2023中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料（全國(guó)通用）分項(xiàng)專題01 有理數(shù)的運(yùn)算（講通）（學(xué)生版）

專題01有理數(shù)的運(yùn)算1.有理數(shù)乘方及混合運(yùn)算。2.正確運(yùn)用科學(xué)記數(shù)法及近似數(shù)和有效數(shù)字。3.能合理、自覺運(yùn)用有理數(shù)運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。4.科學(xué)記數(shù)法中10的冪指數(shù)特征；近似數(shù)概念的理解．一、有理數(shù)加法1.有理數(shù)加法法則：⑴同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；⑵絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；⑶一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。例1、計(jì)算：(1)(﹣3)＋(﹣9)(2)(﹣)＋(﹢)（3）(﹢4)＋(﹣3)（4）(﹣5.25)＋5（5）(﹣)＋0。【歸納總結(jié)】進(jìn)行有理數(shù)加法，先要判斷兩個(gè)加數(shù)是同號(hào)還是異號(hào)，有一個(gè)加數(shù)是否為零；再根據(jù)兩個(gè)加數(shù)符號(hào)的具體情況，選用某一條加法法則．進(jìn)行計(jì)算時(shí)，通常應(yīng)該先確定“和”的符號(hào)，再計(jì)算“和”的絕對(duì)值．2.有理數(shù)加法運(yùn)算律：①有理數(shù)的加法交換律是：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變．即加法交換律．②有理數(shù)的加法結(jié)合律是：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變.即加法結(jié)合律．③交換律和結(jié)合律可以推出：三個(gè)以上有理數(shù)相加，可以任意交換加數(shù)的位置，也可先把其中的幾個(gè)數(shù)相加，無(wú)論各數(shù)相加的先后次序如何，其和不變。例2、（1）38+（－22）+（+62）+（－78）（2）（－8.25）+8.25+（－0.25）+（－5.75）+（－7.5）（3）【歸納總結(jié)】對(duì)于三個(gè)以上有理數(shù)相加，按下列過程計(jì)算比較簡(jiǎn)便：（1）湊零湊整：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)結(jié)合先加；和為整數(shù)的加數(shù)結(jié)合先加；（2）同號(hào)集中：按加數(shù)的正負(fù)分成兩類分別結(jié)合相加，再求和；（3）同分母結(jié)合：把分母相同或容易通分的結(jié)合起來(lái)；（4）帶分?jǐn)?shù)拆開：計(jì)算含帶分?jǐn)?shù)的加法時(shí)，可將帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分拆開，分別結(jié)合相加。注意帶分?jǐn)?shù)拆開后的兩部分要保持原來(lái)分?jǐn)?shù)的符號(hào)。二、有理數(shù)減法1.有理數(shù)減法法則減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。a-b=a+（-b）【特別提醒】這里的a、b表示任意有理數(shù)①進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)，首先應(yīng)弄清減數(shù)的符號(hào)（是“+”，還是“-”）。②將有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，要同時(shí)改變兩個(gè)符號(hào)：一個(gè)是運(yùn)算符號(hào)由“-”變?yōu)椤?”，另一個(gè)是減數(shù)的性質(zhì)符號(hào)。③今天學(xué)習(xí)有理數(shù)減法和小學(xué)減法意義相同，就是：已知兩數(shù)和與其中一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算。例3、（1）0－(－9)（2）(－25)－(－13)（3）8.2―(―6.3)2.有理數(shù)加減混合運(yùn)算（1）我們知道有理數(shù)的減法是先把它化為有理數(shù)的加法，即加減統(tǒng)一成加法。把（-8）-（-10）+（-6）-（+4）統(tǒng)一成只有加法可寫成（-8）+（+10）+（-6）+（-4）像這樣的的一個(gè)和式里，通常把各個(gè)加數(shù)的括號(hào)與它前面的加號(hào)省略不寫，如上式可寫成-8+10-6-4這個(gè)式子仍看作和式，叫做代數(shù)和。按和式讀做“負(fù)8，正10，負(fù)6負(fù)4的和”；這時(shí)“+”“－”符號(hào)，既是性質(zhì)符號(hào)，又是運(yùn)算符號(hào)，兩者合一．例4、（1）（+6.1）―（－4.3）+（－2.1）―5.1（2）（－0.5）－＋6.75－【歸納總結(jié)】（1）有理數(shù)加減法混合運(yùn)算的題目的步驟為：①減法轉(zhuǎn)化成加法；②省略加號(hào)括號(hào)；③運(yùn)用加法交換律（這里既交換又結(jié)合，交換時(shí)應(yīng)連同數(shù)字前的符號(hào)一起交換）；④按有理數(shù)加法法則計(jì)算．（2）運(yùn)算律：①互為相反數(shù)放在一起②同分母的放在一起

③能湊整的放在一起④小數(shù)與小數(shù)放在一起，整數(shù)與正數(shù)放在一起（等等）三、有理數(shù)乘法1.有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。任何數(shù)同0相乘，都得0.進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，要抓住符號(hào)和絕對(duì)值這兩個(gè)關(guān)鍵：有理數(shù)相乘，先確定積的符號(hào)，再確定積的絕對(duì)值.2.倒數(shù)的定義：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。a（a≠0）的倒數(shù)是，0沒有倒數(shù)。【特別提醒】（1)當(dāng)a（a≠0）為整數(shù)時(shí)，倒數(shù)為；(2)當(dāng)a為分?jǐn)?shù)時(shí)，分子分母互換，帶分?jǐn)?shù)換成假分?jǐn)?shù)再求；(3)正數(shù)倒數(shù)為正，負(fù)數(shù)倒數(shù)為負(fù)；(4)倒數(shù)等于本身的數(shù)是1，-1；相反數(shù)等于本身的數(shù)是0；絕對(duì)值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)3.幾個(gè)有理數(shù)相乘的積的符號(hào)法則當(dāng)負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積為正．幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定．當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．幾個(gè)有理數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．4.乘法運(yùn)算律（和小學(xué)所學(xué)的乘法運(yùn)算律一樣）(1)乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變．即ab=ba.(2)乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不變．即(ab)c=a(bc)．(3)乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩數(shù)相乘，再把乘積相加。即a(b+c)=ab+ac(a,b,c為任意有理數(shù))例5、計(jì)算：四、有理數(shù)除法1.有理數(shù)除法法則根據(jù)除法是乘法的逆運(yùn)算，除法可以轉(zhuǎn)化為乘法，即除以一個(gè)不為零的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。也可以表示成÷=×(≠0)除法法則：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。零除以不等于零的數(shù)。都得0。有理數(shù)加減乘除混合運(yùn)算運(yùn)算法則：有理數(shù)加減乘除混合運(yùn)算，無(wú)括號(hào)時(shí)，“先乘除，后加減”，有括號(hào)時(shí)，先算括號(hào)內(nèi)的，同級(jí)運(yùn)算，“從左到右”。例6、計(jì)算：－54×（－2）÷（－4）×；五、乘方1、概念：一般地，我們有：n個(gè)相同的因數(shù)a相乘，即，記作．例如，2×2×2＝23；(－2)(－2)(－2)(－2)＝(－2)4．這種求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．在an中，a叫作底數(shù)，n叫做指數(shù)，an讀作a的n次方，an看作是a的n次方的結(jié)果時(shí)，也可讀作a的n次冪．2、結(jié)論：根據(jù)有理數(shù)的乘法法則得出有理數(shù)乘方的符號(hào)規(guī)律：負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何次冪都是0．補(bǔ)充：兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，偶次冪相等，奇次冪互為相反數(shù)。3、有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序如下：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；③如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．注意：加法和減法叫做第一級(jí)運(yùn)算；乘法和除法叫做第二級(jí)運(yùn)算；乘方和開方叫做第三級(jí)運(yùn)算。例7、(1)-2+2×(-4)2(2)-22+(-7)÷()(3)科學(xué)記數(shù)法把大于10的數(shù)記成a×10n的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．與10的冪相乘的數(shù)a，必須是大于等于1且小于10，這是科學(xué)記數(shù)法的規(guī)定。近似數(shù)和有效數(shù)字在日常生活和生產(chǎn)實(shí)際中，我們接觸到很多這樣的數(shù)。例如，如果統(tǒng)計(jì)的班上生日在10月份的同學(xué)的人數(shù)是8，則8這個(gè)數(shù)是與實(shí)際完全符合的準(zhǔn)確數(shù)，一個(gè)也不也不多，一個(gè)也不少。如果量得的語(yǔ)文課本的寬度為13.5cm,由于所用尺的刻度有精確度限制，而且用眼觀察是不可能非常細(xì)致，因此與實(shí)際寬度會(huì)有一點(diǎn)偏差，這里的13.5cm只是一個(gè)與實(shí)際寬度非常接近的數(shù)，這樣的數(shù)叫近似數(shù)。在很多情況下，很難取得準(zhǔn)確數(shù)，或者不必使用準(zhǔn)確數(shù)，而可以使用近似數(shù)。例如，宇宙現(xiàn)在年齡約為200億年，長(zhǎng)江長(zhǎng)約6300千米，這些都是近似數(shù)。近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度，可以用精確度來(lái)表示．例如，書上的約有500人參加會(huì)議，500是精確到百位的近似數(shù)，它與準(zhǔn)確數(shù)513的誤差為13．從一個(gè)數(shù)左邊第一個(gè)非0數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字(significantdigits)．1．（2022·湖北）下列各式結(jié)果是負(fù)數(shù)的是（）A． B． C． D．2．（2022·陜西西安市·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)其他模擬）“讓所有人遠(yuǎn)離饑餓”是雜交水稻之父袁隆平畢生的追求．如今，全世界有一億五千萬(wàn)公頃的稻田，其中七千五百萬(wàn)稻田是雜交稻．每年可為全世界多養(yǎng)活五億人．其中數(shù)據(jù)“七千五百萬(wàn)”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．3．（2022·福建省同安第一中學(xué)九年級(jí)一模）34表示的含義是（）A．3＋3＋3＋3 B．3×4 C．3×3×3×3 D．4×4×44．（2022·河南九年級(jí)一模）a、b兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式正確的有（）個(gè)．①②③④⑤A．2 B．3 C．4 D．55．（2019·河北中考模擬）計(jì)算所得的結(jié)果是（）A． B．2 C． D．6．（2022