人教b版選擇性必修第一冊2.3.2圓的一般方程課件

圓的一般方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解圓的一般方程的特點,會由一般方程求圓心和半徑.2.會根據(jù)給定的條件求圓的一般方程,并能用圓的一般方程解決簡單問題.3.靈活選取恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髨A的方程.知識梳理·自主探究師生互動·合作探究知識梳理·自主探究知識探究1.圓的一般方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2可以化為

.在這個方程中,如果令D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,則這個方程可以表示成

①的形式,其中D,E,F都是常數(shù),形如①式的圓的方程稱為圓的一般方程.x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0x2+y2+Dx+Ey+F=02.圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系對方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的說明:把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得

.②(1)當(dāng)D2+E2-4F>0時,方程②表示以

為圓心,

為半徑的圓.(3)當(dāng)D2+E2-4F<0時,方程沒有實數(shù)解,因而

.它不表示任何圖形師生互動·合作探究探究點一圓的一般方程的概念[例1](1)(2021·廣東期中)若方程x2+y2+mx+2y+5=0表示一個圓,則實數(shù)m的取值范圍是(

)A.(-4,4)B.(-3,3)C.(-∞,-4)∪(4,+∞)D.(-∞,-3)∪(3,+∞)解析:(2)因為圓C:x2+y2-2(m-2)x+2(m-2)y+2m2-6m+4=0過坐標(biāo)原點,所以2m2-6m+4=0,解得m=1或m=2,當(dāng)m=2時,x2+y2=0,不符合題意,舍去,當(dāng)m=1時,x2+y2+2x-2y=0,即(x+1)2+(y-1)2=2,滿足題意,綜上所述,實數(shù)m的值為1.故選C.(2)(2021·湖北武漢期中)若圓C:x2+y2-2(m-2)x+2(m-2)y+2m2-6m+4=0過坐標(biāo)原點,則實數(shù)m的值為(

)或或-1針對訓(xùn)練:(1)若方程x2+y2+4x-6y+1-2m=0表示圓,則實數(shù)m的取值范圍為(

)A.(-6,+∞) B.(6,+∞)C.(-7,+∞) D.(7,+∞)(1)解析:若方程表示圓,則42+(-6)2-4(1-2m)>0,即16+36-4+8m>0,得m>-6.故選A.(2)下列方程各表示什么圖形?若表示圓,求其圓心和半徑.①x2+y2+x+1=0;(2)解:①因為D=1,E=0,F=1,所以D2+E2-4F=1-4=-3<0,所以方程不表示任何圖形.②x2+y2+2ax+a2=0(a≠0);解:②因為D=2a,E=0,F=a2,所以D2+E2-4F=4a2-4a2=0,所以方程表示點(-a,0).(2)下列方程各表示什么圖形?若表示圓,求其圓心和半徑.③2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0).方法總結(jié)判定形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程是否表示圓時,可有如下兩種方法:(1)由圓的一般方程的定義令D2+E2-4F>0,成立則表示圓,否則不表示圓.(2)將方程配方后,根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解.應(yīng)用這兩種方法時,要注意所給方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0這種標(biāo)準(zhǔn)形式,若不是,則要先化為這種形式再求解.探究點二求圓的一般方程[例2]已知二次函數(shù)y=x2-4x+3交x軸于A,B兩點,交y軸于C點.若圓M過A,B,C三點,則圓M的方程是(

)2+y2-2x-2y-3=02+y2+2x-2y-3=02+y2-4x-4y+3=02+y2-4x-12y+3=0針對訓(xùn)練:圓C過點A(1,2),B(3,4),且在x軸上截得的弦長為6,求圓C的方程.解:設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.因為圓過A(1,2),B(3,4),所以D+2E+F=-5,①3D+4E+F=-25.②令y=0,得x2+Dx+F=0.設(shè)圓C與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)為x1,x2,則x1+x2=-D,x1x2=F.因為|x1-x2|=6,所以(x1+x2)2-4x1x2=36,即D2-4F=36.③由①②③得D=12,E=-22,F=27或D=-8,E=-2,F=7.故所求圓的方程為x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0.方法總結(jié)應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程:(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問題,一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再用待定系數(shù)法求出a,b,r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系,一般采用圓的一般方程,再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F.探究點三求與圓有關(guān)的軌跡問題[例3]已知M(-2,0),N(2,0),則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程是(

)2+y22-y2=42+y2=4(x≠2-y2=4(x≠±2)解析:設(shè)P(x,y),由條件知PM⊥PN,且PM,PN的斜率肯定存在,故kMP·kNP=-1.即x2+y2=4,又當(dāng)P,M,N三點共線時,不能構(gòu)成三角形,所以x≠±2,即所求軌跡方程為x2+y2=4(x≠±2).故選C.針對訓(xùn)練:過點A(8,0)的直線與圓x2+y2=4交于點B,則AB中點P的軌跡方程為

.

解析:設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),點B為(x1,y1),由題意,結(jié)合中點坐標(biāo)公式可得x1=2x-8,y1=2y,故(2x-8)2+(2y)2=4,化簡得(x-4)2+y2=1,則AB中點P的軌跡方程為(x-4)2+y2=1.答案:(x-4)2+y2=1方法總結(jié)求與圓有關(guān)的軌跡的方法:(1)直接法:直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.(2)定義法:根據(jù)圓、直線等定義列方程.(3)幾何法:利用圓的幾何性質(zhì)列方程.(4)代入法:若動點P(x,y)依賴于某圓上的一個動點Q(x1,y1)而運動,把x1,y1用x,y表示,再將點Q的坐標(biāo)代入到已知圓的方程中得點P的軌跡方程.當(dāng)堂檢測CB2.若直線3x+y+a=0過圓x2+y2+2x-4y=0的圓心,則a的值為(