2020-2021上海中考數(shù)學壓軸題專題復習-相似的綜合

海中考數(shù)學壓軸題專題復習——相似的綜合一、相1．已知直線與物線（＞）交A、兩點（點A在B的左側），與y軸正半軸相交于點C，點A作x軸，垂足為D．（）若AOB=60°，軸AB=2求a的值；（）若AOB=90°，的橫坐標為4，，點B的標；（）長、相交于點E，證DE=CO．【答案】（）：如圖1，拋線y=ax

的對稱軸是y軸，且ABx軸A與B是稱點O是拋物線的頂點，OA=OBAOB=60°，AOB是邊三角形，，AB，AC=BC=1，，，A（，把（-1，

），）代入拋物線2（＞）得：a=

；（）：如圖2，過B作x軸，過作BE交BE延線于點，交軸F，

BG，

，AC=4BC，

=4，AF=4FG，A的橫坐標為，B的坐標為1，A（，16a）B（，）AOB=90°，BOE=90°，DAO=90°，BOE=，OEB=90°，

，，16a，a=±，＞，；B（，）；（）：如圖，

設AC=nBC，由（）理知的橫坐標是B的坐標的n倍則設（，2），則（-mn，2）2

，過作x軸于F，DEBF，BOF△，

，，，DE=am，，AE△，DE=CO．

，=am

，n【解析】【分析】（）物線y=ax2

關于y軸對稱，根據(jù)x軸得出A與B是稱點，可知AC=BC=1，由，可證得AOB是等邊三角形，利用解直角三形求出OC的長，就可得出點A的坐標，利用待定系數(shù)法就可求出的值。（）作BEx軸，過A作，BE延長線于點G，軸于F，根據(jù)平行線分線段成比例證出，據(jù)點A的橫坐標為4，求出點的坐標為，（416a），B（1，），再根據(jù)已知證明BOE=DAO，ADO=OEB，就可證明ADO△，出對應邊成比例，建立關于的方程求解，再根據(jù)點B在第一象限，

確定點的標即可。（）據(jù)2）知A的坐標是B的橫坐標的n倍則設B（，2），則（，n），得出AD的，再證明BOFEODeq\o\ac(△,)BCOBAE，得對應邊成比例證得2，就可證得DE=CO。2．如圖，在矩形中，，、F分是、的點，連接，點P從E出，沿方勻速運動，速度1cm/s，時，點Q從D出發(fā)，沿DB方向勻速運動，速度為，當點P停運動時，點也止運動．連接PQ，運動時間為（＜4），答列問題：（）證eq\o\ac(△,)；（）點在線段DF上動時，eq\o\ac(△,)的面積為（）為值時eq\o\ac(△,)PQF為等腰三角形？試說明理由．【答案】（）：四形是矩形，

，求t的值；在

BC，中，

別是

的中點，AD，（）：如圖，點Q作

EFBC于，QMBE，

（舍）或

秒（）：當點在DF上時，如圖2，

.當點在BF上時，

，如圖3，時，如圖4，時，如圖5，綜上所述，或3或

或

秒時eq\o\ac(△,，)是等腰角形

【解析】【分析】（）據(jù)題中的已知條件可eq\o\ac(△,)BEF和中兩角對應相等，從而可eq\o\ac(△,)BEF△；（）點作QMEF于M，根據(jù)相似三角形的預備定理可QMF；eq\o\ac(△,)QMBEF可用含t的數(shù)式表示出QM的；最后代入三角形的面積公式即可求出t的值。3）題意應分兩種情況：）當點Q在DF上，因為PFQ為角，所以只有=QF。2）點Q在上時，因為沒有指明腰和底，所以有PF=QF；PQ；=三種情況，因此所求的t值四種結果。3．如圖，在eq\o\ac(△,)中，，，點D、分是邊、的點，連接，eq\o\ac(△,)繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．（）題發(fā)現(xiàn)①當α=0°時（）展探究

=________；當時

．試判斷：當0°α＜360°時（）題解決

的大小有無變化？請僅就圖2的形給出證明．eq\o\ac(△,)旋至A，E三點共線時，直接寫出線段的長．【答案】（）；（）：如圖，當0°≤＜時，ECA=，又DCB，

，的大小沒有變化，，

（）：如圖，

，，，AD，AD=AD=BC，，，四形是形，BD=AC=

．②如4，連接BD，過點D作的線交AC于，點作AC的垂線交于P，

，，，，AD=點D、分別是邊BC、的點，

，AE=AD-DE=8-2=6，由（）可，

=2，BD=

．綜上所述，的長為

或．【解析】【解答】（①當α=0°，eq\o\ac(△,Rt)中B=90°，

，

點D、分別是邊BC、的點，②如1，

，．，當時，可得，

，【分析】（）當α=0°時，eq\o\ac(△,)ABC中，根據(jù)勾股定理算出AC的長，根據(jù)中點的定義得出AE,BD的，從而得出答案②圖1，α=180°時根平行線分線段成比例定理得出AE=BCBD,再據(jù)比例的性質(zhì)得出AEBD=AC從而得出答案。（）0°≤α時B的小沒有變化，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ECD=，而得出ECA=DCB，根據(jù)DC=ACBC=,根兩邊對應成比例，及夾角相等的三角形相似得eq\o\ac(△,)ECA△DCB，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出AEDC=

;（）如圖，在eq\o\ac(△,)中根據(jù)勾股定理得出AD的長，根據(jù)兩組對邊分別相等，且有一個角是直角的四邊形是矩形得出四邊形

是形，根據(jù)矩形對角線相等得出BD=AC=

；如，連接，點作AC的垂線交AC于Q，點作的線交AC于點P，eq\o\ac(△,)ADC中利用勾股定理得出AD的，根據(jù)中點的定義得出DE的長，根據(jù)AE=AD-DE算的長，由2）可得AEBD=,從得出的度。4．如圖，eq\o\ac(△,)中，，，是BC上個動點，連接AD，AD為邊向右側作等腰直eq\o\ac(△,)，中．

（如圖，G，H分別邊AB，BC的中點，連接，AH，EH．求：AGDAHE（）圖3，接BE直接寫出當BD為何值時eq\o\ac(△,)ABE是等腰三角形；（）點從B向點C運動過程中，eq\o\ac(△,)ABE周的最小值．【答案】（）明：如圖，由題意eq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)ADE都是等腰直角三角形，B=．H為中，AHBCBAH=45°=．HAE．在等腰直eq\o\ac(△,)和腰直eq\o\ac(△,)DAE中＝

＝，

AG，AE＝

AD．AGD△；（）：分三情況①當B與D重時，即，如圖3，時AB=BE；②當AB=AE時如圖4此時E與C重，

D是BC的中點，BD=BC=2

；③當時，如圖5，過E作EHAB于，交BC于M，接AM，E作BC于G，接DH，AE=BE，EHAB，，，AMBC，BMH是腰直角三角形，AD=DE，，易eq\o\ac(△,)ADM，，BMH=45°，EMG是腰直角三角形，MG，由（）eq\o\ac(△,)△，且

，AHD=AME=135°，，，BDH是腰直角三角形，

DH，；綜上所述，當BD=0或

或

時eq\o\ac(△,)ABE是等腰三角形；（）：當點D與B重合時，點E的位置記為點M連接CM如圖6，

此時，ABM=BAC=90°，AMB=BAM=45°，BM=AB=AC．四形ABMC是方形．，AMC=BMC-，BAM=，BAD=MAE，在等腰直eq\o\ac(△,)BAM和腰直eq\o\ac(△,)DAE中AM＝

，＝．

．△AME．AME=ABD=45°點在射線上作點關于直線MC的對稱點，接AN交MC于′′+AE′=BE′+AE，ABE就所求周長最小eq\o\ac(△,)ABE．在eq\o\ac(△,)中，，AN．ABE周長最小值為AB+AN＝

．【解析】【析】（1）由等腰直角三角形

的性質(zhì)可得B=BAH=45°，以HAE，算可得例式：

，根據(jù)有兩對邊對應相等，且它們的夾角也相等的兩個三角形相似可eq\o\ac(△,)△；（）據(jù)等腰角形的定義可知分3種況討論①與D重合時，即BD=0，時AB=BE②當AB=AE時此時E與C重合，用勾股定理可求得BD的；

③當時過作EHAB于H，BC于，連接AM，過作于G，接DH，由已知條件和）的結論可求解；（）點D與重合時，點的置記為點，連接CM作點B關直線的稱點，接AN交MC于，由已知條件易證四邊形是方形，由已知條件通過計算易得比例式：

,據(jù)有兩對邊對應相等，且它們的夾角也相等的兩個三角形相似可eq\o\ac(△,)ABD△則AME=ABD=45°，于是可得點E在線MC上，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可eq\o\ac(△,)就所求周長最小eq\o\ac(△,)ABE，在eq\o\ac(△,)中，用勾股理即可求得AN的，eq\o\ac(△,)周長最小=即求解。5．如圖，已知拋物線y＝﹣2＋＋交y軸點（）交軸于點B（）點是拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線，點作AQPQ于Q，接AP．（）空：拋線的解析式_，的標_______；（）P在拋物線上運動，eq\o\ac(△,)AQPAOC，求點P的坐.【答案】（）＝﹣23x＋；－）（）：點A的坐標為（，），點C的標為（1，）點的橫坐標為m，（，﹣＋＋）①當在線AQ下時－（﹣23m）＝－，

．eq\o\ac(△,)AOC得

，即：

，

（舍去）或

．當

時，﹣2＋＋＝，時點P的坐標為（

）；②當在線AQ上時＝﹣2＋3m4－＝2＋，

eq\o\ac(△,)AOC得，：，＝（去）或＝，此時點坐標為（

）．綜上所述：點P的坐標為（

）或（）．【解析】【解答】解：（）拋線＝x＋bx＋交軸于點A（04），交x軸點B（，）

，解得：

，拋線的解析式為：＝﹣x2＋＋．令，：﹣2＋3x4=0，解得：或－，點C的坐標為（－，）．【分析】（）據(jù)題意，將A,B兩的坐標代入到解析式中，分別求出b，，可以求出拋物線的解析式；（）為x軸的交點，令，過解一元二次方程，解得C點標。6．已知eq\o\ac(△,)中，ABC=90°AB=3，BC=4.點Q是段上一個動點，過點Q作的線交線段（如圖）或線段的延長線（如圖）于點（）點P在線段AB上，求證eq\o\ac(△,)△ABC；（）eq\o\ac(△,)為腰三角形時求AP的.【答案】（）證明A+APQ=90°，A+C=90°，C.eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)ABC中APQ=C，A=，APQABC.（）：在eq\o\ac(△,)中，，，勾股定理得：為鈍角eq\o\ac(△,)PQB為腰三角形時，只可能是PB=PQ.（）點在線段AB上，如題圖所，由（）知eq\o\ac(△,)ABC，

，即，解得：.

.

121121（）點在段的長線上時，如題圖所,，BQP=BQP+AQB=90°，A+P=90°AQB=。BQ=AB。，B為線段AB中點。AP=2AB=2×3=6.綜上所述，eq\o\ac(△,)為等腰三角形時AP的為或6.【解析】【分析】（）兩對角相等（，），證明△。（）PQB為腰三角形時，有種情況，需要分類討論.（）點P在段AB上時，如題圖所由角形相似eq\o\ac(△,)△ABC）關系計算的；（）當點在段AB的延長線上時，如題圖2所示利用角之間的關系，證明點B為段的中點，從而可以求出7．在數(shù)學興趣小組活動中，小亮進行學探究活動eq\o\ac(△,)是長為的邊三角形E是AC上一點，小亮以BE為向BE的右側作等邊三角形BEF連接CF（）圖1當點E在段上EF、相于點D，小亮發(fā)現(xiàn)有兩個三角形全等，請你找出來，并證明；（）點E在段AC上動時，點F也隨著運動，若四邊形ABFC的積為

，求的長；（）圖2，點E在AC的長線上運動時CF、相交于點D，你探eq\o\ac(△,)的積與DBF的面積S之的數(shù)量關系，并說明理由；（）圖2，eq\o\ac(△,)的積＝

時，求AE的．【答案】（）：現(xiàn)點E沿AC從A向點運過程中，始終eq\o\ac(△,)ABECBF.由圖知eq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)EBF都等邊三角形AB=CB，，，ABE=60°-，ABEeq\o\ac(△,)CBF.（）：由（）知點E在運動過程中始終eq\o\ac(△,)ABEeq\o\ac(△,)，因四邊形BECF的積等于三角形BCF的面積與三角形BCE的面積之和，四邊形BECF的積等ABC的面積，因的邊長為2，則，

四形BECF的積為

，又四邊形ABFC的積是，（）：

，在三角形ABE中A=60°邊AB上的高為AEsin60°,，則AE=..由圖知eq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)EBF都等邊三角形AB=CB，，，又ABE=60°+，ABEeq\o\ac(△,)，

，

，則（）：由（）知由得

，則，即，eq\o\ac(△,)CBF，

，AE=CFBAE=BCF=60°又BAE=ABC=60°得，CF，eq\o\ac(△,)BDF的CF上的高eq\o\ac(△,)的相等，即為，則，CE=x，CD=x-，eq\o\ac(△,)中，由CDAB得

，即，化簡得

，x=1或?（），即，AE=3.【解析】【分】（1）難現(xiàn)eq\o\ac(△,)CBF，等邊三形的性質(zhì)得到相應的條件，根據(jù)SAS判三角形全等；（）（）得eq\o\ac(△,)則

，則四邊形ABFC=

=

，由四邊形ABFC的面積為

和等邊三角形ABC的長為2可求eq\o\ac(△,)的面積，由底AB×AEsin60°構造方程可解出AE.（3）E在AC的延長線上時，eq\o\ac(△,)CBF依然成立，則，即（）由（）可求出FBD

由等量關系即可得答案.的面積，由ABEeq\o\ac(△,)CBF，則AE=CF，BAE=BCF=60°=ABC，則eq\o\ac(△,)BDF的上高等eq\o\ac(△,)ABC的，則可求出DF的度；由AE=CF，設CE=x，可，代入相關值解出x即.

8如圖，已知拋物線

過點

和B

，過點A作直線AC//x軸交y軸與點。（）拋物線解析式；（）拋物線取一點P，過點P作線AC的垂線，垂足為D，接OA，得以A，，為點三角形eq\o\ac(△,)AOC相，求出對應點P的標；（）物線上是否在點使得在，請說明理由?！敬鸢浮浚ǎ狐c、在物線上，

?若在，求出點的坐標；若不存

，解得：拋線解析式為x

-

（）P在直線AD上時，設坐標為x

），則有AD=x-

，PD=

，eq\o\ac(△,)OCA△時即

，，整理得3x-9

x+18=2

，3x2-11，解得：

，

即x=此時（

或x=

（舍去））；eq\o\ac(△,)OCA△PDA時，

，即

，整理得：解得：

，即x=4

，即或（去），此時（,6）當點（），也滿eq\o\ac(△,)△；當在直線AD下時，同理可得，的坐標為（

），綜上，的坐標為（

）或（,6）（

）或（）（）：A

，

,OC=3，,=·OC·AC=·OA·h=

，，又

=

，AOQ邊上高3h=,過作OA,取OM=，點M作MNOA交y軸于點，M作x軸（圖），,OA=2,

AOC==30°，又MNOA，OM，，，即（），MH=OM=,M

=，）

,設直線MN解式為：y=kx+b，

，直MN解析式為：

x+9，x-（x=3

x-18=0,）（,x=-2

，），

或

，，）（點坐標3拋線上是否存點，得

，）

.【解析】【析】（1）、兩點坐標代入拋物線析式得到一個二元一次方程方程組，解之即可得拋物線解析式（）P坐為，的值，即可確定出坐標。

），表示出與，由相似分兩種況得比例求出x（）據(jù)點A坐標得AC=

，勾股定理得OA=2

,根據(jù)三角形面積公式可得邊上的高h=

，又

=

得AOQ邊OA上高；O作OA,截OM=，過點作MNOA交軸于點N，M作x軸（圖），

根據(jù)直角三角形中，度對的直角邊等于斜邊的一半，從而求出

（0,9），在eq\o\ac(△,)MOH中，根據(jù)直角三角形性質(zhì)和勾股定理得M，）；用待定系數(shù)法求出直線MN解式，再講直線MN和拋物線解析式聯(lián)立即可Q點坐標．如（）已知點G在方形的角線上，GE，足為點，GFCD，垂足為點F．（）明與推：①求：四邊形是方②推：BE的為：（）究與證：將正方形繞C順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（＜α＜），如圖（）示，試探究線段與BE之間的數(shù)量關系，并說明理由：（）展與運：正方形在旋轉(zhuǎn)過程中，當，，三在一條直線上時，如圖）所示，延交AD于點．若AG=6GH=2

，則．【答案】（）明：四形是方形，，BCA=45°，BC、CD，CFG=ECF=90°，四形CEGF是形，ECG=45°，EG=EC，四形CEGF是方形（）：連接CG由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，在eq\o\ac(△,)CEG和eq\o\ac(△,)中

=cos45°=

、

=cos45°=

，

=

，ACG△，

，線AG與BE之的數(shù)量關系為

BE（）【解析】【解答】（②由知邊是方形，，ECG=45°，故答案為：

，AB，，；（3）CEF=45°，、、F三共線，，ACG△，BEC=135°，CAH=45°，CHA=AHGCHA，

，設，則AC=

a，則由

得

，AH=a則DH=AD﹣a，CH==a，由解得：故答案為：

得，即BC=3．

，，

1212【分析】（1）根正方形的性質(zhì)得出∠，BCA=45°，根據(jù)垂直的定義及等量代換得出CEG=CFG=ECF=90°，據(jù)三個角是直角的四邊形是矩形得出四邊形CEGF是矩形，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得CGE=ECG=45°，據(jù)等角對等邊得出，據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形即可得出四邊形

CEGF是方形；根據(jù)正方形的性質(zhì)得出CD，據(jù)平行于同直線的兩條直線互相平行得出GEAB，據(jù)平行線分線段成比例定理得出GC＝BE根據(jù)等腰直角三角形的邊之間的關系得出GCEC=

，從而得出答案；（）連接CG，由旋轉(zhuǎn)性α，根據(jù)余弦函數(shù)的定義出,

,從而判斷出BCE，據(jù)相似三角對應邊的比等于相似比即可得出結論線段AG與BE之間的數(shù)量關系為BE；（3）根據(jù)CEF=45°，、、三共線，由鄰補角定義得出BEC=135°，根據(jù)BCE，得出∠BEC=135°，故CAH=45°，然后判斷出AHG，據(jù)相似三角形對應邊成比例得出

＝GH＝AH，，AC=a，根據(jù)比例式得出關于AH的程，求解AH的，根據(jù)DH=AD﹣表出，根據(jù)股定理表示出，據(jù)前面的比例式出關于a的方程，求解得出的值，從而得出BC的值。10．圖，在平面直角坐標中，已知拋物線y=x+x﹣與x軸于A，兩（點A在點的左側），與軸于點C，線經(jīng)過，兩點，連接BC．（）直線的析式；（）直（＜）該拋物在第三象限內(nèi)交于點，直線交點D，接．AC時，求線段DE的；（）取點（，）連，第一象限內(nèi)拋物線上，是否存在點BAP=BCO﹣BAG？存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

，【答案】（）：拋線y=x+x﹣，當y=0時得=1，=﹣，x=0時y=﹣，

拋線y=x

x2與x軸于，兩（點在點B的側），與軸交于點C，點的標為（4，）點（，）點C0，2，直經(jīng)AC兩，設直線的函數(shù)析式為，，得

，即直線l的數(shù)解析式為（）：直線ED與軸于點F，如右1所示，由（）得AO=4，，，

，

，ODAC，，，AODACO，即

，，得AD=，x軸，ADC=90°，OC，ADF△，解得，OF=4

，，，=，

m=﹣，當m=﹣時y=×-）×﹣）2=﹣，EF=

，﹣（）：存在，BCO﹣，理由：作GMAC點M作PNx軸點N，右圖2所示，點（﹣，），點B（，）點C（，）OA=4OB=1，，

，OCB=

，

，OAC=，﹣BAG，GAM=﹣，，點G（，﹣1），AC=2，，

，OA=4，，AG=解得，

，

，即，AM==

，GAM==，

1212PAN=，設點P的坐標為n，

n+n﹣），PN=n+﹣，解得，=

，，=﹣（去），當

時，

n+n2=

，點的坐標為（，），即存在點P（，），使﹣BAG【解析】【分析】（）用拋物線的解析式求出點、的坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式。（）線與軸交于點F，eq\o\ac(△,)中利用勾股定理求出的，再證明AOD△ACO，利用相似三角形的性質(zhì)求出的，再由EFOC得對應線段成比例求出OF的長，可得出m的，后求出EF的，根據(jù)﹣，可求出答案。（）在點，使﹣，GMAC于M，PNx軸于點，據(jù)點A、、的坐標，利用銳角三角函數(shù)的定義求AC、AG的，再利用同一個三角形的面積相等，求出GM的長，利用勾股理求出的長，從而求出的值，然后設點P的標，求出、，根據(jù)tanPAN的值建立方程求出的，就可得出點的坐標。11．圖，在eq\o\ac(△,)中，，，從A出發(fā)沿AC向C點以1厘/秒的速度勻速移動；點Q從C出發(fā)沿CB向B點2厘米秒速勻速移動．點P、Q分別從點同時出發(fā)，移動到某一位置時所需時間為t秒．（）t=________時，AB（）為值時eq\o\ac(△,)的面積等于5cm？（）、運過程中，在某一時刻，若eq\o\ac(△,)PQC翻折，得eq\o\ac(△,)，如圖，與能否垂直？若能，求出相應的值；若不能，請說明理由．能垂直，理由如下：延長QE交于點，

eq\o\ac(△,)翻，得eq\o\ac(△,)QCP，，若PE則AB，CQD△，

，，QD=2.5tDE=0.5tA=EDP，DEP=90°，DPE，

，解得：綜上可知：當t=

，時，AB【答案】（）

11（）：點P從A出發(fā)沿向C點厘米秒的速度勻速移動；點Q從出發(fā)沿CB向點2厘秒的速度勻速移動，PC=AC-AP=6-t，eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)CPQ=CP?CQ=

＝，t2-6t+5=0解得=1，=5（不合題意，舍）當t=1秒eq\o\ac(△,)的面積等于5cm

2（）：【解析】【解答】解：點從出沿