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文檔簡(jiǎn)介
4.2
向量組的線性相關(guān)性一、向量組的線性組合二、向量組的線性相關(guān)性返回向量組:同維數(shù)的向量所組成的集合.向量組與矩陣:例如向量組稱為矩陣A的列向量組.向量組,,…,稱為矩陣A的行向量組.
反之,由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個(gè)矩陣.一、向量組的線性組合定義1
若存在數(shù)
k1,k2,…,km
使得則稱向量為向量組1,2,…,m的線性組合,或稱可由1,2,…,m線性表出.L(1,2,…,m):1,2,…,m線性組合的全體.例1
零向量是任一向量組的線性組合.例2
向量組1,2,…,m中任一向量都可由這個(gè)向量組線性表出.例3即,任一n維向量均可由線性表出.設(shè)1,2,…,mRn,則L(1,2,…,m)為Rn的一個(gè)子空間——由1,2,…,m生成的子空間.定理1
設(shè)A=(1,2,…,n),則下列命題等價(jià):1o
bL(1,2,…,n);2o
AX=b有解;證
有數(shù)
x1,x2,…,xn
使得bL(1,2,…,n)1o2o:3o
設(shè)R(A)=r,2o3o:AX=b與BX=d同解.所以AX=b有解dr+1=0
R(B,d)=r
例1
將=(1,0,-4)T用1=(0,1,1)T,2=(1,0,1)T,
3
=(1,1,0)T
線性表出.解
定義2(Ⅰ):1,2,…,r
,
(Ⅱ):1,2,…,s
,
若組(Ⅰ)中每一個(gè)向量都可由(Ⅱ)中的向量線性表出,則稱組(Ⅰ)可由(Ⅱ)線性表出.若組(Ⅰ)與組(Ⅱ)可以互相線性表出,則稱組(Ⅰ)與組(Ⅱ)等價(jià).等價(jià)關(guān)系有性質(zhì):(1)反身性:每一向量組都與自身等價(jià);
(2)對(duì)稱性:(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià),則(Ⅱ)與(Ⅰ)等價(jià);
(3)傳遞性:(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià),(Ⅱ)與(Ⅲ)等價(jià),則
(Ⅰ)與(Ⅲ)等價(jià).二、向量組的線性相關(guān)性
定義若存在不全為零的數(shù)x1,x2,…,xm使得
x11+x22+…+xmm=0(*)
則稱1,2,…,m線性相關(guān);否則,稱1,2,…,m線性無(wú)關(guān).
特殊情形:
(1)一個(gè)向量:
線性相關(guān)=0
(線性無(wú)關(guān)0);(2)兩個(gè)向量1,2
:
1,2線性相關(guān)(無(wú)關(guān))它們的對(duì)應(yīng)分量(不)成比例.例1
n維單位向量組線性無(wú)關(guān).證例2
含有零向量的向量組線性相關(guān).證
1
0
+01+…+0m=0定理2
設(shè)有m維向量組1,2,…,n,
A=(1,2,…,n),則下列命題等價(jià):1o
1,2,…,n線性相關(guān);2o
AX=0有非零解;有不全為零的數(shù)
x1,x2,…,xn使1o2o:
1,2,…,n線性相關(guān)證3o
設(shè)R(A)=r,2o3o:AX=0與BX=0
同解.故,AX=0有非零解r<n.BX=0有非零解r<n
推論1
設(shè)有n維向量組1,2,…,n,
A=(1,2,…,n),則下列命題等價(jià):1o
1,2,…,n線性相關(guān);2o
AX=0有非零解;3o
det
A=0.向量個(gè)數(shù)=向量維數(shù):幾何意義:在R2,R3中,1,2線性相關(guān)1//2(或共線).在
R3中,1,2,3線性相關(guān)1,2,3共面.推論2
向量個(gè)數(shù)>向量維數(shù)的向量組必線性相關(guān).證設(shè)A=(1,2,…,n)
m×n,
n>m,則R(A)≤m<n,所以
1,2,…,n
線性相關(guān).在Rn中,任n+1個(gè)向量必線性相關(guān).例3
判斷向量組1=(0,1,1),2=(1,0,1),3
=(1,1,0)的線性相關(guān)性:解1
所以,1,2,3線性無(wú)關(guān).解2
R(A)=3,所以,1,2,3線性無(wú)關(guān).例4
設(shè)1,2,3線性無(wú)關(guān),證1=1+2,2=2+3,3=3+1線性無(wú)關(guān).證設(shè)x1
1+x22+x33=0,即
x1(1+2)+x2(2+3)+x3(3+1)=0.即
(x1+x3)1+(x1+x2)2+
(x2+x3)3=0.因?yàn)?,2,3線性無(wú)關(guān),所以只有所以(*)只有零解.故1,2,3
線性無(wú)關(guān).線性相關(guān)性的基本定理
定理3
若1,2,…,m線性相關(guān),則1,2,…,m,m+1
,…,n線性相關(guān).
證
由1,2,…,m線性相關(guān),知有不全為零的數(shù)x1,x2,…,
xn使
x11+x22+…+xmm=0.
x11+x22+…+
xmm+0m+1+…+0n=0.
x1,x2,…,
xm,0,…,0
不全為零,故1,2,…,n線性相關(guān).“部分相關(guān),則整體相關(guān).”“整體無(wú)關(guān),則部分無(wú)關(guān).”性質(zhì)若向量組
線性無(wú)關(guān),則向量組
也線性無(wú)關(guān)
.也線性相關(guān).反之,若向量組
線性相關(guān),則向量組的縮短組.向量組
常稱為向量組
的延伸組;注:稱為而
定理4
1,2,…,m(m≥2)線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個(gè)向量可由其余m-1個(gè)向量線性表出.
證充分性不妨設(shè)1可由2,…,m線性表出,即有數(shù)
x2,…,
xm
使得
因-1,x2,…,
xm不全為零,故1,2,…,m線性相關(guān).
必要性有不全為零的數(shù)k1,k2,…,
km使
k11+k22+…+kmm=0.1可由2,…,m線性表出.因k1,k2,…,km不全為零,不妨設(shè)k1≠0,則即“1,2,…,m線性無(wú)關(guān)其中任一向量都不能由其余向量線性表出.”
定理5
若1,2,…,m線性無(wú)關(guān),1,2,…,m,線性相關(guān),則可由1,2,…,m
線性表出,且表式惟一.有不全為零的數(shù)k1,k2,…,km,k
使
k11+k22+…+kmm+k=0.若k=0,則
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