2023年高考數(shù)學(xué)命題角度5.3直線與拋物線位置關(guān)系大題狂練文

命題角度5.3：直線與拋物線位置關(guān)系1．拋物線的對稱軸為坐標(biāo)軸，頂點是坐標(biāo)原點，準(zhǔn)線方程為，直線與拋物線相交于不同的，兩點．〔1〕求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2〕如果直線過拋物線的焦點，求的值；〔3〕如果，直線是否過一定點，假設(shè)過一定點，求出該定點；假設(shè)不過一定點，試說明理由．【答案】〔1〕;〔2〕∴;〔3〕．【解析】【試題分析】〔1〕借助題設(shè)與條件待定拋物線的參數(shù)即可；〔2〕依據(jù)題設(shè)條件，建立直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，運用向量的坐標(biāo)形式求解：〔3〕先假設(shè)存在，再運用所學(xué)知識分析探求?！?〕解：假設(shè)直線過定點，設(shè)：與聯(lián)立，得，設(shè)，，∴，．由，解得，∴：過定點．點睛：此題的設(shè)置旨在考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與直線與拋物線的位置關(guān)系等根底知識與根本方法的綜合運用。求解第一問時，直接借助題設(shè)條件求出參數(shù)的值使得問題獲解；解答第二問時，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，借助向量的坐標(biāo)形式的數(shù)量積公式求解，使得問題獲解；第三問的求解那么借助坐標(biāo)之間的關(guān)系建立方程推得直線過定點，使得問題獲解。2.拋物線的焦點為，直線與軸的交點為，與的交點為，且.〔1〕當(dāng)取得最小值時，求的值；〔2〕當(dāng)時，假設(shè)直線與拋物線相交于兩點，與圓相交于、兩點，為坐標(biāo)原點，，試問：是否存在實數(shù)，使得的長為定值？假設(shè)存在，求出的值；假設(shè)不存在，請說明理由.【答案】〔1〕；〔2〕當(dāng)時，的長為定值2.【解析】試題分析：〔1〕依據(jù)題設(shè)條件建立函數(shù)關(guān)系運用根本不等式求解；〔2〕借助直線與拋物線的位置關(guān)系，運用坐標(biāo)之間的關(guān)系分析探求;〔2〕當(dāng)時，，那么拋物線.設(shè)直線，代入得，設(shè)，那么，，因為，所以，即，又，那么，所以直線過定點，故當(dāng)時，的長為定值2.3.拋物線的準(zhǔn)線為，焦點為，為坐標(biāo)原點.〔1〕求過點，且與相切的圓的方程；〔2〕過的直線交拋物線于兩點，關(guān)于軸的對稱點為，求證：直線過定點.【答案】〔1〕;〔2〕見解析.【解析】試題分析：〔1〕圓過可得，圓與直線相切，可得.由，得.從而得圓的方程.試題解析：解法一：〔1〕拋物線的準(zhǔn)線的方程為：，焦點坐標(biāo)為，設(shè)所求圓的圓心，半徑為，圓過，，圓與直線相切，.由，得.過，且與直線相切的圓的方程為.〔2〕依題意知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，，，，，聯(lián)立，消去得.，.直線的方程為，令，得.直線過定點,解法二：〔1〕同解法一.〔2〕直線過定點.證明：依題意知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，，，，，聯(lián)立，消去得，，.，.，即，三點共線，直線過定點.解法三：〔1〕同解法一.〔2〕設(shè)直線的方程：，，，那么.由得，.，.，直線的方程為..直線過定點.點睛:定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點〞是什么、“定值〞是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).4.拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，點在拋物線上，過焦點的直線交拋物線于兩點.〔1〕求拋物線的方程以及的值；〔2〕記拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，假設(shè)，，求實數(shù)的值.【答案】〔1〕2〔2〕【解析】試題分析：〔1〕先根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程得，最后求出A點坐標(biāo)，并根據(jù)拋物線定義求的值；〔2〕設(shè)，那么根據(jù)，得，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理得，再將化成坐標(biāo)關(guān)系40，解方程組可得，.試題解析：〔1〕依題意，橢圓中，，故，故，故，那么，故拋物線的方程為.將代入，解得，故.易得，那么，那么，當(dāng)，解得，故.5.設(shè)圓以拋物線的焦點為圓心，且與拋物線有且只有一個公共點.〔1〕求圓的方程；〔2〕過點作圓的兩條切線與拋物線分別交于點，和，，求經(jīng)過，，,四點的圓的方程.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】〔2〕設(shè)過點與圓相切的斜率為正的一條切線的切點為，連接，那么，且，，∴，那么直線的方程為，與聯(lián)立，得，記直線與拋物線的兩個交點為，，那么，，，從而的垂直平分線的方程為，令，得，由圓與拋物線的對稱性，可知圓的圓心為，，又點到直線的距離，∴圓的半徑，∴圓的方程為.考點：1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)；2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)．【名師點睛】對于圓錐曲線的綜合問題，①要注意將曲線的定義性質(zhì)化，找出定義賦予的條件；②要重視利用圖形的幾何性質(zhì)解題(本書多處強(qiáng)調(diào))；③要靈活運用韋達(dá)定理、弦長公式、斜率公式、中點公式、判別式等解題，巧妙運用“設(shè)而不求〞、“整體代入〞、“點差法〞、“對稱轉(zhuǎn)換〞等方法.6.如圖，拋物線：，過焦點斜率大于零的直線交拋物線于、兩點，且與其準(zhǔn)線交于點．〔Ⅰ〕假設(shè)線段的長為，求直線的方程；〔Ⅱ〕在上是否存在點，使得對任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列，假設(shè)存在求點的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕存在點或，使得對任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列．【解析】試題分析：〔Ⅰ〕因為直線過焦點，所以設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為，利用焦點弦長公式，，解得直線方程；〔Ⅱ〕設(shè)，用坐標(biāo)表示直線的斜率，假設(shè)成等差數(shù)列，那么,代入〔1〕的坐標(biāo)后，假設(shè)恒成立，解得點的坐標(biāo).試題解析：〔Ⅰ〕焦點∵直線的斜率不為，所以設(shè)，，由得，，，，，∴，∴．∴直線的斜率，∵，∴，∴直線的方程為．〔Ⅱ〕設(shè)，，同理，，∵直線，，的斜率始終成等差數(shù)列，∴恒成立，即恒成立．∴，把，代入上式，得恒成立，．∴存在點或，使得對任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列．考點：1.拋物線的幾何性質(zhì)；2.直線與拋物線的位置關(guān)系.【方法點睛】此題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系問題，屬于難題，對于此題的第二問，考查的是恒成立的問題，假設(shè)存在，說明與直線無關(guān)，即與直線的斜率無關(guān)，可求得定點M,解析幾何中有很多未知量，要通過設(shè)直線，設(shè)點的坐標(biāo)，再根據(jù)條件進(jìn)行消元，從而化簡，例如此題，通過設(shè)點的坐標(biāo)表示斜率，再通過直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，通過消元得到點M的坐標(biāo)與直線斜率的關(guān)系，組合通過恒成立解決.7.拋物線的頂點在原點，焦點在軸正半軸上，拋物線上的點到其焦點的距離等于5.〔Ⅰ〕求拋物線的方程；〔Ⅱ〕如圖，過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，與圓交于兩點，假設(shè)，求三角形的面積.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.【解析】〔Ⅱ〕顯然直線的斜率存在，設(shè)其斜率為，由于過焦點，所以直線的方程為，取的中點，連接，那么，由于，所以點也是線段的中點，設(shè)、、，那么，由得，所以，，，即，即，整理得，即，原點到直線的距離為考點：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．【方法點睛】此題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要無視判別式的作用．8.拋物線，焦點為，點在拋物線上，且到的距離比到直線的距離小1.〔1〕求拋物線的方程；〔2〕假設(shè)點為直線上的任意一點，過點作拋物線的切線與，切點分別為，求證:直線恒過某一定點.【答案】〔1〕〔2〕【解析】試題分析：〔1〕根據(jù)拋物線定義可得直線為拋物線的準(zhǔn)線，即得，〔2〕關(guān)鍵求出直線AB方程，先設(shè)切點的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可得切線斜率，進(jìn)而根據(jù)點斜式可得切線方程，求兩切線方程交點可得點坐標(biāo)，由于點在直線上，所以可得.最后聯(lián)立AB方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理得，即得直線恒過定點.試題解析：〔1〕因為到的距離與到直線的距離相等，由拋物線定義知，直線為拋物線的準(zhǔn)線，所以，得,所以拋物線的方程為.〔2〕設(shè)切點的坐標(biāo)分別為，由(1)知，.那么切線的斜率分別為,,故切線的方程分別為,,聯(lián)立以上兩個方程，得故的坐標(biāo)為.因為點在直線上，所以，即.設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，得，所以，即，所以.故的方程為,故直線恒過定點.9.如圖，拋物線與圓相交于兩點，且點的橫坐標(biāo)為.過劣弧上動點作圓的切線交拋物線于兩點，分別以為切點作拋物線的切線，與相交于點.〔1〕求拋物線的方程；〔2〕求點到直線距離的最大值.【答案】〔1〕;〔Ⅱ〕當(dāng)且僅當(dāng)時，.【解析】試題分析：(1)且在圓上可得點坐標(biāo)，代入拋拋線方程可得.(2)設(shè)兩切點，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求兩切線和其交點為,又由得從而為.再利用點到線的距離公式求解即可.試題解析：〔1〕由得，故.于是，拋物線的方程為.〔Ⅱ〕設(shè)，，切線：，代入得，由解得,方程為，同理方程為,聯(lián)立，解得,易得方程為，其中，滿足，,聯(lián)立方程得，那么,∴滿足,即點為.點到直線：的距離關(guān)于單調(diào)減，故當(dāng)且僅當(dāng)時，.10.設(shè)拋物線：〔〕的焦點為，準(zhǔn)線為，點為拋物線上一點，且．〔1〕求拋物線的方程；〔2〕為拋物線上不與原點重合的一點，點是線段上異于點，的任意一點，過點作軸的垂線依次交拋物線和軸于點，，求證：．【答案】〔1〕；〔2〕證明見解析.【解析】試題解析：〔1〕解：由拋物線定義知，所以，∴該拋物線的方程為．〔2〕證明：如圖，設(shè)過點的垂線為