向心加速度反映速度方向變化的快慢，切向加速度反應(yīng)速率變化的快慢，故A錯(cuò)誤；向心加速度的方向始終與速度方向垂直，指向圓心，方向時(shí)刻改變，故C正確，D錯(cuò)誤；向心加速度的大小與物體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢無(wú)直接關(guān)系，故B錯(cuò)誤。答案C2.(對(duì)向心加速度公式的理解)下列關(guān)于質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的說(shuō)法正確的是()A.由a＝eq\f(v2,r)知a與r成反比B.由a＝ω2r知a與r成正比C.由ω＝eq\f(v,r)知ω與r成反比D.由ω＝2πn知ω與轉(zhuǎn)速n成正比解析由a＝eq\f(v2,r)知，只有當(dāng)v一定時(shí)a才與r成反比；同理，由a＝ω2r知，只有當(dāng)ω一定時(shí)a才與r成正比；由ω＝eq\f(v,r)知v一定，ω與r成反比，故A、B、C均錯(cuò)誤；而ω＝2πn中，2π是定值，ω與轉(zhuǎn)速n成正比，D正確。答案D3.(向心加速度公式的應(yīng)用)A、B兩小球都在水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，A球的軌道半徑是B球軌道半徑的2倍，A的轉(zhuǎn)速為30r/min，B的轉(zhuǎn)速為15r/min。則兩球的向心加速度之比為()A.1∶1 B.2∶1 C.4∶1 D.8∶1解析由題意知A、B兩小球的角速度之比ωA∶ωB＝nA∶nB＝2∶1，所以兩小球的向心加速度之比aA∶aB＝ωeq\o\al(2,A)RA∶ωeq\o\al(2,B)RB＝8∶1，D正確。答案D4.(向心加速度公式的應(yīng)用)(多選)如圖6所示，皮帶傳動(dòng)裝置中，右邊兩輪連在一起共軸轉(zhuǎn)動(dòng)，圖中三輪半徑分別為r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三點(diǎn)為三個(gè)輪邊緣上的點(diǎn)，皮帶不打滑。向心加速度分別為a1、a2、a3，則下列比例關(guān)系正確的是()圖6A.eq\f(a1,a2)＝eq\f(3,2) B.eqB.eq\f(a1,a2)＝eq\f(2,3) C.eq\f(a2,a3)＝eq\f(2,1) D.eq\f(a2,a3)＝eq\f(1,2)解析由于皮帶不打滑，v1＝v2，a＝eq\f(v2,r)，故eq\f(a1,a2)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(2,3)，A錯(cuò)誤，B正確；由于右邊兩輪共軸轉(zhuǎn)動(dòng)，ω2＝ω3，a＝rω2，eq\f(a2,a3)＝eq\f(r2,r3)＝eq\f(1,2)，C錯(cuò)誤，D正確。答案BD合格性檢測(cè)1.(多選)關(guān)于向心加速度，以下說(shuō)法中正確的是()A.物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心加速度就是物體的合加速度B.物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心加速度就是物體的合加速度C.物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度的方向始終指向圓心D.物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度的方向始終指向圓心解析物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心加速度就是物體的合加速度；物體做變速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心加速度只是合加速度的一個(gè)分量，A正確，B錯(cuò)誤；物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，只具有向心加速度，加速度方向始終指向圓心；物體做變速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與切向加速度的合加速度不再指向圓心，C錯(cuò)誤，D正確。答案AD2.(2018·石家莊高一檢測(cè))做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的兩物體甲和乙，它們的向心加速度分別為a1和a2，且a1>a2，下列判斷正確的是()A.甲的線速度大于乙的線速度B.甲的角速度比乙的角速度小C.甲的軌道半徑比乙的軌道半徑小D.甲的速度方向比乙的速度方向變化快解析由于不知甲和乙做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑大小關(guān)系，故不能確定它們的線速度、角速度的大小關(guān)系，A、B、C錯(cuò)誤；向心加速度是表示線速度方向變化快慢的物理量，a1>a2，表明甲的速度方向比乙的速度方向變化快，D正確。答案D3.自行車(chē)的大齒輪、小齒輪、后輪是相互關(guān)聯(lián)的三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)部分(如圖1)，行駛時(shí)()圖1A.大齒輪邊緣點(diǎn)比小齒輪邊緣點(diǎn)的線速度大B.后輪邊緣點(diǎn)比小齒輪邊緣點(diǎn)的角速度大C.大齒輪邊緣點(diǎn)與小齒輪邊緣點(diǎn)的向心加速度之比等于它們半徑的反比D.后輪邊緣點(diǎn)與小齒輪邊緣點(diǎn)的向心加速度之比等于它們半徑的反比答案C4.如圖2所示，質(zhì)量為m的木塊從半徑為R的固定半球形碗口下滑到碗的最低點(diǎn)的過(guò)程中，如果由于摩擦力的作用使木塊的速率不變，那么木塊()圖2A.加速度為零B.加速度恒定C.加速度大小不變，方向時(shí)刻改變，但不一定指向圓心D.加速度大小不變，方向時(shí)刻指向圓心解析由題意知，木塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，木塊的加速度大小不變，方向時(shí)刻指向圓心，D正確，A、B、C錯(cuò)誤。答案D5.(多選)一小球被細(xì)線拴著做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若其軌道半徑為R，向心加速度為a，則()A.小球相對(duì)于圓心的位移不變B.小球的線速度大小為eq\r(Ra)C.小球在時(shí)間t內(nèi)通過(guò)的路程為eq\r(\f(a,Rt))D.小球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2πeq\r(\f(R,a))解析做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的小球，相對(duì)于圓心的位移大小不變，但方向時(shí)刻在改變，故A錯(cuò)誤；由公式a＝eq\f(v2,R)得v＝eq\r(aR)，故B正確；由v＝eq\f(Δs,Δt)知Δs＝vΔt＝teq\r(aR)，故C錯(cuò)誤；由a＝eq\f(4π2,T2)R知T＝2πeq\r(\f(R,a))，故D正確。答案BD6.(多選)在地球表面處取這樣幾個(gè)點(diǎn)：北極點(diǎn)A、赤道上一點(diǎn)B、AB弧的中點(diǎn)C、過(guò)C點(diǎn)的緯線上取一點(diǎn)D，如圖3所示，則()圖3A.B、C、D三點(diǎn)的角速度相同B.C、D兩點(diǎn)的線速度大小相等C.B、C兩點(diǎn)的向心加速度大小相等D.C、D兩點(diǎn)的向心加速度大小相等解析地球表面各點(diǎn)(南北兩極點(diǎn)除外)的角速度都相同，A正確；由v＝ωr知，vC＝vD，B正確；由a＝ω2r知，aB＞aC，aC＝aD，C錯(cuò)誤，D正確。答案ABD7.如圖4所示，兩輪壓緊，通過(guò)摩擦傳動(dòng)(不打滑)，已知大輪半徑是小輪半徑的2倍，E為大輪半徑的中點(diǎn)，C、D分別是大輪和小輪邊緣上的一點(diǎn)，則E、C、D三點(diǎn)向心加速度大小關(guān)系正確的是()圖4A.aC＝aD＝2aE B.aC＝2aD＝2aEC.aC＝eq\f(aD,2)＝2aE D.aC＝eq\f(aD,2)＝aE解析同軸傳動(dòng)，C、E兩點(diǎn)的角速度相等，由a＝ω2r，有eq\f(aC,aE)＝2，即aC＝2aE；兩輪邊緣點(diǎn)的線速度大小相等，由a＝eq\f(v2,r)，有eq\f(aC,aD)＝eq\f(1,2)，即aC＝eq\f(1,2)aD，故選項(xiàng)C正確。答案C8.如圖5所示，壓路機(jī)大輪半徑R是小輪半徑r的2倍，壓路機(jī)勻速行駛時(shí)，大輪邊緣上A點(diǎn)的向心加速度為0.12m/s2，那么圖5(1)小輪邊緣上B點(diǎn)的向心加速度為多大？(2)大輪上距軸心的距離為eq\f(R,3)的C點(diǎn)的向心加速度為多大？解析(1)壓路機(jī)勻速行駛時(shí)，vB＝vA由a＝eq\f(v2,r)得，eq\f(aB,aA)＝eq\f(rA,rB)＝2得aB＝2aA＝0.24m/s2(2)由ωA＝ωC和a＝ω2r，得eq\f(aC,aA)＝eq\f(rC,rA)＝eq\f(1,3)得aC＝eq\f(1,3)aA＝0.04m/s2答案(1)0.24m/s2(2)0.04m/s2等級(jí)性檢測(cè)9.如圖6所示，一球體繞軸O1O2以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，A、B為球體上兩點(diǎn)，下列幾種說(shuō)法中正確的是()圖6A.A、B兩點(diǎn)具有相同的角速度B.A、B兩點(diǎn)具有相同的線速度C.A、B兩點(diǎn)的向心加速度的方向都指向球心D.A、B兩點(diǎn)的向心加速度之比為2∶1解析A、B為球體上兩點(diǎn)，因此，A、B兩點(diǎn)的角速度與球體繞軸O1O2旋轉(zhuǎn)的角速度相同，A正確；如圖所示，A以P為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，B以Q為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，因此，A、B兩點(diǎn)的向心加速度方向分別指向P