(全國(guó)通用)中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)攻克“K”字型幾何相似題型突破與練習(xí)

中考數(shù)學(xué)重難考點(diǎn)打破“K”字型幾何相像題型研究與練習(xí)相像基本圖形中除了常有的“A”字型、"X”字型相像外，還有一個(gè)“K'字型相像，也常用丁各樣相像圖形中“K”字型相像由特別到一般，題型經(jīng)常豐富多彩，也是近幾年中考題中常有的一種基本圖形.認(rèn)識(shí)一個(gè)基本圖形，有助丁我們?cè)趶?fù)雜圖形中浸透此中的神秘，進(jìn)而找到解決問(wèn)題的打破口.種類1“K'字型相像基本圖形1圖1例1條件：如圖1,B,C,E結(jié)論：△ABSzXCED.請(qǐng)證明結(jié)論正確【解析】

三點(diǎn)共線，/B=ZAC6ZE=90°.證明兩個(gè)三角形相像有哪些方法？⑵除了ZB=ZE=ZACD以外，圖中還能夠找出哪些角相等？【答案】(1)證明兩個(gè)三角形相像常用的判斷方法有：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相像；兩邊對(duì)應(yīng)成比率且火角相等的兩個(gè)三角形相像；三邊對(duì)應(yīng)成比率的兩個(gè)三角形相像等.(2)依據(jù)余角的性質(zhì)還能夠獲得ZA=ZDCEZAC&ZD,進(jìn)而可證得△AB(^ACED.【應(yīng)用】如圖2,已知點(diǎn)A(0,4),B(4,1),BC軸±x丁點(diǎn)C,點(diǎn)P為線段OC上一點(diǎn)，且PMP^則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.■>【分層解析】依據(jù)“K”字型相像，圖中能夠找到哪兩個(gè)三角形相像？依據(jù)相像三角形乂能夠獲得怎樣的比率式？⑵設(shè)P(x,0),貝U依據(jù)比率式列出方程即可求得x的值，進(jìn)而獲得點(diǎn)P的坐標(biāo).【解題方法點(diǎn)醒】K”字型相像基本圖形1,在丁找尋三個(gè)直角相等，熟記基本圖形有益丁迅速找到相像三角形，進(jìn)而經(jīng)過(guò)成立方程解決問(wèn)題.【答案】【分層解析】一.AOOPAO^APCB所以(1)依據(jù)“K”字型相像，可獲得△豈由PCCB⑵設(shè)P(x,0)，由于A8。妥4,BO1,所以O(shè)Rx,PO4-x,所以4x=；,解得x=2,進(jìn)而獲得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0).4—xI［答案］(2,0)［解析］.?PA±PB,???ZAPOZBP(^90軸，°.ACKx..ZAPOZPAO=90°,ZPAOZBPC.乂B如x軸，Adx軸，..ZBCRZPO左90°,AOOP.BCf^APOA?品PCCB.?點(diǎn)A(0,4),B(4,1),/.AO4,BO1,OC4.設(shè)P(x,0),則OAx,PO4-x,4x―=；，解得x=2,.,?點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0).4—x1種類2“K'字型相像基本圖形2例2條件：如圖3,B,D,C三點(diǎn)共線，ZB=ZED巳ZJ匕也.圖3結(jié)論：△BDMzXCFD.請(qǐng)證明：結(jié)論正確【分層解析】“K”字型相像基本圖形2與基本圖形1有何聯(lián)系？怎樣證明/E=ZCDF?【答案】【分層解析】(1)兩個(gè)圖形都有三個(gè)角相等，基本圖形1是三個(gè)直角相等，而基本圖形2是基本圖形1的般狀況，更具廣泛性，兩個(gè)圖形的形狀均近似丁字母“K”，所以稱之為“K”字型相像圖形.(2).?ZB=ZED巳ZOZa,由外角性質(zhì)可知ZED。ZB+ZE=Za+ZE.乂.?ZED。ZEDI^ZFD(^Za+ZCDF..ZE=ZCDF.證明：/B=/ED巳/C=/a,由外角性質(zhì)可知ZED。ZB+ZE=Za+ZE.乂..ZED。ZEDNZFD(^Za+ZFDC..ZE=ZFDC.乂B=ZC,.BDE^ACFD.【應(yīng)用】如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABCM梯形，CB//OA。孚BA。住7,BO1,AA5,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P不與點(diǎn)O,A重合.連接CP過(guò)點(diǎn)P作PD交AB丁點(diǎn)D.圖4直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)：;當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得ZCP6ZOAB且BD：AE>3：2,求點(diǎn)P的坐標(biāo).【分層解析】(1)過(guò)點(diǎn)

B作

BCUx

軸丁點(diǎn)

Q,依題意可得

OO4,AO3,

已知

AA5,

依據(jù)勾股定理求出

QB

即可解答

.⑵依據(jù)

“K”

字型相像，圖中能夠找到哪兩個(gè)三角形相像？依據(jù)相像三角形乂能夠獲得怎樣

的比例式？【答案】【分層解析】⑴過(guò)點(diǎn)B作BCUx軸丁點(diǎn)Q易求得BO4,故獲得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,4).⑵由“K”字型相像可獲得/\PO^ADAPOCOP所以AF^AD2設(shè)OT,gAA5,AAgAA2,AA7—x,5x所以=5，解得x=2或x=5,/x2所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)或(5,0).解：(1)過(guò)點(diǎn)B作BCUx軸丁點(diǎn)Q...AAOC???AO(71)—-2=3,在Rt△BQM,B住5,由勾股定理，得BO[AE2-AQ=4,.??點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,4).(2).ZCP/WOCBZCOP即ZCPI>ZDP缶ZCOBZOCP而ZCP6ZOA序ZCOP..ZOCRZAPD.OC^AAPD.OCOP.APAD..BD3■AET2■A",2-設(shè)OAx,O孚AA5,AA7—x,5x..--=-7-x2'解得x=2或x=5,.??點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)或(5,0).2.如圖5,已知直線y=kx2交丁點(diǎn)A(3,6).與拋物線y=一￡x+22273求直線y=kx的函數(shù)表達(dá)式和線段OA的長(zhǎng)度.若點(diǎn)B為拋物線上對(duì)稱軸右邊的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OA上(與點(diǎn)O,A不重合)，點(diǎn)D(m0)是x軸BD圖5正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且知足ZBAEZBESZAOD研究：m在什么范圍內(nèi)時(shí)，符合條件的點(diǎn)E分別有1個(gè)、個(gè)？【分層解析】(1)利用待定系數(shù)法求出直線y=kx的函數(shù)表達(dá)式，依據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)用勾股定理求出線段OA的長(zhǎng)度.⑵①延伸AB交x軸丁點(diǎn)由求出點(diǎn)F的坐標(biāo)為,進(jìn)而再求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為此后F,ZBAE/AOCM由兩點(diǎn)間距離公式可求得線段AB的長(zhǎng)為;②由已知條件ZBAEZBE孚ZAOD可獲得“K”字型相像的基本圖形2,故可獲得^△設(shè)。日a,則由對(duì)應(yīng)邊的比率關(guān)系能夠獲得.進(jìn)而獲得關(guān)丁a的一元二次方程為此后依據(jù)根的鑒別式能夠分別獲得a的值分別為1個(gè)、2個(gè)時(shí)m的取值范圍.【解題方法點(diǎn)醒】“K”字型相像基本圖形2,依據(jù)三個(gè)角相等，聯(lián)想到“K”字型基本圖形1,便丁迅速找到相像三角形，進(jìn)而利用相像的相關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題.【答案】【例題分層解析】(1)直線y=kx的函數(shù)表達(dá)式為y=2x,OA.32+62=3J"5............................15.......................①點(diǎn)F的坐標(biāo)為(萬(wàn),0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,2),AN5.②依據(jù)“K”字型相像的基本圖形2,可獲得△ABMzXOED設(shè)。日a,WJAE=3寸5—a(0<a<3飽，______AEOD由/\ABt^AOED尋亦ABOE3丐-a=m,.如―3^5a+5憐0,5a依題意知m>0.??當(dāng)^=0,即(一3也-20”0,E4時(shí)，符合條件的點(diǎn)E有1個(gè);當(dāng)A〉。，即(一3寸5)2—20e0,0<RK,時(shí)，符合條件的點(diǎn)E有2個(gè).解：(1)把點(diǎn)A(3,6)的坐標(biāo)代入y=kx，得6=3k,..k=2,..y=2x,。住/32+62=3\J5.⑵如圖，延伸AB交x軸丁點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作FCLOA于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)A作A"x軸丁點(diǎn)R.ADROvZAO6ZBAE..AF=OF,13-..O孚AC^§OX25..ZAROZFCO=90°,ZAO&ZFOC???AAOI^AFOCOFAO3冷-3--15OTORT3=梅0巳次*底云...........................15.,?點(diǎn)F的坐標(biāo)為—,0.15................................設(shè)直線AF的函數(shù)表達(dá)式為y=ax+b（a豐0）,把點(diǎn)A（3,6）,F~,0的坐標(biāo)代入，解得a4b=10,.?￥4x=+—10,=—3,34一y=一三x+10,3x〔=3,X2=』CO解得Q（舍去），6,4222y〔=6y=—27x..B(6,2),..AA5..ZBAE^ZBEDZABmZBAEZDEQZBED..ZABE^ZDEO.vZBA日Z(yǔ)EOD△ABE^AOED.設(shè)。日a,WJAE=3^5-a(0<a<3也,一~^AEOD由/\ABt^AOE^#—ABOE即3_^戶=m,...a2—3V5a+5憐0.5a依題意得m>0.??當(dāng)^=0,即（一3寸5）2—20”0,E4時(shí)，符合條件的點(diǎn)E有1個(gè);當(dāng)A〉。，即（一3寸5）2—20e0,0<RK9時(shí)，符合條件的點(diǎn)E有2個(gè).專題訓(xùn)練1.如圖6,已知矩形ABCD勺極點(diǎn)A,D分別落在x軸、y軸上，OE>2O住6,AD：AA3:1,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）圖6A.(2,7)B.(3,7)C.(3,圖102.如圖7,在矩形ABCLfr,把DA沿AF對(duì)折，使得點(diǎn)D與CB邊上的點(diǎn)E重合，若AE>10,AA8,WJEF=CE圖73.如圖8,D是等邊/XABCfeAB上的點(diǎn)，AE>2,BA4.現(xiàn)將z\ABC^疊，使得點(diǎn)C與點(diǎn)D一'.....CF重合，折痕為EF,且點(diǎn)E,F分別在邊AC和BC上，則RCE如圖9,在直角梯形ABC叫，CA14,C巳4,AN6,CF//AB,在邊CB上找一點(diǎn)E,使以E,A,B為極點(diǎn)的三角形和以E,C,F為極點(diǎn)的三角形相像，WJCE.圖95.如圖10,在直角梯形ABCg,ZA=90°,ZB=120寸°3,A,A46.在底邊AB上取點(diǎn)在射線E,DC上取點(diǎn)F,使得ZDE巳120°.當(dāng)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，線段DF的長(zhǎng)度是;⑵若射線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,則AE的長(zhǎng)是.圖10圖10圖

6.

將形狀、大小完整同樣的兩個(gè)等腰三角形如11所示放置，點(diǎn)D在AB邊上，△DEF

繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，腰DF和底邊DE分別交△CAB的兩腰CACB丁MN兩點(diǎn).若C住5,AA6,AD：AB=i:3，貝uMt>MA^DNN勺最小值為.圖117.如圖12,在四邊形ABCLfr，已知AD//BCZB=90AA°7,AE>9,BO12,在線段BC上任取一點(diǎn)E,連接DE作EFLDE交直線AB丁點(diǎn)F.(1)若點(diǎn)F與B重合，求CE的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)F在線段AB上，且AF=CE求CE的長(zhǎng).圖12如圖13,在z\ABC中，ANAG點(diǎn)P,D分別是BGAC邊上的點(diǎn)，且/AP孚ZB.(1)求證：AC?C[>CP?BP;(2)若AA10,BO12,當(dāng)PD//AB時(shí)，求BP的長(zhǎng).9.△ABC^PADEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，ZBA?ZED巳90°,△的DEF極點(diǎn)E與^ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合，將^DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段DE與線段AB訂交丁點(diǎn)P,線段EF與射線CA訂交丁點(diǎn)Q.如圖14①，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且A卜AQ時(shí)，求證：△BPE^ACQE.⑵如圖14②，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延伸線上時(shí)，求證：△BPE^ACEQ并求當(dāng)B卜2,CQ=9時(shí)BC的長(zhǎng).圖1410.在^ABC中，AAAC,ZBAO120,°P為BC的中點(diǎn)，小明拿著含有30°角的透明直角三角板，使30°角的極點(diǎn)落在點(diǎn)P上，三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn).(1)如圖15①，當(dāng)三角板的素來(lái)角邊和斜邊分別與A己AC交丁點(diǎn)E,F時(shí)，連接EF,請(qǐng)說(shuō)明△BPE^ACFP.(2)操作：將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖②的情況時(shí)，三角板的兩邊分別交BA的延伸線、邊AC丁點(diǎn)E,F,連接EF.①研究1:ABPE^ACFP相像嗎？請(qǐng)說(shuō)明原因；②研究2:z\BPE^z\PFE相像嗎？請(qǐng)說(shuō)明原因.BPCBPC①②圖15參照答案51.【答案】A2.【答案】53.【答案】二4284.【答案】2或12成￡［解］析兩個(gè)二角形相像，可能是△EF"z\EA己也可能是△EFSzXAEB,5所以應(yīng)分兩種狀況議論，進(jìn)而求CE的值即可.5.【答案】(1)6(2)2或5［解析］(1)過(guò)點(diǎn)E作E饑DF,由E是AB的中點(diǎn)，得出DE3,進(jìn)而得出ZDE奪60°,由ZDEF-.FG一=120,得/FE孚60,由tan/FE(^—即可求出GF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出DF的長(zhǎng).GE⑵過(guò)點(diǎn)B作BHLDC延伸AB,過(guò)點(diǎn)C作CMAB丁點(diǎn)M則B已AA寸3,再由銳角三角函數(shù)的定義求出CH及BC的長(zhǎng)，設(shè)AAx,則BA6-x,利用勾股定理用x表示出DE及EC的長(zhǎng)，再判斷出AEDS/XBCE由相像三角形的對(duì)應(yīng)邊成比率即可得出關(guān)丁x的方程，求出x的值即可.【答案】2寸3［解析］先求出A42,BE>4,由“K”字型相像可得△AMEftzXBDN?似，依據(jù)相像三角形對(duì)應(yīng)MAMD求出MADN^4MD再將所求代數(shù)式整理得出完整平■方的形式，此后根邊成比率可得旬據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出最小值即可.解：(1)當(dāng)點(diǎn)F和B重合時(shí),.EFLDE,..D」BC.ZB=90°,..ABLBG???AB//DE??AD//BC,四邊形ABED!平行四邊形,???AAEF=9,..C『BOEF=12-9=3.⑵過(guò)點(diǎn)D作D匝BC丁點(diǎn)M,.ZB=90°,..ABLBC???DM/AB.?AD//BC,四邊形ABMD!矩形，???AAB峰9,A『D岬7,g12-9=3.設(shè)AF=C『a,貝UBF=7—a,Eh^a—3,B『12—a,可證△FBE^AEMDBFBE"—a12-a即--------------EMDMa-3

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=解得a=5或a=17..??點(diǎn)F在線段AB上，AF=C氏A『7,..C『5.解：(1)證明：?.?ZAPQZPAE^ZB,ZAPt^ZB,???ZDPQZPAB乂AAACZABAZPCDA^BPAABF^APCDCF^CD?AC=CD*CECP?BP(2).?PD//AB,..ZDPQZB,ZPA&ZB,乂ZB=ZC,ZPA&ZC.乂ZPB4ZABCBPABAB.而=胡..PBkzXCAB210225..BF^===BBC123-解：1證明：z\ABC是等腰直角三角形，ZB=/C=45,A^=AC.?A『AQ..BP=CQ.?E是BC的中點(diǎn)，BE=CE在/\BPE^RACQ"BACE/B=ZC,BACQ.BPE^ACQESAS；???ABC^^ADEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形,ZB=ZC=ZDE『45,.ZBEOZEQQZC,即ZBE即ZDE『ZEQ@ZC,???/BE即45=ZEQQ450,/BE』/EQC入入

BPBE.

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