第一節(jié)絕對(duì)值不等式

第一節(jié)絕對(duì)值不等式第一頁，共四十九頁，2022年，8月28日知識(shí)點(diǎn)考綱下載考情上線絕對(duì)值不等式理解絕對(duì)值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號(hào)的條件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)．2.會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.在填空或解答題中考查絕對(duì)值不等式解法與含絕對(duì)值號(hào)的函數(shù)的最值，恒成立問題.第二頁，共四十九頁，2022年，8月28日知識(shí)點(diǎn)考綱下載考情上線不等式證明通過一些簡(jiǎn)單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法.考查簡(jiǎn)單不等式的證明，多用比較法、綜合法、分析法.第三頁，共四十九頁，2022年，8月28日第四頁，共四十九頁，2022年，8月28日第五頁，共四十九頁，2022年，8月28日一、絕對(duì)值三角不等式1.定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤

，當(dāng)且僅

當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立.|a|＋|b|ab≥0第六頁，共四十九頁，2022年，8月28日(1)絕對(duì)值三角不等式的向量形式及幾何意義是什么？(2)不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的條件分別是什么？提示：(1)當(dāng)a，b不共線時(shí)，|a＋b|<|a|＋|b|，它的幾何意義就是三角形的兩邊之和大于第三邊.(2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右側(cè)“＝”成立的條件是ab≥0，左側(cè)“＝”成立的條件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右側(cè)“＝”成立的條件是ab≤0，左側(cè)“＝”成立的條件是ab≥0且|a|≥|b|.第七頁，共四十九頁，2022年，8月28日

2.定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，則|a－c|≤

，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，

等號(hào)成立.|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0第八頁，共四十九頁，2022年，8月28日二、絕對(duì)值不等式的解法1.含絕對(duì)值的不等式|x|<a與|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a－a<x<a??|x|>ax>a或x<－ax≠0R第九頁，共四十九頁，2022年，8月28日2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c?

.(2)|ax＋b|≥c?

.－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c第十頁，共四十九頁，2022年，8月28日3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式

的解法方法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形

結(jié)合的思想.

方法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函

數(shù)與方程的思想.第十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日1．解不等式|x＋log2x|<|x|＋|log2x|.解：原不等式成立只需x·log2x<0，即∴解集為{x|0<x<1}．第十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日2．解不等式2x＋2|x|≥2解：當(dāng)x≥0時(shí)，有2x＋2x≥∴x≥當(dāng)x<0時(shí)，有2x＋2－x≥2，即(2x)2－2·2x＋1≥0.解得2x≤－1，或2x≥＋1(∵x<0，故舍)，∴x≤log2(－1)．∴原不等式解為第十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日3．已知不等式2|x－3|＋|x－4|<2a.(1)若a＝1，求x的取值范圍；(2)若已知不等式解集不是空集，求a的取值范圍．第十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日解：(1)2|x－3|＋|x－4|<2，|x－3|＋|x－4|<1，∴x∈?.(2)|x－3|＋|x－4|≥(x－3)－(x－4)＝1，∴(|x－3|＋|x－4|)min＝1，又已知不等式的解集不是空集，所以a>1.第十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日3．已知不等式2|x－3|＋|x－4|<2a.(1)若a＝1，求x的取值范圍；(2)若已知不等式解集不是空集，求a的取值范圍．

解：(1)2|x－3|＋|x－4|<2，|x－3|＋|x－4|<1，∴x∈?.(2)|x－3|＋|x－4|≥(x－3)－(x－4)＝1，∴(|x－3|＋|x－4|)min＝1，又已知不等式的解集不是空集，所以a>1.第十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日4．已知a∈R，解關(guān)于x的不等式|x|>第十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日解：原不等式等價(jià)于x>或x<即∵x2－ax＋6a2>0恒成立，∴原不等式等價(jià)于x－a>0或(x－a)(x＋2a)(x－3a)<0當(dāng)a≥0時(shí)，原不等式的解集為：{x|x>a，或x<－2a}當(dāng)a<0時(shí)，原不等式的解集為：{x|x>a，或x<3a}．第十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日第十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日1．對(duì)絕對(duì)值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等號(hào)成立的條件要深刻理解，特別是用此定理求函數(shù)的最值時(shí)．2．該定理可以強(qiáng)化為：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它經(jīng)常

用于證明含絕對(duì)值的不等式．3．對(duì)于y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值求

法利用該不等式更簡(jiǎn)潔、方便．第二十頁，共四十九頁，2022年，8月28日“|x－a|<m，且|y－a|<m”是“|x－y|<2m”(x，y，a，m∈R)的____________________(填充分不必要條件，或必要不充分條件，或充要條件)．第二十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日利用絕對(duì)值三角不等式，推證與|x-y|<2m的關(guān)系即得答案.第二十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日解析：∵|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|<m＋m＝2m，∴|x－a|<m，且|y－a|<m是|x－y|<2m的充分條件．取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，則有|x－y|＝2<5＝2m，但|x－a|＝5，不滿足|x－a|<m＝2.5，故|x－a|<m且|y－a|<m不是|x－y|<2m的必要條件．答案：充分不必要條件第二十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日1．設(shè)f(x)＝x2－x＋1，實(shí)數(shù)a滿足|x－a|<1，求證：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．

第二十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日證明：∵f(x)＝x2－x＋1，∴|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|，∵|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)，∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．第二十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日絕對(duì)值不等式的常見類型及其解法1形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式此類不等式的簡(jiǎn)單解法是等價(jià)命題法，即(1)當(dāng)a>0時(shí)，|f(x)|＜a?－a＜f(x)＜a.|f(x)|＞a?f(x)＞a或f(x)＜－a.(2)當(dāng)a＝0時(shí)，|f(x)|<a無解．|f(x)|>a?f(x)≠0.(3)當(dāng)a<0時(shí)，|f(x)|<a無解．|f(x)|>a?f(x)有意義．第二十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日2含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式的解法(1)零點(diǎn)分段法零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟：a.求零點(diǎn)；b.劃分區(qū)

間、去絕對(duì)值號(hào)；c.分別解去掉絕對(duì)值的不等式；d.取每

個(gè)結(jié)果的并集，特別注意在分段時(shí)不要漏掉區(qū)間的端點(diǎn)值．注意：在利用分類討論解決含多個(gè)絕對(duì)值的不等式時(shí)，應(yīng)做

到分類不重、不漏；在某個(gè)區(qū)間上解出不等式后，不要忘了

與前提條件求交集．第二十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日(2)利用|x－a1|±|x－a2|的幾何意義利用數(shù)形結(jié)合法，把絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)x到兩個(gè)定點(diǎn)a1、a2的距離之和(差)．第二十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日解下列不等式(1)|2x＋5|>7＋x；(2)|x－1|＋|x＋2|<5.

第二十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日

(1)利用公式法轉(zhuǎn)化(2)采用零點(diǎn)分段討論法，也可用絕對(duì)值的幾何意義去解．

第三十頁，共四十九頁，2022年，8月28日解：(1)由不等式|2x＋5|>7＋x，可得解得x>2或x<－4.∴原不等式的解集是{x|x<－4或x>2}．第三十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日（2）法一：分別求|x－1|，|x＋2|的零點(diǎn)，即1，－2.由－2,1把數(shù)軸分成三部分：x<－2，－2≤x≤1，x>1.當(dāng)x<－2時(shí)，原不等式即1－x－2－x<5，解得－3<x<－2；當(dāng)－2≤x≤1時(shí)，原不等式即1－x＋2＋x<5，因?yàn)?<5恒成立，則－2≤x≤1；當(dāng)x>1時(shí)，原不等式即x－1＋2＋x<5，解得1<x<2.綜上，原不等式的解集為{x|－3<x<2}．第三十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日法二：不等式|x－1|＋|x＋2|<5的幾何意義為數(shù)軸上到－2,1兩個(gè)點(diǎn)的距離之和小于5的點(diǎn)組成的集合，而－2,1兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離為3，由于分布在－2,1以外的點(diǎn)到－2，1的距離在－2,1外部的距離要計(jì)算兩次，而在－2,1內(nèi)部的距離則只計(jì)算一次，因此只要找出－2左邊到－2的距離等于＝1的點(diǎn)－3，以及1右邊到1的距離等于＝1的點(diǎn)2，這樣就得到原不等式的解集為{x|－3<x<2}．第三十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日2．若關(guān)于x的不等式|x＋2|＋|x－1|≤a的解集為?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．第三十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日解：法一：令y1＝|x＋2|＋|x－1|，y2＝a.y1、y2的圖象如圖所示：由圖可知，當(dāng)a＜3時(shí)，|x+2|+|x-1|≤a的解集為?.第三十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日法二：|x+2|+|x-1|表示數(shù)軸上的點(diǎn)A(x)到B(-2)和C(1)兩點(diǎn)的距離之和，而|BC|=3，所以A到B、C兩點(diǎn)的距離之和的最小值為3.若|x+2|+|x-1|≤a的解集為?，只需a＜3即可．所以a的取值范圍是a＜3.第三十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日絕對(duì)值不等式的證明主要有兩類：一是比較簡(jiǎn)單的不等式，往往可通過平方法，換元法去掉絕對(duì)值轉(zhuǎn)化證明，有時(shí)需要適當(dāng)?shù)奶?、拆?xiàng)．二是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型絕對(duì)值不等式問題，多用放縮法，涉及二次型的也可考慮最值或根的分布問題．第三十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日設(shè)m等于|a|，|b|和1中最大的一個(gè)，當(dāng)|x|>m時(shí)，求證：利用絕對(duì)值不等式放縮證明.第三十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日證明：∵|x|>m≥|a|，故原不等式成立．第三十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日3．已知二次函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定義域?yàn)閇－1,1]，且|f(x)|的最大值為M.(1)試證明|1＋b|≤M；(2)試證明第四十頁，共四十九頁，2022年，8月28日證明：(1)∵M(jìn)≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|，∴2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b|，∴|1＋b|≤M.(2)依題意，M≥|f(－1)|，M≥|f(0)|，M≥|f(1)|，又|f(－1)|＝|1－a＋b|，|f(1)|＝|1＋a＋b|，|f(0)|＝|b|，∴4M≥|f(－1)|＋2|f(0)|＋|f(1)|＝|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)－2b＋(1＋a＋b)|＝2，∴M≥第四十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日第四十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日絕對(duì)值不等式是對(duì)必修5中“不等式”的補(bǔ)充和深化,其解法與證明是考查的重點(diǎn)，若單獨(dú)命題，多以填空題形式出現(xiàn)，也可與其他知識(shí)結(jié)合考查解答題.如2009年福建21題，2009年遼寧24題，2009年寧夏、海南24題都考查了絕對(duì)值不等式的解法.第四十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日(2009·遼寧高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果對(duì)任意x∈R，f(x)≥2，求a的取值范圍．第四十四頁，共四十九頁，202