河北省衡水市深州北溪村鄉(xiāng)西留曹中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

河北省衡水市深州北溪村鄉(xiāng)西留曹中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①若y=f（x）是奇函數(shù)，則y=|f（x）|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；②若logm3＜logn3＜0，則0＜m＜n＜1；③若函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R滿(mǎn)足f（x）?f（x+4）=1，則8是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；④命題“在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要條件；⑤命題“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1＞0”A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷①；由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合不等式判斷②；由已知求出函數(shù)的周期判斷③；由三角形中的邊角關(guān)系、正弦定理及充分必要條件判定方法判斷④；寫(xiě)出命題的否定判斷⑤．【解答】解：①若y=f（x）是奇函數(shù)，則y=|f（x）|是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故①正確；②若logm3＜logn3＜0，則＜0，∴l(xiāng)gn＜lgm＜0，則0＜n＜m＜1，故②錯(cuò)誤；③若函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R滿(mǎn)足f（x）?f（x+4）=1，則f（x+4）=，∴f[（x+4）+4]==，則8是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期，故③正確；④在△ABC中，a＞b?A＞B?sinA＞sinB，∴命題“在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要條件，故④正確；⑤命題“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1≥0”，故⑤錯(cuò)誤．∴真命題的個(gè)數(shù)是3個(gè)．故選：C．2.已知集合，，那么集合是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B3.函數(shù)f(x)=asin3x+bx3+4,其中a，b∈R，f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(2014)+f(-2014)+f'(2015)-f'(-2015)=A.0 B. 2014 C. 8 D. 2015參考答案：C為奇函數(shù)，所以，即．又為偶函數(shù)，所以，故．4.要從10名女生和5名男生中選出6名學(xué)生組成課外學(xué)習(xí)小組，如果按性別依比例分層隨機(jī)抽樣，試問(wèn)組成此課外學(xué)習(xí)小組的概率為

（

）(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A5.平面α過(guò)正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m，n所成角的正弦值為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A試題分析：如圖，設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD=m′，平面CB1D1∩平面ABB1A1=n′，因?yàn)棣痢纹矫鍯B1D1，所m∥m′，n∥n′，則m，n所成的角等于m′，n′所成的角.過(guò)D1作D1E∥B1C，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.連接CE，則CE為m′，連接A1B，過(guò)B1作B1F1∥A1B，交AA1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F1，則B1F1為n′.連接BD，則BD∥CE，B1F1∥A1B，則m′，n′所成的角即為A1B，BD所成的角，為60°，故m，n所成角的正弦值為.

6.若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的M的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B8.命題“若a,b都是奇數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的逆否命題是_________A.若a+b不是偶數(shù)，則a,b都不是奇數(shù)

B.若a+b不是偶數(shù)，則a,b不都是奇數(shù)C.若a+b是偶數(shù)，則a,b都是奇數(shù)

D.若a+b是偶數(shù)，則a,b不都是奇數(shù)參考答案：B9.定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)的函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：B10.若是z的共軛復(fù)數(shù)，且滿(mǎn)足?（1﹣i）2=4+2i，則z=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專(zhuān)題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】直接利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可．【解答】解：?（1﹣i）2=4+2i，可得?（﹣2i）=4+2i，可得=（2+i）i=﹣1+2i．z=﹣1﹣2i．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查計(jì)算能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)____________.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性B3【答案解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為的遞減區(qū)間，所以為單調(diào)遞增區(qū)間。故答案為。【思路點(diǎn)撥】根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減求出單調(diào)性。12.函數(shù)的圖像，其部分圖象如圖所示，則_______.參考答案：略13.．已知函數(shù)y=f（x+1）是R上的偶函數(shù)，且時(shí)恒成立，又的解集是

.參考答案：14.曲線在點(diǎn)（0，1）處的切線方程為

。參考答案：15.若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則該函數(shù)解析式是

.參考答案：16.給出下列不等式：，，，…，則按此規(guī)律可猜想第n個(gè)不等式為

．參考答案：17.若某程序框圖如圖所示，則運(yùn)行結(jié)果為．參考答案：5三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求的反函數(shù)的圖象上點(diǎn)（1，0）處的切線方程；（Ⅱ）證明：曲線與曲線有唯一公共點(diǎn)．參考答案：解：（Ⅰ）的反函數(shù)為，設(shè)所求切線的斜率為k．∵，∴，于是在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為…………4分（Ⅱ）證法一：曲線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)……6分∵，∴存在零點(diǎn)………………7分又，令，則．當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴在處有唯一的極小值………………10分即在上的最小值為．∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），∴在上是單調(diào)遞增的，∴在上有唯一的零點(diǎn)，故曲線與曲線有唯一公共點(diǎn)…12分證法二：∵，，∴曲線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于曲線與的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)………………6分設(shè)，則，即當(dāng)時(shí)，兩曲線有公共點(diǎn)．又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），∴在上單調(diào)遞減，∴與有唯一的公共點(diǎn)，故曲線與曲線有唯一公共點(diǎn)…12分

19.已知函數(shù)f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）． （1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程； （2）求函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間； （3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 【分析】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再求所求切線的斜率即f′（0），由于切點(diǎn)為（0，0），故由點(diǎn)斜式即可得所求切線的方程； （2）先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得：f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，再對(duì)a進(jìn)行討論，得到f'（x）＞0，從而函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增． （3）f（x）的最大值減去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由單調(diào)性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的單調(diào)性，判斷f（1）與f（﹣1）的大小關(guān)系，再由f（x）的最大值減去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范圍． 【解答】解：（1）∵f（x）=ax+x2﹣xlna， ∴f′（x）=axlna+2x﹣lna， ∴f′（0）=0，f（0）=1 即函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)（0，1）處的切線斜率為0， ∴圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=1； （2）由于f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna＞0 ①當(dāng)a＞1，y=2x單調(diào)遞增，lna＞0，所以y=（ax﹣1）lna單調(diào)遞增，故y=2x+（ax﹣1）lna單調(diào)遞增， ∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增； ②當(dāng)0＜a＜1，y=2x單調(diào)遞增，lna＜0，所以y=（ax﹣1）lna單調(diào)遞增，故y=2x+（ax﹣1）lna單調(diào)遞增， ∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增； 綜上，函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間（0，+∞）； （3）因?yàn)榇嬖趚1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1， 所以當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，|（f（x））max﹣（f（x））min| =（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1， 由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上遞減，在[0，1]上遞增， 所以當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，（f（x））min=f（0）=1， （f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}， 而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna， 記g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0）， 因?yàn)間′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)）， 所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，而g（1）=0， 所以當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）＞0；當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g（t）＜0， 也就是當(dāng)a＞1時(shí)，f（1）＞f（﹣1）； 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（1）＜f（﹣1） ①當(dāng)a＞1時(shí)，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1?a﹣lna≥e﹣1?a≥e， ②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1?+lna≥e﹣1?0＜a≤， 綜上知，所求a的取值范圍為a∈（0，]∪[e，+∞）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．屬于中檔題． 20.（本大題滿(mǎn)分12分）某投資公司擬投資開(kāi)發(fā)某項(xiàng)新產(chǎn)品，市場(chǎng)評(píng)估能獲10--1000萬(wàn)元的投資收益，現(xiàn)公司準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨投資收益x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，且獎(jiǎng)金不低于1萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的20%，

(Ⅰ)設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模擬為f（x），試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型f（x）的基本要求；(Ⅱ)下面是公司預(yù)設(shè)的兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型：（1）y=+2；(2)y=4lgx-3．試分別分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求？參考答案：(1)解：由題意知,公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型f(x)的基本要求是：

當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，①f(x)是增函數(shù)；②f(x)≥1恒成立；③恒成立． 2分(2)解：①對(duì)于函數(shù)模型

當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則f(x)≥1顯然恒成立 4分

而若使函數(shù)在[10，1000]上恒成立，即29x≥300恒成立

而(29x)min=290，∴不恒成立

故該函數(shù)模型不符合公司要求． 6分

②對(duì)于函數(shù)模型

當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，f(x)是增函數(shù)，.

∴f(x)≥1恒成立 8分

設(shè)，則

當(dāng)x≥10時(shí)，

所以g(x)在[10，1000]上是減函數(shù) 10分

從而g(x)≤g(10)=4lg10－2－2=0

∴≤0，即

∴恒成立.

故該函數(shù)模型符合公司要求． 12分21.已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且b1=a1=1，b3=a4，b1+b2+b3=a3+a4．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=anbn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【分析】（1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，{bn}的公比為q，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得d，q的方程組，解方程可得公差和公比，即可得到所求通項(xiàng)公式；（2）求得，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．【解答】解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，{bn}的公比為q，依b1=a1=1，b