2021北京清華附中高一（下）期中數(shù)學(xué)（教師版）

11/112021北京清華附中高一（下）期中數(shù)學(xué)一、選擇題：（共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）已知是虛數(shù)單位，A． B． C． D．2．（4分）在中，，，，則的面積為A． B． C． D．33．（4分）如圖所示，在中，為的中點(diǎn)，則A． B． C． D．4．（4分）已知函數(shù)，則A． B． C． D．5．（4分）已知，是平面向量，“是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（4分）已知函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，記（2），（4），（4）（2），則，，數(shù)值排序正確的是A． B． C． D．7．（4分）已知平面向量，滿足，，，，則A．2 B． C．4 D．128．（4分）如圖，是某防汛抗洪大壩的坡面，大壩上有一高為20米的監(jiān)測塔，．若某科研小組在壩底點(diǎn)測得，壩底至塔頂距離米，則大壩的坡角的余弦值為A． B． C． D．9．（4分）在上可導(dǎo)的函數(shù)的圖形如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為A．，， B．，， C．，， D．，，10．（4分）已知，，，，在同一平面內(nèi)，，且，則的最大值為A． B． C． D．4二、填空題：（共5小題，每小題5分，共25分）11．（5分）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)．12．（5分）已知，，．若，則實(shí)數(shù)的值為．13．（5分）小明用，，，記錄2020年4月份30天中每天乘坐公交車是否半小時(shí)內(nèi)到家，方法為：當(dāng)?shù)谔彀胄r(shí)內(nèi)到家時(shí)，記，當(dāng)?shù)谔觳荒馨胄r(shí)內(nèi)到家時(shí)，記；用，，，記錄某交通軟件預(yù)測該月每天乘坐公交車是否半小時(shí)內(nèi)到家，方法為：當(dāng)預(yù)測第天半小時(shí)內(nèi)到家時(shí)，記，當(dāng)預(yù)測第天不能半小時(shí)內(nèi)到家時(shí)，記；記錄完畢后，小明計(jì)算出，其中，那么該交通軟件預(yù)測準(zhǔn)確的總天數(shù)是．14．（5分）若函數(shù)在，上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．15．（5分）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果存在，使得在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，則稱為單峰函數(shù)．那么下列函數(shù)是單峰函數(shù)的有．①；②；③；④．三、解答題：（共6小題，共85分）16．已知，，是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，，．（Ⅰ）若與的方向相反，求的坐標(biāo)；（Ⅱ）若，求與的夾角．17．已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最大值和最小值，并求取得最值時(shí)相應(yīng)的的值．18．已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅲ）若函數(shù)的圖象與直線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍．19．如圖，在四邊形中，，，，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求．20．已知函數(shù)在處的極值為2，其中．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）對任意的，，證明恒有．21．對任意給定的不小于3的正整數(shù)，元集合，，，，，，，均為正整數(shù)集的子集，若滿足：①，②，③，則稱，互為等矩集．（Ⅰ）若集合，5，與，，互為等矩集，求，的值；（Ⅱ）證明：如果集合，，，，，，，互為等矩集，那么對于任意的，集合，，，，，，，也互為等矩集；（Ⅲ）對于任意給定的正整數(shù)，是否存在兩個(gè)元正整數(shù)集，互為等矩集？請說明理由．

參考答案一、選擇題：（共10小題，每小題4分，共40分）1．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【解答】解：，故選：．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．2．【分析】由已知利用三角形的面積公式即可求解．【解答】解：因?yàn)?，，，所以的面積．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】由為的中點(diǎn)，可得，再利用三角形法則求解．【解答】解：在中，為的中點(diǎn)，，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量的基本定理，是基礎(chǔ)題．4．【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式即可求解．【解答】解：，則．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】求出的充要條件，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：若，則，，，，或，是的必要不充分條件，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．6．【分析】結(jié)合圖像判斷直線的斜率的大小，判斷，，的大小即可．【解答】解：結(jié)合圖像：（2）（4），故（2）（4）（2）（4），即，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了直線的斜率問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．7．【分析】利用向量的模的運(yùn)算法則，結(jié)合向量的數(shù)量積求解即可．【解答】解：平面向量，滿足，，，，則．故選：．【點(diǎn)評】本題考查向量的數(shù)量積以及向量的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．8．【分析】中利用正弦定理求得的值，根據(jù)即可求出的值．【解答】解：因?yàn)?，，，在中，由正弦定理得，即，解得；由，所以，所以大壩的坡角的余弦值為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．9．【分析】討論的符號，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：若時(shí)，不等式不成立．若，則不等式等價(jià)為，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，由圖象可知，此時(shí)．若，則不等式等價(jià)為，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由圖象可知，此時(shí)．，故不等式的解集為，，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．10．【分析】由向量加減運(yùn)算幾何意義可解決此題．【解答】解：，，又，．，當(dāng)、與反向時(shí)，取得最大值，故選：．【點(diǎn)評】本題考查向量加減法運(yùn)算幾何意義、向量模、數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：（共5小題，每小題5分，共25分）11．【分析】利用復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的條件，可得關(guān)于的方程組，解方程可求結(jié)果，舍去不合題意的結(jié)果即可．【解答】解：復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以即得故答案為：2【點(diǎn)評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本概念，本題解題的關(guān)鍵是復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的條件，，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】可求出，然后根據(jù)即可得出，然后解出的值即可．【解答】解：，，且，，解得．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運(yùn)算，平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】由題意可得，若，則表示第天預(yù)報(bào)正確，若，則表示第天預(yù)報(bào)不正確，假設(shè)其中有天預(yù)報(bào)正確，則有天預(yù)報(bào)不正確，把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解．【解答】解：依題意，若，則表示第天預(yù)報(bào)正確，若，則表示第天預(yù)報(bào)不正確，由，假設(shè)其中有天預(yù)報(bào)正確，則等式左邊有個(gè)1，個(gè)，則，解得．該交通軟件預(yù)測準(zhǔn)確的總天數(shù)是26．故答案為：26．【點(diǎn)評】本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)模型，考查運(yùn)算求解能力，正確理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．14．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，令，，，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的取值范圍即可．【解答】解：，，，，在，單調(diào)遞增，在，恒成立，即恒成立，即，令，，，則在，上恒成立，在，上單調(diào)遞增，（1），故，故答案為：，．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是中檔題．15．【分析】依題意，可知單峰函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，依次對①②③④四個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，單峰函數(shù)的概念可知，若為單峰函數(shù)，則它只有一個(gè)極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，對于①，其導(dǎo)數(shù)為，在區(qū)間，，函數(shù)為增函數(shù)，在區(qū)間上，，函數(shù)為減函數(shù)，則為單峰函數(shù)；②，其導(dǎo)數(shù)為，令，則，（2），，，使得，又，為上的奇函數(shù)，又，的極值點(diǎn)有3個(gè)，故不是單峰函數(shù)；③，其導(dǎo)數(shù)為，令，可得，故不是單峰函數(shù)；④，其導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，故為單峰函數(shù)；故答案為：①④．【點(diǎn)評】本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，理解“單峰函數(shù)”的概念是解決問題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．三、解答題：（共6小題，共85分）16．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，，由向量模的計(jì)算公式可求得的值，從而可得的坐標(biāo)；（Ⅱ）根據(jù)題意，由向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得，由數(shù)量積運(yùn)算可求得的值，結(jié)合的范圍，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，，若與的方向相反則，，即，又，則，解可得，則．（Ⅱ）由，可得，若，則，解得，又由，則．【點(diǎn)評】本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)以及計(jì)算，涉及向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系以及向量的坐標(biāo)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．17．【分析】（Ⅰ）首先利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的最小正周期；（2）利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，進(jìn)一步確定函數(shù)的最大和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)．故函數(shù)的最小正周期為．（Ⅱ）由于，所以，故．故即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．18．【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求曲線的切線斜率，進(jìn)而可求切線方程；結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系可求；結(jié)合的單調(diào)性討論即可直接求解．【解答】解：，所以（1），（1），故曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程，即；，易得當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，，，單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值；由知，或時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)．故的范圍或．【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，考查了函數(shù)交點(diǎn)的應(yīng)用，屬于中檔題．19．【分析】由已知結(jié)合正弦定理即可直接求解；結(jié)合同角平方關(guān)系及兩角差余弦公式可求，然后結(jié)合余弦定理求出，進(jìn)而可求．【解答】解：，，，，，由正弦定理得，即，所以；由題意得為銳角，結(jié)合得，因?yàn)椋?，，由余弦定理得，，解得，由余弦定理得，所以．【點(diǎn)評】本題主要考查了同角平方關(guān)系，和差角公式，正弦定理，余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．20．【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合極值存在條件可求；由于，要證原不等式成立，轉(zhuǎn)化為求解，在時(shí)的最值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)性質(zhì)可求．【解答】解：，由題意得，，解得，；證明：，令，，則，恒成立，所以在，上單調(diào)遞減且（1），所以時(shí)，（1），所以．【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系及利用導(dǎo)數(shù)，函數(shù)性質(zhì)證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．21．【分析】（Ⅰ）由等矩集定義，列出關(guān)于和的方程組，求解即可；（Ⅱ）利用等矩集的定義，只需證明和滿足等矩集的三條定義即可；（Ⅲ）通過構(gòu)造3元，4元，5元的等矩集組，證明，，元等矩集組的存在，結(jié)合等矩集的定義進(jìn)行分析求解即可．【解答】（Ⅰ）解：由等矩集定義，則，①②，可得③，由①③可知，，為方程的兩個(gè)根，解得或；（Ⅱ）證明：只需證明和滿足等矩集的三條定義即可，，故滿足定義①；，故滿足定義②；假設(shè)，則存在，，，可得，與矛盾，所以，故滿足定義③．綜上所述，和也互為等矩集；（Ⅲ）解：①對于元等矩集組和和元等矩集組和，可以發(fā)現(xiàn)只需要，，，兩兩交集為空集，則和互為等矩集組，此結(jié)論可以推廣到的形式；②可以發(fā)現(xiàn)，若，，，和，，，互為等矩集，則有，，，和，，，，互為等矩集，因此我們可以構(gòu)造3元，4元，5元的等矩集組，從而能夠證明，，元等矩集組的存在，即對任意，，存在元正整數(shù)集和互為等矩集，3元等矩集：，5，和，3，，4元等矩集：，4，6，和，3，5，，對于5元等矩集，可以利用兩組4元等矩集的并集，其中去除一個(gè)3元等矩集進(jìn)行構(gòu)造，兩組4元等矩集：，4，6，和，3，5，，，8，12，和，6，10，，并集為，2，4，6，7，8，12，和，3，4，5，6，8，10，，其中存在3元等矩集：，6，和