物理第4章機(jī)械振動(dòng)

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大連理工大學(xué)物理與光電工程學(xué)院詹衛(wèi)伸2

第4章

振動(dòng)3物體在一定位置附近往復(fù)的運(yùn)動(dòng)就叫機(jī)械振動(dòng)，簡(jiǎn)稱振動(dòng)。它是物體的一種運(yùn)動(dòng)形式。研究機(jī)械振動(dòng)即可掌握振動(dòng)的普遍規(guī)律。振動(dòng)和波的基本原理是聲學(xué)、光學(xué)、電工學(xué)、無(wú)線電學(xué)、自動(dòng)控制等科學(xué)技術(shù)部門(mén)的理論基礎(chǔ)。最簡(jiǎn)單的是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，它也是最基本的振動(dòng)，因?yàn)橐磺袕?fù)雜的振動(dòng)都可以認(rèn)為是由許多簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的從日常生活到生產(chǎn)技術(shù)以及自然界中到處都存在著振動(dòng)。如鐘擺的擺動(dòng)，一切發(fā)聲體都在振動(dòng)，機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)總伴隨著振動(dòng)，海浪的起伏以及地震也都是振動(dòng)，晶體中的原子也都在不停地振動(dòng)著?！?動(dòng)畫(huà)演示振動(dòng)\01彈簧振子1.swf振動(dòng)\01彈簧振子2.swf振動(dòng)\01彈簧振子3.swf振動(dòng)\04垂直彈簧振子.swf振動(dòng)\05單擺1.swf振動(dòng)\06單擺2.swf振動(dòng)\07復(fù)擺.swf振動(dòng)\08常見(jiàn)簡(jiǎn)諧振動(dòng).swf5§1簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果離開(kāi)平衡位置的位移(或角位移)

按余弦函數(shù)(或正弦函數(shù))的規(guī)律隨時(shí)間變化，這種運(yùn)動(dòng)就叫簡(jiǎn)諧振動(dòng)。一簡(jiǎn)諧振動(dòng)函數(shù)一個(gè)輕質(zhì)彈簧的一端固定，另一端固結(jié)可以自由運(yùn)動(dòng)的物體就構(gòu)成一個(gè)彈簧振子。物體對(duì)于平衡位置的位移

振子的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)

☆6二描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量表示質(zhì)點(diǎn)可能離開(kāi)原點(diǎn)的最大距離，它給出了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的范圍,叫做振動(dòng)的振幅。余弦函數(shù)表明質(zhì)點(diǎn)的位置變化具有時(shí)間上的周期性。由于余弦函數(shù)的周期是，所以有以表示振動(dòng)的頻率，則叫做振動(dòng)的角頻率

，或都表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性。以表示周期，即振動(dòng)往復(fù)一次所經(jīng)歷的時(shí)間☆7在和已知的條件下，決定于質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻時(shí)的位置。一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理特征在于其振幅和周期。值就不同。選物體到達(dá)正向極大位移的時(shí)刻為時(shí)間原點(diǎn)，如果選物體到達(dá)負(fù)向極大位移的時(shí)刻為時(shí)間原點(diǎn)，由于是由對(duì)時(shí)間原點(diǎn)的選擇所決定的，所以把它叫做振動(dòng)的初相。對(duì)于一個(gè)振幅和周期已定的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，用數(shù)學(xué)公式表示時(shí)，由于選作原點(diǎn)的時(shí)刻不同，☆8對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，如果，（或、）和都知道了，

就可以寫(xiě)出它的完整的表達(dá)式，也就是全部掌握該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征了。因此，這三個(gè)量叫做描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量?！?三簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的加速度和位移成正比而反向☆10四簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示方式1.振動(dòng)函數(shù)描述了彈簧振子中物體的位移，稱為振動(dòng)函數(shù)。對(duì)于單擺的小振幅擺動(dòng)，其振動(dòng)函數(shù)為對(duì)于其他的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，如電磁場(chǎng)☆112.振動(dòng)曲線對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)曲線是余弦（正弦）曲線，這也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的一種表示。振動(dòng)曲線表示的是振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移隨時(shí)間的變化關(guān)系?！?213簡(jiǎn)諧振動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系:☆14還可以寫(xiě)為:☆15振動(dòng)\簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示1.swf振動(dòng)\簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示1.swf動(dòng)畫(huà)演示163.旋轉(zhuǎn)矢量（自學(xué)）簡(jiǎn)諧振動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)有簡(jiǎn)單的關(guān)系。設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿圓心在點(diǎn)半徑為的圓周作勻速運(yùn)動(dòng)，其角速度為。☆17☆181920212223242526以圓心為原點(diǎn)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)的徑矢經(jīng)過(guò)與軸夾角為的位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，則在任意時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)在軸上的此徑矢與軸的夾角為投影的坐標(biāo)為27圓周運(yùn)動(dòng)的角速度(或周期)等于振動(dòng)的角頻率(或周期)，圓周的半徑等于振動(dòng)的振幅。初始時(shí)刻作圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的徑矢與軸的夾角就是振動(dòng)的初相。作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在某一直徑(取作軸)上的投影的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。28簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的速率是在時(shí)刻它在這正是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度公式。軸上的投影是29簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度作勻速圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的向心加速度是這正是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的加速度公式。在時(shí)刻它在軸上的投影是30XOMPx相量圖法☆31振動(dòng)相位逆時(shí)針?lè)较?/p>

M

點(diǎn)在

x

軸上投影(P點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

的長(zhǎng)度

旋轉(zhuǎn)的角速度旋轉(zhuǎn)的方向與參考方向x的夾角振幅A振動(dòng)圓頻率XOMPx相量圖法在相量圖中，有一個(gè)直觀的幾何意義，在時(shí)刻振幅矢量與軸夾角☆32XOMPx相對(duì)于確定的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，一定的相對(duì)應(yīng)于振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)一定時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即一定時(shí)刻的位置和速度相為零的狀態(tài)表示質(zhì)點(diǎn)在正位移極大處而速度為零；相為的狀態(tài)表示質(zhì)點(diǎn)正越過(guò)原點(diǎn)并以最大速率向軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)；相為的狀態(tài)表示質(zhì)點(diǎn)也正越過(guò)原點(diǎn)但是以最大速率向軸正向運(yùn)動(dòng)☆33相的概念在比較兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的步調(diào)時(shí)特別有用設(shè)有下列兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：

它們的相差為它們?cè)谌我鈺r(shí)刻的相差都等于其初相差而與時(shí)間無(wú)關(guān)。由這個(gè)相差的值就可以知道它們的步調(diào)是否相同?！?4如果(或者的整數(shù)倍)，兩振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)將同時(shí)到達(dá)各自的同方向的極端位置，并且同時(shí)越過(guò)原點(diǎn)而且向同方向運(yùn)動(dòng)，它們的步調(diào)相同。這種情況我們說(shuō)二者同相。如果(或者的奇數(shù)倍)，兩振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)將同時(shí)到達(dá)各自的相反方向的極端位置，并且同時(shí)越過(guò)原點(diǎn)但向相反方向運(yùn)動(dòng)，它們的步調(diào)相反。這種情況我們說(shuō)二者反相?！?5當(dāng)為其他值時(shí)，一般地說(shuō)二者不同相。當(dāng)時(shí)，將先于到達(dá)各自的同方向極大值，我們說(shuō)振動(dòng)超前振動(dòng)，或者說(shuō)振動(dòng)落后于振動(dòng)。當(dāng)時(shí)，我們說(shuō)振動(dòng)超前振動(dòng)。對(duì)于，由于相差的周期是，所以,我們把的值限在以內(nèi)。例如，當(dāng)時(shí)，不說(shuō)振動(dòng)超前振動(dòng)，而改寫(xiě)成，且說(shuō)振動(dòng)落后于振動(dòng)，或說(shuō)振動(dòng)超前振動(dòng)?！?6自學(xué)內(nèi)容結(jié)束37五簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的系統(tǒng)叫做諧振子。在一定條件下，單擺、復(fù)擺、彈簧振子等都是諧振子。☆381.彈簧諧振子當(dāng)物體的位置為時(shí)，物體所受的彈性力為由牛頓第二定律得該微分方程的解為可見(jiàn)彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，角頻率為，和為常數(shù)。☆39質(zhì)點(diǎn)在與對(duì)平衡位置的位移成正比而反向的合外力作用下的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。這可以作為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)定義。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

☆40反過(guò)來(lái)，作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)（彈簧振子），它的加速度和對(duì)于平衡位置的位移有關(guān)系根據(jù)牛頓第二定律，質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿方向作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，沿此方向所受的合外力就應(yīng)該是所以可以說(shuō)：一個(gè)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受的沿位移方向的合外力與它對(duì)于平衡位置的位移成正比而反向。這樣的力稱為回復(fù)力。和是常量☆41彈簧振子的角頻率決定于物體的質(zhì)量和彈簧的勁度系數(shù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角頻率由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)

(包括力的特征和物體的質(zhì)量)所決定。這一角頻率叫振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率。相應(yīng)的周期叫振動(dòng)系統(tǒng)的固有周期

☆42常數(shù)和由初始條件決定。

在用上式確定時(shí)，時(shí)的位移和速度一般說(shuō)來(lái)，在到之間有兩個(gè)值，要根據(jù)位移和速度的方向加以判定取舍?！?32.單擺的微小振動(dòng)一根長(zhǎng)度為，質(zhì)量可以忽略并且不會(huì)伸縮的細(xì)線，把擺球從其平衡位置拉開(kāi)一段距離放手，擺球就在豎直平面內(nèi)來(lái)回?cái)[動(dòng)。在角位移很小時(shí)，，所以上端固定，下端系一可看作質(zhì)點(diǎn)的重物就構(gòu)成一個(gè)單擺當(dāng)擺線與豎直方向成角時(shí)，忽略阻力，取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)榻俏灰频恼较驍[球所受的合力沿切線方向的分力為☆44將牛頓第二定律應(yīng)用于擺球的切向方向在角位移很小的情況下，單擺的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。單擺振動(dòng)的角頻率為單擺振動(dòng)的周期為☆453.復(fù)擺剛體繞固定水平軸自由擺動(dòng)就是復(fù)擺。微振動(dòng)的復(fù)擺也是諧振子。由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律得在角位移很小時(shí)，，所以是剛體的質(zhì)心，點(diǎn)表示固定水平軸，為剛體的擺角。剛體在重力矩作用下擺動(dòng)?！?6方程的解為可見(jiàn)微振動(dòng)的復(fù)擺是諧振子。

振動(dòng)的角頻率和周期為振幅和初相由復(fù)擺的初始條件決定☆47振動(dòng)\諧振動(dòng)能量曲線.swf振動(dòng)\簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量1.swf振動(dòng)\簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量2.swf動(dòng)畫(huà)演示48六簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量特征當(dāng)物體的位移為時(shí)，彈簧振子的總機(jī)械能為彈簧振子的總能量不隨時(shí)間改變，即其機(jī)械能守恒。彈簧振子的總能量與振幅的平方成正比，這一點(diǎn)對(duì)其他的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)也是正確的。振幅不僅給出了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)范圍，而且還反映了振動(dòng)系統(tǒng)總能量的大小，或者說(shuō)反映了振動(dòng)的強(qiáng)度?！?9振動(dòng)波動(dòng)第一次課結(jié)束50例1

解：

設(shè)質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)函數(shù)為則依題，質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅和角頻率分別為所以質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)函數(shù)化為☆51☆52(2)振動(dòng)曲線如圖所示(4)由振動(dòng)曲線知，質(zhì)點(diǎn)第一次通過(guò)平衡位置的時(shí)間☆53例2已知一水平放置的彈簧諧振子的振動(dòng)曲線，由圖確定（1）何時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為零，何時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度為零。（2）何時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為正最大，何時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為負(fù)最大。（3）何時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度為正最大，何時(shí)為負(fù)最大。（4）何時(shí)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能最大，何時(shí)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能最小。（5）何時(shí)勢(shì)能最大，何時(shí)勢(shì)能最小。（6）和時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度的方向。（7）振動(dòng)函數(shù)?！?4解：（1）何時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為零，何時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度為零?！?5解：（2）何時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為正最大，何時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為負(fù)最大?！?6解：（3）何時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度為正最大，何時(shí)為負(fù)最大?！?7解：（4）何時(shí)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能最大，何時(shí)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能最小?！?8解：（（5）何時(shí)勢(shì)能最大，何時(shí)勢(shì)能最小?！?9解：（6）和時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度的方向。☆60解：（6）和時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度的方向。☆61解：（7）振動(dòng)函數(shù)?！?2例3

（1）證明砝碼上下運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)；（2）求此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角頻率；（3）若從放手時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，求此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程（取正向下）；☆63解：

所以☆64（1）證明砝碼上下運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)由牛頓第二定律，得到砝碼上下運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)（2）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角頻率☆65（3）若從放手時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，求此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程振動(dòng)函數(shù)為

☆66振動(dòng)函數(shù)為☆6768§2阻尼振動(dòng)振動(dòng)物體總是要受到各種阻力的作用，使得其機(jī)械能不斷地轉(zhuǎn)化為其它形式的能量，如轉(zhuǎn)化為熱能而耗散、轉(zhuǎn)化為周圍介質(zhì)的能量，并且以波的形式向外傳播，結(jié)果使彈簧振子的振幅不斷減小，如無(wú)其它能量補(bǔ)允，振動(dòng)最后趨于停止。常見(jiàn)的阻力有兩類，一類是庫(kù)侖干摩擦，另一類是介質(zhì)的阻力(如在空氣或油等介質(zhì)中振動(dòng)時(shí)受到的介質(zhì)阻力)。☆69動(dòng)畫(huà)演示振動(dòng)\阻尼振動(dòng)1.swf振動(dòng)\阻尼振動(dòng)2.swf振動(dòng)\阻尼振動(dòng)3.swf70考慮到粘滯阻力作用（彈簧振子處在空氣或液體中），振動(dòng)物體速度不太大時(shí)，物體所受阻力與物體的速度成正比，與速度的方向相反物體的動(dòng)力學(xué)方程為系統(tǒng)的固有頻率考慮粘滯阻尼時(shí)，彈簧振子振動(dòng)滿足的微分方程阻尼系數(shù)☆711．小阻尼情況（）方程的通解為而、是由起始條件決定的積分常數(shù)在小阻尼情況下彈簧振子的運(yùn)動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，通常懸掛的彈簧振子，不論用什么方法使其起振，經(jīng)若干次振動(dòng)后即趨于平衡位置而停止。由于因子隨時(shí)間的增加而迅速減小，質(zhì)點(diǎn)的振幅將迅速減小。這樣的振動(dòng)稱為衰減振動(dòng)?！?273小阻尼振動(dòng)方程中的可以看作是振幅。振幅隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減，阻尼越大衰減越快，阻尼振動(dòng)不是嚴(yán)格的周期振動(dòng)。仍把看做角頻率，

阻尼振動(dòng)的周期大于振動(dòng)系統(tǒng)的固有周期，它不僅決定于彈簧振子本身性質(zhì)，還與阻尼大小有關(guān)則阻尼振動(dòng)周期（衰減振動(dòng)周期）為阻尼較小的阻尼運(yùn)動(dòng)叫欠阻尼☆74由于振幅不斷減小，振動(dòng)能量也不斷減小。由于振動(dòng)能量與振幅的平方成正比，所以能量減小到起始能量的所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為這一時(shí)間可作為阻尼振動(dòng)的特征時(shí)間而稱為時(shí)間常量，或叫鳴響時(shí)間。為起始能量。阻尼越小，則時(shí)間常數(shù)越大，鳴響時(shí)間也越長(zhǎng)?！?5在通常情況下，阻尼很難避免，振動(dòng)常常是阻尼的。常常用在鳴響時(shí)間內(nèi)可能振動(dòng)的次數(shù)來(lái)比較振動(dòng)的“優(yōu)劣”，振動(dòng)次數(shù)越多越“好”。在阻尼不嚴(yán)重的情況下，技術(shù)上就用這一次數(shù)的倍定義為阻尼振動(dòng)的品質(zhì)因數(shù)一般音叉和鋼琴弦的值為幾千，和就可以用振動(dòng)系統(tǒng)的固有周期和固有角頻率計(jì)算即它們?cè)谇脫艉蟮交韭?tīng)不見(jiàn)之前大約可以振動(dòng)幾千次，無(wú)線電技術(shù)中的振蕩回路的值為幾百，激光器的光學(xué)諧振腔的值可達(dá)?！?62．大阻尼情況（）方程的通解為

、是由起始條件決定的積分常數(shù)。顯然上式所表示的運(yùn)動(dòng)為非周期性的，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，質(zhì)點(diǎn)最終趨近于平衡位置阻尼作用過(guò)大時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)將不再具有任何周期性，物體將從原來(lái)遠(yuǎn)離平衡位置的狀態(tài)慢慢回到平衡位置。這種情況稱為過(guò)阻尼。將彈簧振子放在粘度較大的油類介質(zhì)中，就可以觀察到大阻尼情況下彈簧振子的運(yùn)動(dòng)。銀行、賓館等大型建筑物的彈簧門(mén)上常裝有一個(gè)消振油缸，使其工作于大阻尼尼狀態(tài)，其作用就是避免門(mén)來(lái)回振動(dòng)?！?7方程的通解為

、是由起始條件決定的積分常數(shù)。3．臨界阻尼情況（）顯然臨界阻尼情況下彈簧振子的運(yùn)動(dòng)也不是周期性運(yùn)動(dòng)。與大阻尼情況相比，在臨界阻尼情況下，彈簧振子開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后將更快地返回平衡位置。阻尼的大小適當(dāng)，則可以使運(yùn)動(dòng)處于一種臨界阻尼狀態(tài)。此時(shí)系統(tǒng)還是一次性地回到平衡狀態(tài)，但所用的時(shí)間比過(guò)阻尼的情況要短。為使精密天平、測(cè)量?jī)x表等快速地逼近正確讀數(shù)或返回平衡位置，在天平及各類指針式測(cè)量?jī)x表中，廣泛地采用臨界阻尼系統(tǒng)?！?8過(guò)阻尼臨界阻尼欠阻尼xt0三種阻尼振動(dòng)比較

☆79§3受迫振動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動(dòng)就是受迫振動(dòng)。這種周期性的外力稱為為策動(dòng)力(驅(qū)動(dòng)力)。在策動(dòng)力作用下的振動(dòng)就叫受迫振動(dòng)。受迫振動(dòng)是常見(jiàn)的。例如，如果電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子的質(zhì)心不在轉(zhuǎn)軸上，則當(dāng)電動(dòng)機(jī)工作時(shí)它的轉(zhuǎn)子就會(huì)對(duì)基座加一個(gè)周期性外力

(頻率等于轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率)而使基座作受迫振動(dòng)。揚(yáng)聲器中和紙盆相連的線圈，在通有音頻電流時(shí)，在磁場(chǎng)作用下就對(duì)紙盆施加周期性的策動(dòng)力而使之發(fā)聲。人們聽(tīng)到聲音是耳膜在傳入耳蝸的聲波的周期性壓力作用下作受迫振動(dòng)的結(jié)果。☆80動(dòng)畫(huà)演示振動(dòng)\受迫振動(dòng).swf81設(shè)驅(qū)動(dòng)力是隨時(shí)間按余弦函數(shù)規(guī)律變化的簡(jiǎn)諧力物體還受到彈性力和阻尼力的作用，物體作受迫振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為物體作受迫振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)化為系統(tǒng)的固有頻率阻尼系數(shù)常量☆82這是一個(gè)二階線性常系數(shù)非齊次常微分方程，它的解由該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次微分方程的一個(gè)特解的代數(shù)和☆83設(shè)受迫振動(dòng)方程的特解為將此特解代回受迫振動(dòng)方程得到這樣，由于都是常量，我們可以確定特解☆84齊次方程（阻尼振動(dòng)方程）的通解有三種可能但無(wú)論如何，在任何情況下，阻尼振動(dòng)方程的通解都是隨時(shí)間增長(zhǎng)而衰減至零穩(wěn)態(tài)時(shí)，阻尼振動(dòng)趨于零☆85因此，受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)解為受迫振動(dòng)的物體，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間以后，穩(wěn)定地作簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng)的頻率等于策動(dòng)力的頻率。穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)（頻率、振幅、初相）與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)☆86受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)振幅與周期性策動(dòng)力的頻率有關(guān)。對(duì)一定的振動(dòng)系統(tǒng)，改變驅(qū)動(dòng)力的頻率，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率為某一值時(shí)，振幅會(huì)達(dá)到極大值。相應(yīng)的最大振幅為振幅達(dá)到極大值時(shí)，策動(dòng)力的角頻率為☆87當(dāng)策動(dòng)力的頻率時(shí)，受迫振動(dòng)的位移的振幅最大，這個(gè)現(xiàn)象稱為位移共振。在弱阻尼，即的情況下，當(dāng)，即驅(qū)動(dòng)力頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，振幅達(dá)到最大值(位移共振)。☆88對(duì)某給定彈簧振子，當(dāng)策動(dòng)力角頻率由零逐漸增大時(shí)，再繼續(xù)增大，振幅又逐漸減??；當(dāng)很大時(shí)，振幅趨近于零。

受迫振動(dòng)的振幅逐漸增大到某一極大值(振幅共振)；☆89一般地說(shuō)，雖然阻尼不能阻止受迫振動(dòng)發(fā)生，也不能使受迫振動(dòng)振幅逐漸衰減，但是阻尼的存在對(duì)受迫振動(dòng)的振幅起著抑制作用，即阻尼越大，受迫振動(dòng)振幅越小。阻尼對(duì)受迫振動(dòng)的抑制作用特別明顯地表現(xiàn)在共振區(qū)?！?0穩(wěn)態(tài)時(shí)受迫振動(dòng)物體的速度為速度的振幅為相應(yīng)的最大的速度振幅為當(dāng)時(shí)，速度的振幅最大，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率等于系統(tǒng)固有頻率時(shí)，受迫振動(dòng)速度的振幅達(dá)到極大值，這種現(xiàn)象稱速度共振。☆91對(duì)弱阻尼情況，位移共振與速度幾乎共振同時(shí)發(fā)生，兩種共振不加區(qū)分?？梢?jiàn)時(shí)，無(wú)論阻尼情況如何，速度的振幅都達(dá)到最大，即速度共振。即時(shí)，☆92可見(jiàn)，速度共振時(shí)，驅(qū)動(dòng)力與物體的速度同相位，（方向相同，加速度為正）因此驅(qū)動(dòng)力總對(duì)系統(tǒng)做正功，系統(tǒng)從外界得到的能量最多，因此振幅最大。相應(yīng)地，物體的速度為速度共振時(shí)()，☆93共振現(xiàn)象是極為普遍的，在聲、光、無(wú)線電、原子內(nèi)部及工程技術(shù)中都常遇到。共振現(xiàn)象有有利的一面，例如，許多儀器就是利用共振原理設(shè)計(jì)的：收音機(jī)利用電磁共振(電諧振)進(jìn)行選臺(tái)，一些樂(lè)器利用共振來(lái)提高音響效果，核內(nèi)的核磁共振被利用來(lái)進(jìn)行物質(zhì)結(jié)構(gòu)的研究以及醫(yī)療診斷等等。共振也有不利的一面，例如共振時(shí)因?yàn)橄到y(tǒng)振幅過(guò)大會(huì)造成機(jī)器設(shè)備的損壞等。橋梁發(fā)生共振有可能坍塌，

1940年著名的美國(guó)塔科馬海峽大橋斷塌的部分原因就是陣陣大風(fēng)引起的橋的共振?！?4小號(hào)發(fā)出的聲波足以使酒杯破碎95隨后在大風(fēng)中因產(chǎn)生共振而斷塌1940年華盛頓的塔科曼大橋在大風(fēng)中產(chǎn)生振動(dòng)

發(fā)生共振時(shí)由于振幅過(guò)大可能損壞機(jī)器、設(shè)備或建筑。

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由于共振可能引起巨大的損壞，所以在工程技術(shù)中防振和減振是一項(xiàng)十分重要的任務(wù)。

據(jù)報(bào)導(dǎo)，我國(guó)某城市有三棟新建的十一層居民樓經(jīng)常搖晃，引起居民的恐慌。后來(lái)發(fā)現(xiàn)距居民樓800米處有一家鋸石廠，四臺(tái)大功率鋸石機(jī)的工作頻率為，恰好等于居民樓的固有頻率，樓的搖晃原來(lái)是一種共振現(xiàn)象?！?7振動(dòng)波動(dòng)第2次課結(jié)束98振動(dòng)\同方向同頻率諧振動(dòng)合成.swf振動(dòng)\拍的形成.swf振動(dòng)\相互垂直同頻率諧振動(dòng)合成.swf振動(dòng)\相互垂直不同頻率諧振動(dòng)合成.swf振動(dòng)\李薩如圖形.swf動(dòng)畫(huà)演示99§4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成在實(shí)際問(wèn)題中，常會(huì)遇到一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)振動(dòng)的情況。例如，當(dāng)兩個(gè)聲波同時(shí)傳到某點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)處空氣質(zhì)點(diǎn)就將同時(shí)參與兩個(gè)振動(dòng)，這時(shí)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上就是兩個(gè)振動(dòng)的合成。振動(dòng)合成的基本知識(shí)在聲學(xué)、光學(xué)、交流電工學(xué)及無(wú)線電技術(shù)等方面都有著廣泛的應(yīng)用。一同一直線上同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成二同一直線上不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成三互相垂直同頻振動(dòng)的合成四互相垂直不同頻振動(dòng)的合成☆100一同一直線上同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成在任意時(shí)刻合振動(dòng)的位移為合成運(yùn)動(dòng)的合位移仍在這一直線上兩個(gè)在同一直線(軸)上的同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)☆101兩個(gè)在同一直線上的同頻率諧振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)仍為諧振動(dòng)，合成諧振動(dòng)的頻率和原來(lái)諧振動(dòng)頻率相同。合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅不僅與、有關(guān)，而且與原來(lái)兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相差有關(guān)☆102兩分振動(dòng)同相，合成諧振動(dòng)振幅等于原來(lái)兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅之和。這是合成諧振動(dòng)振幅可能達(dá)到的最大值☆103兩分振動(dòng)反相，合成諧振動(dòng)振幅等于原來(lái)兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅之差。這是合成諧振動(dòng)振幅可能達(dá)到的最小值，

如果，兩個(gè)同幅反相的振動(dòng)合成的結(jié)果將使質(zhì)點(diǎn)處于靜止?fàn)顟B(tài)?！?04兩分振動(dòng)為其他值，

合振幅的值在與之間☆105二同一直線上不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成設(shè)兩分振動(dòng)的角頻率分別為與，振幅都是。在一般情形下，我們察覺(jué)不到合振動(dòng)有明顯的周期性。但當(dāng)兩個(gè)分振動(dòng)的頻率都較大而其差很小時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)明顯的周期性。由于二者頻率不同，總會(huì)有機(jī)會(huì)二者同相。我們就從此時(shí)刻開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，因而二者的初相相同。這樣，兩分振動(dòng)的表達(dá)式可分別寫(xiě)成☆106當(dāng)兩個(gè)分振動(dòng)頻率較大而相差很小時(shí)，即，由于合振動(dòng)可看成振幅為，這種振動(dòng)稱為拍。由于振幅周期性改變，振動(dòng)出現(xiàn)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象。角頻率為的近似的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，☆107☆108109振幅變化的頻率稱為拍頻。由于余弦函數(shù)的頻率為，

的頻率是的二倍因此拍頻為☆110振動(dòng)曲線☆111三互相垂直同頻振動(dòng)的合成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)不同方向的振動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的合位移等于兩個(gè)分振動(dòng)位移的矢量和.這就是不同方向振動(dòng)合成的法則。質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)互相垂直的同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)這可以看作為該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)函數(shù)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程（質(zhì)點(diǎn)的合振動(dòng)函數(shù)）為☆112質(zhì)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)軌道被限制在矩形范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌道的具體形式取決于兩個(gè)垂直振動(dòng)的振幅、和初相差。一般為橢圓，特殊情況下，可能是圓或直線?！?13（1）初相差，即兩個(gè)分振動(dòng)同相質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道是一條直線段，直線段（質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道）在Ⅰ、Ⅲ象限直線的斜率為☆114質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道是一條直線段，直線的斜率為（2）初相差，即兩個(gè)分振動(dòng)反相直線段（質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道）在Ⅱ、Ⅳ象限☆115（3）初相差，即分振動(dòng)落后于分振動(dòng)是以坐標(biāo)軸為主軸的橢圓方程，即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓。質(zhì)點(diǎn)沿橢圓順時(shí)針運(yùn)動(dòng)(右旋)☆116附注：

因此，質(zhì)點(diǎn)沿橢圓順時(shí)針運(yùn)動(dòng)☆117（4）初相差，即分振動(dòng)落后于分振動(dòng)是以坐標(biāo)軸為主軸的橢圓方程，即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓。質(zhì)點(diǎn)沿橢圓逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)(左旋)☆118（5）初相差，軌道為圓而且，☆119

=

=3/2=5/4=7/4

=/2=/4P··Q=0yx

=3/4（-3/4）（-/2）（-/4）（6）其他幾種特殊初相差的情況（7）初相差為一般值時(shí)，是主軸不在坐標(biāo)軸上的橢圓☆120四互相垂直不同頻振動(dòng)的合成兩個(gè)頻率不同的互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成比較復(fù)雜，這時(shí)只能根據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道的參數(shù)方程,

了解質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況

兩個(gè)頻率不同的互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀不僅與兩振動(dòng)的頻率比有關(guān)，還與它們的初相和初相差有關(guān)?！?/p>