2022-2023學(xué)年安徽省東至二中高三第三次測評數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（）A．3 B． C． D．2．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．4 C．2 D．3．已知函數(shù)的最大值為，若存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)總有成立，則的最小值為（）A． B． C． D．4．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．5．已知雙曲線（，），以點（）為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則的離心率為（）A． B． C． D．6．拋物線的焦點為，則經(jīng)過點與點且與拋物線的準線相切的圓的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．0個 D．無數(shù)個7．歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作過研究，第一個用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法，而中國數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值，他的方法被后人稱為割圓術(shù)．近代無窮乘積式、無窮連分數(shù)、無窮級數(shù)等各種值的表達式紛紛出現(xiàn)，使得值的計算精度也迅速增加．華理斯在1655年求出一個公式：，根據(jù)該公式繪制出了估計圓周率的近似值的程序框圖，如下圖所示，執(zhí)行該程序框圖，已知輸出的，若判斷框內(nèi)填入的條件為，則正整數(shù)的最小值是A． B． C． D．8．洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點為陰數(shù)．如圖，若從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中分別隨機選取1個數(shù)，則其和等于11的概率是（）．A． B． C． D．9．在正方體中，球同時與以為公共頂點的三個面相切，球同時與以為公共頂點的三個面相切，且兩球相切于點.若以為焦點，為準線的拋物線經(jīng)過，設(shè)球的半徑分別為，則（）A． B． C． D．10．運行如圖程序，則輸出的S的值為（）A．0 B．1 C．2018 D．201711．已知集合（），若集合，且對任意的，存在使得，其中，，則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是（）A． B． C． D．12．給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項工作，每項工作至少一人，每人做且僅做一項工作，甲不能安排木工工作，則不同的安排方法共有（）A．12種 B．18種 C．24種 D．64種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某部門全部員工參加一項社會公益活動，按年齡分為三組，其人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本，若組中甲、乙二人均被抽到的概率是，則該部門員工總?cè)藬?shù)為__________.14．已知是拋物線上一點，是圓關(guān)于直線對稱的曲線上任意一點，則的最小值為________．15．不等式對于定義域內(nèi)的任意恒成立，則的取值范圍為__________.16．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)是_____，_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知某種細菌的適宜生長溫度為12℃~27℃，為了研究該種細菌的繁殖數(shù)量（單位：個）隨溫度（單位：℃）變化的規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如下：溫度/℃14161820222426繁殖數(shù)量/個2530385066120218對數(shù)據(jù)進行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計量的值，如表所示：20784.11123.8159020.5其中，.（1）請繪出關(guān)于的散點圖，并根據(jù)散點圖判斷與哪一個更適合作為該種細菌的繁殖數(shù)量關(guān)于溫度的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表格數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（結(jié)果精確到0.1）；（3）當溫度為27℃時，該種細菌的繁殖數(shù)量的預(yù)報值為多少？參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二成估計分別為，，參考數(shù)據(jù)：.18．（12分）已知點為圓：上的動點，為坐標原點，過作直線的垂線（當、重合時，直線約定為軸），垂足為，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求點的軌跡的極坐標方程；（2）直線的極坐標方程為，連接并延長交于，求的最大值.19．（12分）有最大值，且最大值大于.（1）求的取值范圍；（2）當時，有兩個零點，證明：.(參考數(shù)據(jù)：)20．（12分）已知函數(shù)的最小正周期是，且當時，取得最大值．（1）求的解析式；（2）作出在上的圖象（要列表）．21．（12分）在平面直角坐標系中，曲線：（為參數(shù)，），曲線：（為參數(shù)）.若曲線和相切.（1）在以為極點，軸非負半軸為極軸的極坐標系中，求曲線的普通方程；（2）若點，為曲線上兩動點，且滿足，求面積的最大值.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）若對于任意實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的范圍；（2）當時，是否存在實數(shù)，使曲線：在點處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由三視圖知：幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，如圖：

直三棱柱的體積為，消去的三棱錐的體積為，

∴幾何體的體積，故選B.點睛：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問題的關(guān)鍵；幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，結(jié)合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積，相減可得幾何體的體積.2、A【解析】

由已知得，，由已知比值得，再利用雙曲線的定義可用表示出，，用勾股定理得出的等式，從而得離心率．【詳解】.又，可令，則.設(shè)，得，即，解得，∴,,由得，，，該雙曲線的離心率.故選：A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來，從而再由勾股定理建立的關(guān)系．3、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的兩角和差公式得到，進而可以得到函數(shù)的最值，區(qū)間(m,n)長度要大于等于半個周期，最終得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)則函數(shù)的最大值為2，存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)總有成立，則區(qū)間(m,n)長度要大于等于半個周期，即故答案為：B.【點睛】這個題目考查了三角函數(shù)的兩角和差的正余弦公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的圖像的性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較綜合.4、D【解析】構(gòu)造函數(shù)，令，則，由可得，則是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù)，且，當x∈(0,1)時,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當x∈(1,+∞)時,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數(shù),當x∈(-1,0)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當x∈(-∞,-1)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項.點睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中．某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用．因此對函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的．根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧．許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效．5、A【解析】

求出雙曲線的一條漸近線方程，利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點，且，則可根據(jù)圓心到漸近線距離為列出方程，求解離心率．【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線與圓交于，因為，所以圓心到的距離為：，即，因為，所以解得．故選A．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中檔題．對于離心率求解問題，關(guān)鍵是建立關(guān)于的齊次方程，主要有兩個思考方向，一方面，可以從幾何的角度，結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)以及題目中的幾何關(guān)系建立方程；另一方面，可以從代數(shù)的角度，結(jié)合曲線方程的性質(zhì)以及題目中的代數(shù)的關(guān)系建立方程.6、B【解析】

圓心在的中垂線上，經(jīng)過點，且與相切的圓的圓心到準線的距離與到焦點的距離相等，圓心在拋物線上，直線與拋物線交于2個點，得到2個圓．【詳解】因為點在拋物線上，又焦點，，由拋物線的定義知，過點、且與相切的圓的圓心即為線段的垂直平分線與拋物線的交點，這樣的交點共有2個，故過點、且與相切的圓的不同情況種數(shù)是2種．故選：．【點睛】本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵是求出圓心的位置，看出圓心必須在拋物線上，且在垂直平分線上．7、B【解析】

初始：，，第一次循環(huán)：，，繼續(xù)循環(huán)；第二次循環(huán)：，，此時，滿足條件，結(jié)束循環(huán)，所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是，所以正整數(shù)的最小值是3，故選B．8、A【解析】

基本事件總數(shù)，利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個，由此能求出其和等于11的概率．【詳解】解：從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中分別隨機選取1個數(shù)，基本事件總數(shù)，其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4個，其和等于的概率．故選：．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解析】

由題先畫出立體圖，再畫出平面處的截面圖，由拋物線第一定義可知，點到點的距離即半徑，也即點到面的距離，點到直線的距離即點到面的距離因此球內(nèi)切于正方體，設(shè)，兩球球心和公切點都在體對角線上，通過幾何關(guān)系可轉(zhuǎn)化出，進而求解【詳解】根據(jù)拋物線的定義，點到點的距離與到直線的距離相等，其中點到點的距離即半徑，也即點到面的距離，點到直線的距離即點到面的距離，因此球內(nèi)切于正方體，不妨設(shè)，兩個球心和兩球的切點均在體對角線上，兩個球在平面處的截面如圖所示，則，所以.又因為，因此，得，所以.故選：D【點睛】本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化，拋物線幾何性質(zhì)的使用，內(nèi)切球的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，直觀想象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)10、D【解析】

依次運行程序框圖給出的程序可得第一次：，不滿足條件；第二次：，不滿足條件；第三次：，不滿足條件；第四次：，不滿足條件；第五次：，不滿足條件；第六次：，滿足條件，退出循環(huán)．輸出1．選D．11、C【解析】

根據(jù)題目中的基底定義求解.【詳解】因為，，，，，，所以能作為集合的基底，故選：C【點睛】本題主要考查集合的新定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

根據(jù)題意，分2步進行分析：①，將4人分成3組，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，將剩下的2組全排列，安排其他的2項工作，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：①，將4人分成3組，有種分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，有2種情況，將剩下的2組全排列，安排其他的2項工作，有種情況，此時有種情況，則有種不同的安排方法；故選：C．【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60【解析】

根據(jù)樣本容量及各組人數(shù)比，可求得C組中的人數(shù)；由組中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C組的總?cè)藬?shù)，即可由各組人數(shù)比求得總?cè)藬?shù).【詳解】三組人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本，則三組抽取人數(shù)分別.設(shè)組有人，則組中甲、乙二人均被抽到的概率，∴解得.∴該部門員工總共有人.故答案為：60.【點睛】本題考查了分層抽樣的定義與簡單應(yīng)用，古典概型概率的簡單應(yīng)用，由各層人數(shù)求總?cè)藬?shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由題意求出圓的對稱圓的圓心坐標，求出對稱圓的圓坐標到拋物線上的點的距離的最小值，減去半徑即可得到的最小值.【詳解】假設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的點為，則有，解方程組可得，所以曲線的方程為，圓心為，設(shè)，則，又，所以，，即，所以，故答案為：.【點睛】該題考查的是有關(guān)動點距離的最小值問題，涉及到的知識點有點關(guān)于直線的對稱點，點與圓上點的距離的最小值為到圓心的距離減半徑，屬于中檔題目.15、【解析】

根據(jù)題意，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為只對于內(nèi)的任意恒成立，令，則只需在定義域內(nèi)即可，利用放縮法，得出，化簡后得出，即可得出的取值范圍.【詳解】解：已知對于定義域內(nèi)的任意恒成立，即對于內(nèi)的任意恒成立，令，則只需在定義域內(nèi)即可，，，當時取等號，由可知，，當時取等號，，當有解時，令，則，在上單調(diào)遞增，又，，使得，，則，所以的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，解決恒成立問題求參數(shù)值，涉及分離參數(shù)法和放縮法，考查轉(zhuǎn)化能力和計算能力.16、【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的乘法運算化簡，從而得到復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)和的模．【詳解】，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，且.故答案為：；.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)的計算題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）作圖見解析；更適合（2）（3）預(yù)報值為245【解析】

（1）由散點圖即可得到答案；（2）把兩邊取自然對數(shù)，得，由計算得到，再將代入可得，最終求得，即；（3）將代入中計算即可.【詳解】解：（1）繪出關(guān)于的散點圖，如圖所示：由散點圖可知，更適合作為該種細菌的繁殖數(shù)量關(guān)于的回歸方程類型；（2）把兩邊取自然對數(shù)，得，即，由.∴，則關(guān)于的回歸方程為；（3）當時，計算可得；即溫度為27℃時，該種細菌的繁殖數(shù)量的預(yù)報值為245.【點睛】本題考查求非線性回歸方程及其應(yīng)用的問題，考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力及運算能力，是一道中檔題.18、（1）；（2）【解析】

（1）設(shè)的極坐標為，在中，有，即可得結(jié)果；（2）設(shè)射線：，，圓的極坐標方程為，聯(lián)立兩個方程，可求出，聯(lián)立可得，則計算可得，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】（1）設(shè)的極坐標為，在中，有，點的軌跡的極坐標方程為；（2）設(shè)射線：，，圓的極坐標方程為，由得：，由得：，，，當，即時，，的最大值為.【點睛】本題考查極坐標方程的應(yīng)用，考查三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域為，，分和兩種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，進而可求得實數(shù)的取值范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上遞增，在上遞減，可得出，由，構(gòu)造函數(shù)，證明出，進而得出，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證得結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，且.當時，對任意的，，此時函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)為最大值；當時，令，得.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是；（2）當時，，定義域為，，當時，；當時，.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.由于函數(shù)有兩個零點、且，，，構(gòu)造函數(shù)，其中，，令，，當時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，則.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，即，即，，且，而函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，因此，.【點睛】本題考查利用函數(shù)的最值求參數(shù)，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，利用所證不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計算能力，屬于難題.20、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)的最小正周期可求出的值，由該函數(shù)的最大值可得出的值，再由，結(jié)合的取值范圍可求得的值，由此可得出函數(shù)的解析式；（2）由計算出的取值范圍，據(jù)此列表、描點、連線可得出函數(shù)在區(qū)間上的圖象.【詳