2020-2021中考數(shù)學(xué) 相似 培優(yōu)練習(xí)

：：考數(shù)學(xué)相似培優(yōu)練習(xí)(含答案)含答案一、相1．已知：如圖，在矩形ABCD中，，角線AC，BD交于點(diǎn)．P從點(diǎn)A出，沿方勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)出發(fā)，沿DC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連PO并長，交于點(diǎn)E，點(diǎn)作QF，BD于點(diǎn)．運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）0＜＜）解下問題：（）為值時(shí)eq\o\ac(△,)是腰三角形？（）五邊形OECQF的積為S（2），試確定與的數(shù)關(guān)系式；（）運(yùn)過中，是否存在某一時(shí)刻t，使S五形S

五邊

eq\o\ac(△,)ACD

=9：若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（）運(yùn)動(dòng)過中，是否存在某一時(shí)刻，OD平分？存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（）：在形中，Ab=6cmBC=8cm，AC=10，①當(dāng)，圖，過作PM，AM=AO=，ADC=90°，CAD，△，

，，②當(dāng)當(dāng)為

或5時(shí)eq\o\ac(△,)是等腰三角形

==（）：作EHAC于，于，DNAC于，交QF于，eq\o\ac(△,)與CEO中，AO=OC，AOP=COECOECE=AP=t，△，

，，

，QMDN，△，QM=

，即，，=AC，△DOC，

，

，，S

=SOECQF

OEC

+S

OCQF

=，

S與的函數(shù)關(guān)系式為（）：存在

eq\o\ac(△,)ACD

=，S

：OECQF

eq\o\ac(△,)ACD

=（

）：24=916，得t=，，不合題意，舍去），t=時(shí)，S五形

：OECQF

eq\o\ac(△,)ACD

=9：（）：如圖，作DMAC于M，AC于，POD=COD，

，ON=OM=，

=，OP=

，，

，

，解得：（合題意，舍去）t，當(dāng)時(shí)平分COP．【解析】【分析】（）據(jù)矩形的性質(zhì)可得，BC=AD=8，以AC=10而P、兩點(diǎn)分別從A點(diǎn)和點(diǎn)時(shí)出發(fā)且以相同的速度為1cm/s運(yùn)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)P不可能運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D；eq\o\ac(△,)AOP是腰三角形分兩種情況討論：當(dāng)AP=PO=t時(shí)過P作PM，eq\o\ac(△,)△，可得比例式即可求解當(dāng)AP=AO=t=5時(shí)eq\o\ac(△,)AOP是腰三角形；（）EH于H，AC于，AC于N，于G，將五邊形轉(zhuǎn)化成一個(gè)三角形和一個(gè)直角梯形，則五邊形OECQF的積三形OCE的面積直角梯形OCQF的

：：面積；（）為三角ACD的面積CD=24，將（）中的結(jié)論代入已知條件五形S五

eq\o\ac(△,)ACD

=9：中可得關(guān)于的程，若有解且符合題意，則存在，反之，不存在；（）設(shè)存在由題意，過D作于M，AC于N根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DM=DN由面積法可得;三形ODP的積=OP

DM=PDCD=3PD,所可得，則用含的數(shù)式可將OP和表示出來，在直角三角形中用勾股定理可得關(guān)于t的方程，解這個(gè)方程即可求解。2．如圖，是半圓O的徑AB，射線AM、為半圓O的線在AM上一點(diǎn)，接BD交圓于點(diǎn)，連接AC.過O點(diǎn)BC的線OE，垂足為點(diǎn)E，BN相交于點(diǎn)過D點(diǎn)作半圓的切線DP，切點(diǎn)為，與BN相于點(diǎn)（）eq\o\ac(△,)BFO，BQ的長；（）證：【答案】（）：，均為半圓切線，.連接,

，則四形

，為菱形，

，均為半圓切線，，四形

為平行四邊形

，

（）明：易

，

=

，

.是半圓的切線，.過點(diǎn)

于點(diǎn)，則在解得：

.中，，，，【解析】【分析】（）接由ΔABDΔBFO可，由切線長定理可得，于是易得，據(jù)菱形的判定可得四邊形DAOP為形，則可得，得四邊形為行四邊形，根平行四形的性質(zhì)可求解；（）Q點(diǎn)QKAM于，已知易證得ΔABDΔBFO，得比例式

，可得BF與AD的關(guān)系，由切線長定理可AD=DP,QB=QP，直角三角形DQK可得BQ與AD的關(guān)系，則根據(jù)?BQ可得與的關(guān)系，從而結(jié)論得證。3．如圖1，等eq\o\ac(△,腰)中，＝，在邊，以為心的圓與AC相于點(diǎn)C，AB邊點(diǎn)D，為O的徑EFBC于點(diǎn)G．

（）證：D是EC的點(diǎn)；（）圖，長交O于點(diǎn)，接交OE于，接CF求證：＝＋；（）圖3在2)的件下，長DB交O于點(diǎn)，接QH，若＝，＝，QH的【答案】（）明：如圖中連接OC．AC是O的切線，AC，A+，CA=CB，

A=B，BC，B+，AOC，，DOE點(diǎn)D是

的中點(diǎn)（）明：如中連接．HC，垂平分，F(xiàn)C=FH，CFK=，DOECFK=COD，CHK=COD，CHK=，點(diǎn)在F為圓心FC為徑的圓上，F(xiàn)C=FK=FH，DO=OF，，即；

（）：如圖中連接、HMAQ于M．OK=x，CF=+x，﹣，GF=﹣（﹣）22﹣2﹣2，（

+x）

﹣-（﹣

=（）﹣2﹣）

，解得x=，CF=5FG=4，，OG=，BOGOB，=可得OB=

，，

，

，eq\o\ac(△,)BHM△可得

==

，BM=

，HM=

，﹣﹣BM=在eq\o\ac(△,)HMQ中==【解析】【分析】（）圖1中連．據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)垂直的定義得出ACO=90°，據(jù)直角三角形兩銳角互余得出A+，據(jù)等邊對等角得出A=B，根據(jù)垂直的定義得出OGB=90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出B+BOG=90°，據(jù)等角的余角相等得出，據(jù)對頂角相等及等量代換得出DOE，據(jù)相等的圓心角所對的弧相等得出結(jié)論；（）圖2中連接OC．據(jù)垂徑理得出CG=GH，進(jìn)而得出垂平HC，據(jù)線段垂直平分線上上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等得出FC=FH，據(jù)周角定理及等量代

換得出CFK=COD，，從而得出點(diǎn)在F為心FC為徑的圓上，根據(jù)同圓的半徑相等得出FC=FK=FH，，據(jù)線段的和差及等量代換得出CF=OK+DO（）圖3中連接、HMAQ于M設(shè)，則CF=+x，﹣，﹣（﹣）根據(jù)勾定理由CG=CF﹣2﹣2

，列關(guān)于的程，求解得出x的值，從而得出CF=5，，，OG=根平行線的判定定理得出，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得出，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出CFOB=CGB=GO，而可得OB,BG,BH的，eq\o\ac(△,)BHM，可得OB=BMBG=MOG，得出的長，在eq\o\ac(△,)HMQ中，根據(jù)勾股定理得出的。4．已知在矩形中AB=2，AD=4P是角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不點(diǎn)、重合），過點(diǎn)P作PFBD交射線于．結(jié)AP畫FPE=BAP，PE交于點(diǎn)E．PD=x，．（）點(diǎn)APF在一條直線上時(shí)，eq\o\ac(△,)ABF的積；（）圖1，點(diǎn)在邊BC上，求關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；（）結(jié)PC，BPE，直接寫出PD的長．【答案】（）：如圖，矩，

，，A、在條直線上，且PF，

，

，

，

，

，

，

（）：PFBP

；，

，，又BAPFPE，

，

，AD//BC，∴

，，

，，，即

，，

，（）：CPF=，①如所示，當(dāng)點(diǎn)在CE上，，DPC=，F(xiàn)PE=，DPC=，AB//CD，ABD=CDBCPD，：CD=AB：，，x（x=

），；②如所示，當(dāng)點(diǎn)在EC延線上時(shí)，

過點(diǎn)P作PN于，CD上取一點(diǎn)M，連接PM使MPF=CPF則有：PM=CH：，，BPC=DPM，CPFEPF，，ABD=，MPD，：：PD，由PD=x，PDM=tanPFC=2，易得：PH=2xFH=

，

，，CH=2-x，

，由PB：：PD可

，從而可得MN在eq\o\ac(△,)中利用勾股定理可得PC，由：：可得，在在eq\o\ac(△,)PMN中用勾股定理可得關(guān)于x的程，解得x=

，綜上：的為：

或【解析】【分析】（）求三角形ABF的積，由意只須求出的即可。根據(jù)同角的余角相等可得∠BAF=，以PBF=tanADB=BF的長，三角形ABF的積BF（）要求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，由題意只須證得

,合已知即可求得ΔBAPΔFPE，而得出比例式現(xiàn)在需求出PF的，代入比例式即可得y與的系式。（）已知條過點(diǎn)P作PF，交射線BC于點(diǎn)可，點(diǎn)可能在線段CE上也可

在的延長線上，所以分兩種情況求解即可5．已知eq\o\ac(△,)中，ABC=90°AB=3，BC=4.點(diǎn)Q是段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作的線交線段（如圖）或線段的延長線（如圖）于點(diǎn)（）點(diǎn)P在線段AB上，求證eq\o\ac(△,)△ABC；（）eq\o\ac(△,)為腰三角形時(shí)求AP的.【答案】（）證明A+APQ=90°，A+C=90°，C.eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)ABC中APQ=C，A=，APQABC.（）：在eq\o\ac(△,)中，，，勾股定理得：為鈍角eq\o\ac(△,)PQB為腰三角形時(shí)，只可能是PB=PQ.（）點(diǎn)在線段AB上，如題圖所，由（）知eq\o\ac(△,)ABC，

，即，解得：.

.（）點(diǎn)在段的長線上時(shí)，如題圖所,，BQP=BQP+AQB=90°，A+P=90°AQB=。BQ=AB。，B為線段AB中點(diǎn)。AP=2AB=2×3=6.綜上所述，eq\o\ac(△,)為等腰三角形時(shí)AP的為或6.【解析】【分析】（）兩對角相等（，），證明△。（）PQB為腰三角形時(shí)，有種情況，需要分類討論.（）點(diǎn)P在段AB上時(shí)，如題圖所由角形相似eq\o\ac(△,)△ABC）關(guān)系計(jì)算的；（）當(dāng)點(diǎn)在段AB的延長線上時(shí)，如題圖2所示利用角之間的關(guān)系，證明點(diǎn)B為段的中點(diǎn)，從而可以求出

6．如圖1，物線

平移后過點(diǎn)A8,0）和原點(diǎn)，頂點(diǎn)為B，對稱軸與軸相交于點(diǎn)C，原拋物線相交于點(diǎn)D．（）平移后物線的解析式并直接寫出陰影部分的面積

；（）圖，直線AB與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)M為段OA上動(dòng)點(diǎn)，

為直角，邊MN與相交于點(diǎn)，設(shè)

，試探求：①為何值時(shí)

為等腰三角形；②為何值時(shí)線段的長度最小，最小長度是多少．【答案】（）：設(shè)平移后拋物線的解析式

，將點(diǎn)A（，）代入得

=

，所以頂點(diǎn)B（）所以陰=OC?CB=12（）：設(shè)直解式為y=mx+n，將A8，）B（3分別代入得，解得：

，所以直線AB的解析式為①當(dāng)MN＝時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為由三角形NQM和角形MOP相可知去）.

，作NQ垂于x軸于點(diǎn)Q，，縱坐標(biāo)為，,得，得（當(dāng)AN時(shí)＝，＝

,由角形ANQ和角形APO相可知，

，

NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN由三角形NQM和角形相可知解得：＝（去）；當(dāng)MN＝MA時(shí)，故；

故

得：，是鈍角，顯然不成立②由MN所直線方程為得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為=由判別eq\o\ac(△,)=x﹣（﹣

，與直線的解析式y(tǒng)=﹣聯(lián)，，即t﹣﹣x，），≥6或x≤14，又因?yàn)?＜＜，所以的小值為，時(shí)t=3，當(dāng)t=3時(shí)的標(biāo)為（，"），此時(shí)PN取最小值為【解析】【析】（）移前后兩個(gè)二次函數(shù)的的值相等，平移后的圖像經(jīng)過點(diǎn)原點(diǎn)，因此設(shè)函數(shù)解析式為：，將的標(biāo)代入就可求出b的，再求出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用割補(bǔ)法可得出陰影部分的面=以，為邊的矩形的面積。（）用待定數(shù)法先求出直線AB的函數(shù)解析式，作垂于x軸點(diǎn)，再分情況討論：當(dāng)MN時(shí)，就表示出點(diǎn)的標(biāo)，利用相似三角形的性質(zhì)，得出對應(yīng)邊成比例，建立關(guān)于的方程，求出t的值；當(dāng)AM＝時(shí)eq\o\ac(△,)ANQeq\o\ac(△,)相似eq\o\ac(△,)NQMeq\o\ac(△,)MOP相，得出對應(yīng)邊成比例，分別求出t的值，然后根據(jù)當(dāng)MN＝時(shí)，MNA=MAN<45°故AMN是角，可得出符合題意的的值②將線MN和線AB聯(lián)立方程組，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合根的別式可求出x≥6或x﹣，后由0＜x＜，可求得果。7．在矩形ABCD中，6＝，點(diǎn)是AD上點(diǎn)EMEC交于點(diǎn)，點(diǎn)N在射線MB上且AE是AM和AN的比例中.（）圖1，證＝DCE

（）圖2，點(diǎn)在線段MB之間，聯(lián)結(jié)AC，且與NE互垂直，求MN的長；（）接AC如eq\o\ac(△,)AEC與點(diǎn)E、MN為點(diǎn)所組成的三角相似，求DE的長.【答案】（）：AE是AM和AN的比例中項(xiàng)

，A＝A，AME△AEN，AEM＝，＝，＋DEC＝，BC，AEM＋DEC＝90°，AEM＝，＝DCE（）：AC與NE互垂直，EAC＋＝，BAC90°，＋＝，＝EAC，由（）＝DCE＝EAC，＝，

，DCAB＝，8，DE＝，＝﹣＝，由（）AEM＝，，

，AM，

，

AN，MN＝（）：NME＝＋AEM，＝D＋，又MAE＝D＝90°由）得，＝NMEeq\o\ac(△,當(dāng))與點(diǎn)EM、為點(diǎn)所組成的三角形相似時(shí)①＝EAC，圖，＝EAC，由（）：＝；②＝ECA，如圖，過點(diǎn)作EHAC，足為點(diǎn)，由（）＝DCE＝，HE＝，又＝

，設(shè)DE＝，則HE，4x，AE＝，又AE＋＝，5x＋8，解得＝，DE＝＝，

綜上所述，的分別為或3【解析】【分】（）比例中項(xiàng)知，此可證AME得＝，證DCE可得答案；（）證＝，合ANE＝DCE得DCE＝EAC，而知

，據(jù)此求得＝﹣＝，由1）AEMDCE，此知

，求得＝，求得

MN；3分ENM＝EAC和ENM＝ECA兩情況分別求解可.8操作：

和

都是等邊三角形，

繞著點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，是、探究：

的中點(diǎn)，有以下三種圖.（）上三圖形中，比值；

是否一個(gè)固定的值，若是，請選擇任意一個(gè)圖形求出這個(gè)（）（）

與

的值是否也等于這個(gè)定值，若是，請結(jié)合圖）證明你的結(jié)論；有怎樣的位置關(guān)系，請你結(jié)合圖2）圖）證明你的結(jié).【答案】（）：

是等邊三角形，由圖1得，

，

；（）明：，，（）明：在3中，由（）得

，

1+，即AEF=AOB=90°，

.【解析】【分析】（）等邊三角形的性質(zhì)可得BC，BC=，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可求得可得AO，

，是一個(gè)固定的值，由同角的余角相等可得，可得

1（由等邊三角形的性質(zhì)，由（）可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得；（）圖（），由（）得

，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得1=，根據(jù)對頂相等得3=4則2+3=AOB=90°，.9．如，在平面直角坐標(biāo)系中，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（，0）（0，）動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)A出在線段上每秒的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)直線EF從軸始以每秒的度向上平行移動(dòng)（即x軸），分別與軸線段AB交于點(diǎn)、，連接EP、FP，設(shè)動(dòng)點(diǎn)與直線EF同出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（）t=9時(shí)eq\o\ac(△,)PEF的積；（）線EF、點(diǎn)在動(dòng)過程中，是否在這樣的使eq\o\ac(△,)的面積等于40cm？存在，請求出此時(shí)的；若不存在，請說明理由；（）為值時(shí)eq\o\ac(△,)EOPeq\o\ac(△,)相．【答案】（）：OA，BOA又B=，

△BOA，

=

，當(dāng)t=9時(shí)OE=9，，，EF=，

eq\o\ac(△,)

=EF?OE=×8×9=36（cm）（）：BEF，EF===（）

×（），整理，得t2=15＜，方?jīng)]有實(shí)數(shù)根不在使eq\o\ac(△,)PEF的面積等于2

的值（）：EPO=時(shí)eq\o\ac(△,)EOPBOA，

=

，即

=

，解得t=6；當(dāng)EPO=ABO時(shí)eq\o\ac(△,)，

=

，即

=

，．解得t=時(shí)eq\o\ac(△,)與相似當(dāng)t=6或【解析】【析】（）于EFx軸，則

eq\o\ac(△,)

=?EF．t=9時(shí)，鍵是求EF．eq\o\ac(△,)則

=

，從而求出的度，得eq\o\ac(△,)PEF的積；（）設(shè)存在這樣的，使eq\o\ac(△,)PEF的面積于40cm

，則據(jù)面積公式列出方程，由根的判別式進(jìn)行判斷，得出結(jié)論；（）如eq\o\ac(△,)EOP與相，由EOP=則只能點(diǎn)O與對應(yīng)，然后分兩種情況分別討論①點(diǎn)與點(diǎn)A對；點(diǎn)與B對．10．圖，eq\o\ac(△,)ABC中，平BAC交BC于是AB上點(diǎn)，經(jīng)過A,E兩

點(diǎn)的交AB于點(diǎn)，接，的平分EF交于F，接AF.（）證BC是O的切線；（）sinEFA=,AF=,求段的.【答案】（）：如圖1，連接，平分

，,

.，..

.

為是

的半徑，的切線（）：如圖，接

.

由題可知

為

的直徑，.

平分

，

..AFD為腰直角三角形，

.在

中，.

，.

，

，

.在

中，

.

.

，

，

.

.

（或6.4【解析】【分析】（1）連接OE，根據(jù)等腰三性質(zhì)和角平分線定義可得，根據(jù)平行線的判定可得AC，再由行線的性質(zhì)可得，可證得結(jié)論；（）連接

,根已知條件易證

.在中，根據(jù)勾股定理求得

.根同弧所對的圓周角相等及已知條件可得

.在

中求得AE的長，證明，據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得線段AC的.11．正方形ABCD中，在邊上，PBC=，點(diǎn)是射線BP上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作AB的平行線交射線AD于M，點(diǎn)在線AD上使RQ始與直線BP垂直．（）圖1，點(diǎn)R與重時(shí)，求的長；（）圖，試探索：

的比值是否隨點(diǎn)Q的動(dòng)而發(fā)生變化？若有變化，請說明你的理由；若沒有變化，請求出它的比值；（）圖，點(diǎn)Q在段BP上設(shè)PQ=x，，y關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域．【答案】（）：由題意，得

,在eq\o\ac(△,Rt)

中，△

（）：答：理由：如圖，

的比值隨點(diǎn)的動(dòng)沒有變化

,

△，的比值隨點(diǎn)的動(dòng)沒有變化比為（）：延長

交

的延長線于點(diǎn)

,

又

,,它的定義域是【解析】【分析】（1）題意解直角三角形PBC可求得CP=6，PB=10，根PBC△可比例式求解；（）題易eq\o\ac(△,)RMQ△PCB，可得比例式的比值不會發(fā)生變化；

,由）知

為一定值，所以（）長交AD的長線于點(diǎn)，為AB，所以由平行線分線段成比例定理可得比例式求得、，題意易得，據(jù)平行線成比例定理可得比例式,則與x的系可求解。12．問題】如圖1，在eq\o\ac(△,)ABC中，，，過點(diǎn)作直線l平行于AB.EDF=90°，D在直線上移動(dòng)，角的一邊DE始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一邊DF與AC交于點(diǎn)P，研究DP和DB的數(shù)量關(guān)系

（）探發(fā)】如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用從特殊到