2018年數學專題03邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞熱點題型和提分秘籍理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14學必求其心得，業(yè)必貴于專精專題03邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞1。了解邏輯聯結詞“或”“且”“非”的含義2．理解全稱量詞與存在量詞的意義3．能正確地對含有一個量詞的命題進行否定熱點題型一含有邏輯聯結詞的命題的真假判斷例1、【2017山東,理3】已知命題p:；命題q：若a＞b，則，下列命題為真命題的是(A）（B）（C）（D）【答案】B【提分秘籍】(1)判斷含有邏輯聯結詞命題真假的步驟①先判斷簡單命題p,q的真假。②再根據真值表判斷含有邏輯聯結詞命題的真假。(2）含邏輯聯結詞命題真假的等價關系①p∨q真?p，q至少一個真?(綈p)∧（綈q)假。②p∨q假?p,q均假?（綈p)∧（綈q)真。③p∧q真?p,q均真?（綈p)∨(綈q）假。④p∧q假?p，q至少一個假?(綈p）∨(綈q）真。⑤綈p真?p假；綈p假?p真。【舉一反三】命題p：函數f(x)＝x3－3x在區(qū)間(－1，1）內單調遞減，命題q:函數f(x)＝｜sin2x|的最小正周期為π，則下列命題為真命題的是()A．p∧qB．(綈p)∨qC．p∨qD．(綈p)∧（綈q）解析:由f′（x）＝3x2－3＜0,解得－1＜x＜1，故函數f(x)＝x3－3x在區(qū)間(－1，1)內單調遞減,即命題p為真命題;函數y＝sin2x的最小正周期為π，則函數f（x)＝|sin2x｜的最小正周期為eq\f(π,2),即命題q為假命題．由于p真、q假,故p∧q為假命題，p∨q為真命題；由于綈p假、q假，故(綈p)∨q為假命題；由于綈p假，綈q真，故（綈p)∧（綈q)為假命題。答案：C熱點題型二全稱命題、特稱命題的真假判斷例2、(1)下列命題中的假命題是（）A．?x∈R，x2≥0B．?x∈R，2x－1＞0C．?x0∈R，lgx0＜1D．?x0∈R，sinx0＋cosx0＝2（2）已知命題p：?x∈R,2x＜3x,命題q：?x0∈R，xeq\o\al（3，0）＝1－xeq\o\al(2，0），則下列命題中為真命題的是（）A．p∧qB．（綈p）∧qC．p∧(綈q)D．（綈p)∧(綈q）答案:（1）D（2）B【提分秘籍】全稱命題與特稱命題真假的判斷方法命題名稱真假判斷方法一判斷方法二全稱命題真所有對象使命題真否定為假假存在一個對象使命題假否定為真特稱命題真存在一個對象使命題真否定為假假所有對象使命題假否定為真【舉一反三】已知a＞0,函數f（x）＝ax2＋bx＋c，若m滿足關于x的方程2ax＋b＝0，則下列選項中的命題為假命題的是（）A．?x0∈R，f(x0)≤f（m）B．?x0∈R，f（x0）≥f(m)C．?x∈R，f（x）≤f(m）D．?x∈R,f(x)≥f(m）解析：因為a＞0，所以函數f（x）＝ax2＋bx＋c在x＝－eq\f（b,2a）處取得最小值，所以f（m)是函數f(x）的最小值。故選C。答案：C熱點題型三含有一個量詞的命題的否定例3．（1)設x∈Z，集合A是奇數集，集合B是偶數集．若命題p：?x∈A,2x∈B，則(）A．綈p：?x0∈A，2x0∈BB．綈p：?x0?A,2x0∈BC．綈p：?x0∈A,2x0?BD．綈p：?x?A，2x?B(2）已知命題p:?x1,x2∈R,(f（x2）－f（x1))(x2－x1)≥0，則綈p是（)A．?x1,x2∈R，(f(x2)－f(x1）)（x2－x1)≤0B．?x1，x2∈R，(f(x2）－f(x1））(x2－x1)≤0C．?x1，x2∈R，(f(x2)－f（x1)）(x2－x1)＜0D．?x1,x2∈R,(f（x2）－f（x1））（x2－x1）＜0答案：(1）C(2）C解析：(1)命題p：?x∈A,2x∈B的否定是綈p：?x0∈A，2x0?B。（2)由于對任意的x1，x2∈R都有（f（x2)－f（x1)）（x2－x1)≥0，要否定這個命題,則只要存在x1，x2∈R,使(f(x2）－f（x1))(x2－x1)≥0不成立即可，即使得（f(x2）－f（x1）)（x2－x1）＜0，故已知命題的否定是“?x1，x2∈R，(f（x2）－f（x1)）(x2－x1)＜0”?！咎岱置丶繉写嬖?全稱)量詞的命題進行否定需兩步操作：（1）將存在(全稱)量詞改寫成全稱(存在)量詞；(2）將結論加以否定．這類問題常見的錯誤是沒有變換量詞，或者對于結論沒有給予否定．有些命題中的量詞不明顯，應注意挖掘其隱含的量詞。【舉一反三】已知命題p:?x0＞1，xeq\o\al（2,0)－1＞0，那么綈p是(）A．?x＞1,x2－1＞0B．?x＞1，x2－1≤0C．?x0＞1,xeq\o\al（2，0）－1≤0D．?x0≤1,xeq\o\al（2,0)－1≤0解析：特稱命題的否定為全稱命題,所以綈p：?x＞1，x2－1≤0，故選B。答案:B熱點題型四由命題真假求參數的取值范圍例4、已知a＞0，設命題p：函數y＝ax在R上單調遞增；命題q：不等式ax2－ax＋1＞0對?x∈R恒成立。若“p∧q”為假,“p∨q"為真，求a的取值范圍。①當p真，q假時，{a|a＞1}∩{a｜a≥4｝＝｛a｜a≥4}。②當p假，q真時，｛a｜0＜a≤1｝∩{a|0＜a＜4}＝{a｜0＜a≤1}.故a的取值范圍是{a|0＜a≤1或a≥4｝?！咎岱置丶拷鉀Q這類問題時，應先根據題目條件，即復合命題的真假情況，推出每一個命題的真假（有時不一定只有一種情況），然后再求出每個命題是真命題時參數的取值范圍，最后根據每個命題的真假情況，求出參數的取值范圍。【舉一反三】已知c＞0，命題p：函數y＝cx在R上單調遞減，q：不等式x＋｜x－2c|＞1的解集為R，p∧q為假,p∨q為真,求c解析：函數y＝cx在R上單調遞減?0＜c＜1.不等式x＋｜x－2c｜＞1的解集為R?函數y＝x＋｜x－2c|在R上恒大于1。∵x＋|x－2c｜＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2c,x≥2c,2c，x＜2c，))∴函數y＝x＋｜x－2c|在R上的最小值為2不等式x＋｜x－2c｜＞1的解集為R?2c＞1?c＞eq\f（1，2）。如果p正確，且q不正確，則0＜c≤eq\f（1，2);如果p不正確，且q正確，則c≥1.∴c的取值范圍為eq\b\lc\（\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f（1，2)））∪[1，＋∞）?！?017山東，理3】已知命題p：;命題q：若a＞b，則，下列命題為真命題的是(A)(B）（C）（D）【答案】B【解析】由時有意義，知p是真命題，由可知q是假命題，即均是真命題，故選B。【2016高考山東理數】已知直線a,b分別在兩個不同的平面α，β內。則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的（）（A)充分不必要條件 （B)必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】直線a與直線b相交,則一定相交,若相交,則a,b可能相交，也可能平行,故選A。【2016高考天津理數】設{an｝是首項為正數的等比數列，公比為q,則“q〈0”是“對任意的正整數n,a2n?1+a2n〈0”的（)（A)充要條件(B）充分而不必要條件（C）必要而不充分條件（D）既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由題意得，,故是必要不充分條件，故選C?！?016高考上海理數】設，則“”是“”的（） 充分非必要條件（B）必要非充分條件（C）充要條件（D）既非充分也非必要條件【答案】A【解析】，所以是充分非必要條件，選A。【2015高考湖北，理5】設，.若p：成等比數列；q：，則（）A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件,但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件【答案】A【2015高考天津，理4】設,則“”是“”的()（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C)充要條件(D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】,或，所以“"是“"的充分不必要條件,故選A.【2015高考重慶,理4】“”是“”的（）A、充要條件B、充分不必要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，因此選B.【2015高考安徽，理3】設,則是成立的(）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件(D)既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，解得,易知，能推出，但不能推出，故是成立的充分不必要條件，選A.【2015高考湖南，理2】.設，是兩個集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C。充要條件D。既不充分也不必要條件【答案】C.【解析】由題意得，，反之,，故為充要條件，選C?！?014·安徽卷】“x＜0"是“l(fā)n(x＋1)＜0"的（)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】ln（x＋1）〈0?0<1＋x〈1?－1〈x〈0,而(－1，0)是（－∞,0）的真子集，所“x〈0"是“l(fā)n(x＋1）<0”的必要不充分條件．【2014·北京卷】設{an}是公比為q的等比數列，則“q>1”是“{an}為遞增數列”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】當a1〈0，q>1時,數列{an}遞減;當a1〈0，數列{an｝遞增時，0<q<1.故選D?！?014·福建卷】直線l:y＝kx＋1與圓O：x2＋y2＝1相交于A,B兩點,則“k＝1”是“△OAB的面積為eq\f（1，2)”的(）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件【答案】A【2014·湖北卷】U為全集，A，B是集合，則“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若存在集合C使得A?C，B??UC，則可以推出A∩B＝?；若A∩B＝?,由維思圖可知，一定存在C＝A，滿足A?C，B??UC,故“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的充要條件．故選C.【2014·陜西卷】原命題為“若z1，z2互為共軛復數，則|z1｜＝｜z2｜”，關于其逆命題,否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（)A．真，假,真B．假，假，真C．真，真，假D．假,假,假【答案】B【解析】設z1＝a＋bi，z2＝a－bi，且a，b∈R，則|z1|＝|z2｜＝eq\r（a2＋b2)，故原命題為真,所以其否命題為假，逆否命題為真．當z1＝2＋i，z2＝－2＋i時，滿足｜z1｜＝|z2｜，此時z1，z2不是共軛復數,故原命題的逆命題為假．【2014·天津卷】設a,b∈R，則“a〉b”是“a｜a|>b|b|"的(）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【答案】C【解析】當ab≥0時，可得a〉b與a｜a|〉b｜b｜等價．當ab〈0時，可得a〉b時a|a｜〉0〉b|b｜；反之,由a｜a|>b｜b|知a〉0>b,即a>b.【2014·浙江卷】已知i是虛數單位，a,b∈R,得“a＝b＝1"是“(a＋bi）2＝2i"的（)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由a，b∈R，（a＋bi）2＝a2－b2＋2abi＝2i,得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（a2－b2＝0，,2ab＝2，）)所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，，b＝1)）或eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（a＝－1，，b＝－1.））故選A?！?014·重慶卷】已知命題p：對任意x∈R，總有2x〉0，q：“x〉1”是“x>2”的充分不必要條件，則下列命題為真命題的是（）A．p∧qB．綈p∧綈qC．綈p∧qD．p∧綈q【答案】D【解析】根據指數函數的圖像可知p為真命題．由于“x>1”是“x>2”的必要不充分條件，所以q為假命題，所以綈q為真命題，所以p∧綈q為真命題．1．設命題p：函數y＝eq\f(1，x)在定義域上為減函數；命題q:?a，b∈(0,＋∞)，當a＋b＝1時,eq\f(1,a)＋eq\f（1，b)＝3.以下說法正確的是()A．p∨q為真 B．p∧q為真C．p真q假 D．p，q均假2．下列命題中正確的是()A．若命題p為真命題，命題q為假命題，則命題“p∧q”為真命題B．“sinα＝eq\f（1,2）”是“α＝eq\f(π,6)"的充分不必要條件C．l為直線，α，β為兩個不同的平面,若l⊥β，α⊥β，則l∥αD．命題“?x∈R，2x>0”的否定是“?x0∈R，2x0≤0"解析:選項A中，命題“p∧q”為假命題；選項B中，“sinα＝eq\f（1，2)”是“α＝eq\f(π,6)”的必要不充分條件;選項C中,直線l可能在平α內；選項D正確．答案：D3．命題p:?x∈［0,＋∞)，(log32)x≤1，則（）A．p是假命題，綈p：?x0∈［0,＋∞），(log32）x0〉1B．p是假命題,綈p：?x∈[0，＋∞)，(log32）x≥1C．p是真命題，綈p:?x0∈[0，＋∞)，（log32)x0〉1D．p是真命題，綈p：?x∈[0,＋∞),（log32）x≥1解析：因為0〈log32<1，所以?x∈[0,＋∞),(log32)x≤1，p是真命題．綈p：?x0∈[0，＋∞），（log32)x0>1.答案：C4．已知命題p：?a∈R，且a>0,a＋eq\f（1,a）≥2，命題q：?x0∈R，sinx0＋cosx0＝eq\r(3)，則下列判斷正確的是(）A．p是假命題 B．q是真命題C．p∧（綈q）是真命題 D．（綈p)∧q是真命題解析：由均值不等式知p為真命題;因為sinx0＋cosx0＝eq\r(2）sin(x0＋eq\f（π，4)）≤eq\r(2），所以q為假命題，則綈q為真命題，所以p∧（綈q)為真命題．故選C。答案：C5．已知命題p：|x－1｜≥2，命題q：x∈Z，若“p且q”與“非q”同時為假命題,則滿足條件的x為（)A．{x|x≥3或x≤－1，x∈Z}B．｛x｜－1≤x≤3，x∈Z｝C．｛0,1,2}D．｛－1,0，1，2,3｝解析：由題意知q真，p假，∴|x－1｜<2.∴－1<x<3且x∈Z.∴x＝0,1,2.答案：C6．若命題p：?x∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(π，2),\f(π，2）)），tanx>sinx,則命題綈p為()A．?x0∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(π，2)，\f（π,2)))，tanx0≥sinx0B．?x0∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π,2），\f（π,2）））,tanx0〉sinx0C．?x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2),\f（π,2））)，tanx0≤sinx0D．?x0∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－∞，－\f(π，2)))∪eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π,2),＋∞）），tanx0〉sinx0解析：“?"改為“?”,并否定結論，所以命題綈p為:?x0∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π，2),\f（π，2))）,tanx0≤sinx0.答案：C7．已知命題p：?x∈R，mx2＋1≤0，命題q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∧q為真命題，則實數m的取值范圍是()A．(－∞，－2) B．[－2，0)C．（－2,0) D．(0,2）8．已知命題p：若a>1，則ax>logax恒成立;命題q:在等差數列{an｝中，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充分不必要條件(m，n,p,q∈N*)．則下面選項中真命題是（)A．（綈p）∧（綈q) B．（綈p)∨（綈q）C．p∨(綈q) D．p∧q解析:當a＝1.1，x＝2時，ax＝1.12＝1.21，logax＝log1。12〉log1.11。21此時,ax〈logax，故p為假命題；命題q,由等差數列的性質，當m＋n＝p＋q時，an＋am＝ap＋aq成立，當公差d＝0時，由am＋an＝ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命題,故綈p是真命題，綈q是假命題，所以p∧q為假命題，p∨（綈q）為假命題，（綈p)∧（綈q)為假命題，（綈p)∨（綈q)為真命題．答案：B9．已知命題“?x∈R,x2＋2ax＋1〈0”是真命題，則實數a的取值范圍是（）A．（－∞，－1） B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪（1，＋∞) D．（－1，1)解析:“?x∈R，x2＋2ax＋1<0”是真命題,即不等式x2＋2ax＋1〈0有解，∴Δ＝（2a)2－4〉0，得a2>1，即a〉1或a答案：C10．已知命題p：?x0∈R，ex0－mx0＝0，q：?x∈R,x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q）為假命題,則實數m的取值范圍是()A．(－∞，0)∪(2，＋∞） B．［0,2]C．R D．?11．下列命題正確的個數是（）①命題“?x0∈R，xeq\o\al（2，0）＋1>3x0”的否定是“?x∈R，x2＋1≤3x”；②“函數f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期為π"是“a＝1”的必要不充分條件；③“x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”?“(x2＋2x）min≥(ax)max在x∈[1，2]上恒成立";④“平面向量a與b的夾角是鈍角”的充分必要條件是“a·b<0"．A．1 B．2C．3 D．4解析：特稱命題的否定為全稱命題，①正確；②中f（x)＝cos2ax，其最小正周期為π時，eq\f（2π,2｜a|)＝π，即a＝±1，②正確；③不正確；④不正確，當a·b<0，a，b的夾角可能為π.答案:B12．已知命題p：?x0∈R,使sinx0＝eq\f（\r（5），2);命題q：?x∈R，都有x2＋x＋1＞0，給出下列結論:①命題“p∧q”是真命題；②命題“p∧(綈q）"是假命題；③命題“(綈p）∨q”是真命題；④命題“（綈p）∨(綈q)"是假命題。其中正確的命題是()A．②③ B．②④C．③④ D．①②③解析∵eq\f(\r（5),2)＞1,∴命題p是假命題.又x2＋x＋1＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（1，2））)2＋eq\f（3，4）≥eq\f（3,4）＞0，∴命題q是真命題，由命題真假的真值表可以判斷②③正確，故選A。答案A13．命題“?x∈R,2x2－3ax＋9<0”為假命題，則實數a的取值范圍為________.解析因題中的命題為假命題，則它的否定“?x∈R,2x2－3ax＋9≥0”為