第2章 平面力系

靜力學(xué)篇

2-3

平面任意力系的簡化1、力的平移定理

動畫①力線平移定理揭示了力與力偶的關(guān)系：力力+力偶說明：②力平移的條件是附加一個力偶m，且m與d有關(guān)，m=F?d③力線平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ)。1、力的平移定理力線平移實例2、力系向任一點的簡化力線平移實例2、力系向任一點的簡化2、力系向任一點的簡化（移動效應(yīng)）（轉(zhuǎn)動效應(yīng)）主矢和合力是兩個不同的概念2、力系向任一點的簡化固定端（插入端）約束在工程中常見的雨搭車刀2、力系向任一點的簡化

動畫固定端約束實例

動畫固定端約束實例

動畫固定端約束受力的簡化簡化結(jié)果：主矢FR’

，主矩MO

，下面分別討論。

②

FR’

=0,MO≠0即簡化結(jié)果為一合力偶,M=MO

。此時簡化結(jié)果與簡化中心O選取無關(guān)。①FR’=0，MO

=0，則力系平衡,下節(jié)專門討論。③FR’

≠0,MO

=0,即簡化為一個作用于簡化中心的合力。這時，簡化結(jié)果就是合力（這個力系的合力）,FR=FR’

。（此時與簡化中心有關(guān)，換個簡化中心，主矩不為零）2、力系向任一點的簡化MOOOdO’OdO’合力

的大小、方向等于原力系的主矢合力

的作用線位置由d

的值確定④

FR’≠0，MO

≠0，為最一般的情況。此種情況還可以繼續(xù)簡化為一個合力

。2、力系向任一點的簡化結(jié)論：平面任意力系的簡化結(jié)果

：①合力偶MO

；②合力FR

由于主矩（由于簡化中心是任意選取的，故此式有普遍意義。）即：平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點之矩等于力系中各力對于同一點之矩的代數(shù)和。而合力對O點的矩———合力矩定理2、力系向任一點的簡化

重力壩受力情況如圖所示。設(shè)G1=450kN，G2=200kN，F(xiàn)1=300kN，F(xiàn)2=70kN。求力系的合力FR的大小,合力與基線OA的交點到O點的距離x，以及合力作用線方程。(p43)

例題平面力系9m3m1.5m3.9m5.7m3mxyABCOF1G1G2F21.求力系的合力FR的大小和方向余弦。

將力系向O點簡化，得主矢和主矩，如右圖所示。主矢的投影解：AOCMO9m3m1.5m3.9m5.7m3mxyABCOF1G1G2F2例題平面力系2.求合力與基線OA的交點到O點的距離x0。所以由合力矩定理得其中故解得因為力系對O點的主矩為AOCMOAOCx0

設(shè)合力作用線上任一點的坐標(biāo)為（x，y)，將合力作用于此點，則3.求合力作用線方程。可得合力作用線方程即例題平面力系A(chǔ)OCx0x,y靜力學(xué)篇

2-4

平面任意力系的平衡條件和平衡方程

由于FR’=0

，為力平衡

MO=0為力偶平衡所以平面任意力系平衡的充要條件為：

力系的主矢FR’

和主矩MO都等于零，即：2-4平面任意力系的平衡條件與平衡方程（條件：x軸不

AB連線）(條件：A、B、C

不在同一直線上)上式有三個獨立方程，只能求出三個未知數(shù)。①一矩式①二矩式①三矩式2-4平面任意力系的平衡條件與平衡方程已知桿AC=CB；桿DC與水平線成45o角；載荷F=10kN，作用于B處。設(shè)梁和桿的重量忽略不計，求鉸鏈A的約束力和桿DC所受的力。例題平面力系A(chǔ)BDCF

1.取AB桿為研究對象，受力分析如圖。ABDCFFFCFAyFAxllABC

2.列寫平衡方程。解：例題平面力系3.求解平衡方程可得若將力FAx和FAy合成，得FFCFAyFAxllABC例題平面力系

起重機重G1=10kN，可繞鉛直軸AB轉(zhuǎn)動；起重機的掛鉤上掛一重為G2=40kN的重物。起重機的重心C到轉(zhuǎn)動軸的距離為1.5m，其它尺寸如圖所示，求在止推軸承A和軸承B處的約束力。例題平面力系A(chǔ)BC3.5m1.5m5mG1G2P45xyG2ABC3.5m1.5m5mG1

1.取起重機為研究對象；2.畫受力圖；4.列平衡方程；5.解平衡方程，得FBFAyFAx解：3.選Axy坐標(biāo)系；例題平面力系

梁長為4a，梁重G，作用在梁的中點C。在梁的AC段上受均布載荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M=Ga。試求A和B處的支座約束力。(p46)

xyABqC2a4aGM例題平面力系

1.取AB梁為研究對象；

4.列平衡方程:5.解方程，得ABC4a2axyqGMFBFAyFAx2.畫受力圖；解：3.選坐標(biāo)系A(chǔ)xy；例題平面力系

自重為G=100kN的T字形剛架ABD，置于鉛垂面內(nèi)，載荷如圖所示，其中M=20kN·m，F(xiàn)=400kN，q=20kN/m，l=1m。試求固定端A的約束力。(p47)qMl

l3lFDBAG例題平面力系1.取剛架為研究對象；yx解：qMl

l3lFDBAG2.畫受力圖；l

llF1MADBAMFGFAxFAy3.選Axy坐標(biāo)系；例題平面力系2.按圖示坐標(biāo)，列寫平衡方程。3.聯(lián)立求解。yxl

llF1MADBAMFGFAxFAy例題平面力系（條件：x軸不

AB連線）(條件：A、B、C

不在同一直線上)上式有三個獨立方程，只能求出三個未知數(shù)。①一矩式①二矩式①三矩式2-4平面任意力系的平衡條件與平衡方程平面平行力系的平衡方程為：

二矩式條件：AB連線不能平行于力的作用線

一矩式

一種車載式起重機，車重G1=26kN，起重機伸臂重G2=4.5kN，起重機的旋轉(zhuǎn)與固定部分共重G3

=31kN。尺寸如圖所示。設(shè)伸臂在起重機對稱面內(nèi)，且放在圖示位置，試求車子不致翻倒的最大起吊重量Gmax(p67)。G2FAG1G3GFBAB3.0m2.5m1.8m2.0m例題平面平行力系

1.取汽車及起重機為研究對象，受力分析如圖。2.列平衡方程。解：GG2FAG1G3FBAB3.0m2.5m1.8m2.0m例題平面平行力系4.不翻倒的條件是：FA≥0，

所以由上式可得故最大起吊重量為Gmax=7.5kN3.聯(lián)立求解。

G2FAG1G3FBAB3.0m2.5m1.8m2.0mGG≤例題平面平行力系

塔式起重機如圖所示。機架重G1=700kN，作用線通過塔架的中心。最大起重量G2=200kN，最大懸臂長為12m，軌道AB的間距為4m。平衡荷重G3到機身中心線距離為6m。試問：例題平面平行力系A(chǔ)B2m2m6m12mG1G2G3P68(1)保證起重機在滿載和空載時都不翻倒，求平衡荷重G3應(yīng)為多少?(2)當(dāng)平衡荷重G3=180kN時，求滿載時軌道A，B給起重機輪子的約束力？1.起重機不翻倒。滿載時不繞B點翻倒，臨界情況下FA=0，可得

空載時，G2=0，不繞A點翻倒，臨界情況下FB=0，可得

取塔式起重機為研究對象，受力分析如圖所示。則有

75kN＜G3＜350kN解：例題平面平行力系A(chǔ)B2m2m6m12mG1G2G32.取G3=180kN，求滿載時軌道A，

B給起重機輪子的約束力。列平衡方程解方程得AB2m2m6m12mG1G2G3例題平面平行力系2-5靜定與靜不定問題的概念物體系統(tǒng)的平衡一、靜定與靜不定問題的概念力偶系平面任意力系當(dāng)：獨立方程數(shù)目≥未知數(shù)數(shù)目時，是靜定問題（可求解）獨立方程數(shù)目<未知數(shù)數(shù)目時，是靜不定問題（超靜定問題）兩個獨立方程，只能求兩個獨立未知數(shù)。平面匯交力系一個獨立方程，只能求一個獨立未知數(shù)。三個獨立方程，只能求三個獨立未知數(shù)。[例]

靜不定問題材力,結(jié)力,彈力中用位移協(xié)調(diào)條件來求解。靜定（未知數(shù)三個）靜不定（未知數(shù)四個）2-5靜定與靜不定問題的概念物體系統(tǒng)的平衡二、物系的平衡問題[例]外力：外界物體作用于系統(tǒng)上的力叫外力。內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力叫內(nèi)力。物體系統(tǒng)（物系）：由若干個物體通過約束所組成的系統(tǒng)。物系平衡的特點：①物系靜止②物系中每個單體也是平衡的。每個單體可列3個平衡方程，整個系統(tǒng)可列3n個方程

（設(shè)物系中有n個物體）解物系問題的一般方法：

由整體局部（常用），由局部整體（用較少）二、物系的平衡問題

三鉸拱橋如圖所示，由左右兩段借鉸鏈C連接起來，又用鉸鏈A，B與基礎(chǔ)相連接。已知每段重G

=40kN，重心分別在D，E處，且橋面受一集中載荷F

=10kN。設(shè)各鉸鏈都是光滑的，試求平衡時，各鉸鏈中的力。尺寸如圖所示。例題平面任意力系A(chǔ)BCDEGF3mG1m6m6m6mAC1.取AC段為研究對象。解：2.畫受力圖。DFCxGFAxFAyFCy例題平面任意力系A(chǔ)BCDEGF3mG1m6m6m6m3.列平衡方程。4.再取BC段為研究對象，受力分析如圖。ACDFCxGFAxFAyFCyGF’CxFBxFByCEBFF’Cy例題平面任意力系6.聯(lián)立求解。

FAx=-FBx

=

FCx

=9.2kN

FAy=42.5kN，F(xiàn)By=47.5kN，F(xiàn)Cy=2.5kN5.列平衡方程。GF’CxFBxFByCEBPF’CyF例題平面任意力系

組合梁AC和CE用鉸鏈C相連，A端為固定端，E端為活動鉸鏈支座。受力如圖所示。已知：l=8m，F(xiàn)=5kN，均布載荷集度q=2.5kN/m，力偶矩的大小M=5kN?m，試求固端A，鉸鏈C和支座E的約束力。例題平面任意力系l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/4CE1.取CE段為研究對象。解：2.受力分析如圖。

4.聯(lián)立求解。

FE=2.5kN，F(xiàn)C=2.5kN3.列平衡方程。例題平面任意力系l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/4F1M3l/8Hl/8FCFE6.列平衡方程。7.聯(lián)立求解。

FA=15kN，MA=－2.5kN.mMAF2l/4IAFCHl/8l/8FA5.取AC段為研究對象，受力分析如圖。例題平面任意力系

A，B，C，D處均為光滑鉸鏈，物塊重為G，通過繩子繞過滑輪水平地連接于桿AB的E點，各構(gòu)件自重不計，試求B處的約束力。

例題平面任意力系FAyFAxFCxFCyGFBxFAyFAxFByFE解:1.取整體為研究對象。2.受力分析如圖。3.列平衡方程。4.取桿AB為研究對象，受力分析如圖。列平衡方程聯(lián)立求解可得例題平面任意力系解得

齒輪傳動機構(gòu)如圖所示。齒輪Ⅰ的半徑為r，自重G1。齒輪Ⅱ的半徑為R=2r，其上固定一半徑為r的塔輪Ⅲ，輪Ⅱ與Ⅲ共重為G2=2G1。齒輪壓力角為α=20°

被提升的物體C重為G=20G1。求：（1）保持物C勻速上升時，作用于輪上力偶的矩M；（2）光滑軸承A，B的約束力。ABrrRMCⅠⅡⅢGG1G2例題平面任意力系CBKGFBxFByFFnG2

1.取Ⅱ，Ⅲ輪及重物為研究對象，受力分析如圖所示。解方程得ABrrRMCⅠⅡⅢGG1G2列平衡方程解：例題平面任意力系A(chǔ)KMG1FAxFAy

2.再取Ⅰ輪為研究對象，受力分析如圖所示。解方程得列平衡方程例題平面任意力系A(chǔ)BrrRMCⅠⅡⅢGG1G256

作業(yè)：

2－10

2－12

2－13

2－1557

作業(yè)：

2－19

2－20(b)

2－27

2－38

如圖所示，已知重力G，DC=CE=AC=CB=2l；定滑輪半徑為R，動滑輪半徑為r，且R=2r=l,θ=45°

。試求：1、BD桿所受的力，2、C處約束反力，3、銷釘B給AB桿的力。例題平面任意力系DⅡKCABEⅠGDⅡKCABEⅠ

一.選取整體研究對象，受力分析如圖所示。列平衡方程解平衡方程FAGFExFEy解：例題平面任意力系

二.選取DEC研究為對象，受力分析如圖所示。ECKD列平衡方程解FKFEyFEx例題平面任意力系DⅡKCABEⅠGACBFAFCyFCxFBxFBy

三.選取AB桿為研究對象，受力分析如圖所示。工程中的桁架結(jié)構(gòu)2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析工程中的桁架結(jié)構(gòu)2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析桁架：由桿組成，用鉸聯(lián)接，受力不變形的系統(tǒng)。節(jié)點桿件2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析桁架的實際節(jié)點焊接或鉚接，桿的端點不能轉(zhuǎn)動，可承受力矩。理想節(jié)點光滑鉸鏈，不能承受力矩2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析(a)桁架的優(yōu)點：輕，充分發(fā)揮材料性能。桁架的特點：①直桿，不計自重，均為二力桿；②桿端鉸接；③外力作用在節(jié)點上。力學(xué)中的桁架模型(基本三角形)

三角形有穩(wěn)定性(b)(c)2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析節(jié)點法：以顯露出兩個未知力為宜。截面法：以顯露出三個未知力為宜。內(nèi)力方向都設(shè)為背離節(jié)點(設(shè)為受拉）！求平面桁架各桿內(nèi)力的方法2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析

平面桁架的尺寸和支座如圖所示。在節(jié)點D處受一集中載荷F=10kN的作用。試求桁架各桿件所受的內(nèi)力(p59)。ABC2m2m12345FD2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析1.求支座約束力。列平衡方程解方程可得

以整體為研究對象，受力分析如圖所示。節(jié)點法解：ABC2m2m12345FAyFByFBxFD2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析2.取節(jié)點A為研究對象，受力分析如圖。F2F1FAyA列平衡方程解方程可得ABC2m2m12345FD2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析F3F4C3.取節(jié)點C為研究對象，受力分析如圖。列平衡方程解方程可得ABC2m2m12345FD2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析4.取節(jié)點D為研究對象。列平衡方程解方程可得DF5FABC2m2m12345FD2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析

如圖所示平面桁架，各桿件的長度都等于1m。在節(jié)點E上作用載荷FE=10kN，在節(jié)點G上作用載荷FG=7kN,FF=5kN。試計算桿1，2和3的內(nèi)力（p60)。2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析xyABCDEFGFEFG123FF

1.先求桁架的支座約束力。列平衡方程解方程求得截面法

取桁架整體為研究對象，受力分析如圖。解：xyABCDEFG123FByFAxFEFGFAy2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析FF2.

求桿1，2和3的內(nèi)力。列平衡方程解方程求得

用截面m-m將三桿截斷，選取左段為研究對象。yACDExFAxFAyF1F2FEF32-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析mmxyABCDEFGFByFAxFEFGFAy123FF

平面桁架如圖所示。設(shè)兩主動力大小都為F=10kN，作用在節(jié)點A和節(jié)點B上，a=1.5m，h=3m。求1，2，3和4各桿受的內(nèi)力。

aaahABαα1234FF2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析1.選取節(jié)點A為研究對象，受力分析如圖所示。解方程得解：列平衡方程其中FF1F2AyxaaahABαα1234FF2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析2.選取節(jié)點B為研究對象，受力分析如圖。解方程得列平衡方程BFF3F4F'2yxaaahABαα1234FF2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析

如圖平面桁架，求各桿內(nèi)力。已知鉛垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。aaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx解：節(jié)點法

1.取整體為研究對象,受力分析如圖。aaaaFCACDBEFFE2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析3.列平衡方程。4.聯(lián)立求解。

FAx=－2kNFAy=2kN

FB=2kNaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析5.取節(jié)點A，受力分析如圖。解得FAxFAyAFACFAF列平衡方程6.取節(jié)點F，受力分析如圖。FFEFFAFFCF解得列平衡方程2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析FCFFCAFCCFCDFCE7.取節(jié)點C，受力分析如圖。列平衡方程解得FDEFDCDFDB8.取節(jié)點D，受力分析如圖。列平衡方程解得2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析FBBFBDFBE9.取節(jié)點B，受力分析如圖。解得列平衡方程aaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析

如圖平面桁架，求FE，CE，CD桿內(nèi)力。已知鉛垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。截面法解：1.取整體為研究對象，受力分析如圖。aaaaFCABDCEFFEFAyFBFAxaaaaFCACDBEFFE2-6

平面簡單桁架的內(nèi)力分析3.列平衡方程。4.聯(lián)立求解。

FAx=－2kNFAy=2kN

FB=2kNaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx2-6